Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пояснительная записка_Курсовая1.docx

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

878.26 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: «Дискретные структуры»

на тему: «Построение аналитических моделей алгоритмов и оценка их сложности»

Руководитель: Выполнил:

доцент каф. ПМИ студент гр. ПС-10А

Назарова И. А. Подтынный С.Д.

__.__ . 2011 г. __ .__ . 2011 г.

Донецк 2011

РЕФЕРАТ

Отчет по курсовой работе содержит: 55 страниц, 21 рисунков, 4 таблиц, 5 приложения, 3 источника.

Объект исследования – рекурсивные функции, машины Тьюринга, нормальные алгоритмы Маркова.

Цель – сформировать формальное определение алгоритма в виде трех аналитических моделей, написать программную реализацию машины Тьюринга, распознающей язык L = { ww^Rw^R│w {0,1}* }, построить график временной сложности.

Результат – формальное определение алгоритмов на основе рекурсивных функций, машин Тьюринга и нормальных алгоритмов Маркова, программная реализация машины Тьюринга, распознающей язык L = { ww^Rw^R │w {0,1}* }, график временной сложности машины Тьюринга, файловый вариант протокола работы машины Тьюринга.

МАШИНА ТЬЮРИНГА, ВРЕМЕННАЯ СЛОЖНОСТЬ, АЛФАВИТ, ЛЕНТА, ЯЗЫК, РАСПОЗНАВАНИЕ, АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..................................................................................................................4

1 Описание формальной модели алгоритма на основе рекурсивных

функций....................................................................................................................5

2 Описание аналитической модели алгоритма в виде элементарных машин

Тьюринга и композиции МТ..................................................................................8

3 Разработка аналитической и программной модели алгоритма для

распознающей машины Тьюринга.......................................................................14

3.1 Формальное определение распознающей машины Тьюринга....................14

3.2 Протоколы работы машины Тьюринга (на двух словах языка и двух

словах, не принадлежащих языку).......................................................................18

3.3 Программная модель машины Тьюринга......................................................20

3.4 Протоколы работы машины Тьюринга, построенные программно (на

двух словах языка и двух словах, не принадлежащих языку)..........................21

3.5 Расчет временной сложности (график функции временной сложности).............................................................................................................21

4 Разработка аналитической модели алгоритма с использованием

нормальных алгоритмов Маркова.......................................................................23

Выводы...................................................................................................................25

Перечень ссылок...................................................................................................26

Приложение А Техническое задание..................................................................27

Приложение Б Руководство пользователя..........................................................30

Приложение В Протоколы работы машины Тьюринга, построенные

программно............................................................................................................32

Приложение Д Исходный код программы..........................................................41

Приложение Е Экранные формы……….............................................................54

ВВЕДЕНИЕ

Первым дошедшим до нас алгоритмом в его интуитивном понимании – конечной последовательности элементарных действий, решающих поставленную задачу, считается предложенный Евклидом в III веке до нашей эры алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (алгоритм Евклида). В течение длительного времени, вплоть до начала XX века само слово «алгоритм» употреблялось в устойчивом сочетании «алгоритм Евклида». Для описания пошагового решения других математических задач использовалось слово «метод».

Начальной точкой отсчета современной теории алгоритмов можно считать работу немецкого математика Курта Гёделя (1931 год - теорема о неполноте символических логик), в которой было показано, что некоторые математические проблемы не могут быть решены алгоритмами из некоторого класса. Общность результата Геделя связана с тем, совпадает ли использованный им класс алгоритмов с классом всех (в интуитивном смысле) алгоритмов. Эта работа дала толчок к поиску и анализу различных формализаций алгоритма.

Первые фундаментальные работы по теории алгоритмов были опубликованы независимо в 1936 году годы Аланом Тьюрингом, Алонзо Черчем и Эмилем Постом. Предложенные ими машина Тьюринга, машина Поста и лямбда-исчисление Черча были эквивалентными формализмами алгоритма. Сформулированные ими тезисы (Поста и Черча-Тьюринга) постулировали эквивалентность предложенных ими формальных систем и интуитивного понятия алгоритма. Важным развитием этих работ стала формулировка и доказательство алгоритмически неразрешимых проблем. [1]

1 Описание формальной модели алгоритма на основе рекурсивных функций

Исторически первой алгоритмической системой была система, основанная на использовании конструктивно определяемых арифметических (целочисленных) функций, получивших специальное название рекурсивных функций. Рекурсией называется способ задания функции, при котором значение определяемой функции для произвольных значений аргументов выражается известным образом через значения определяемой функции для меньших значений аргументов [2].

Задание: разработать алгоритм функции f(n), который находит ближайшее к n простое число.

(1.1)

Для начала нужно определить формулу для проверки числа на признак простоты. Для этого была выведена формула (1.1).

(1.1)

Поиск ближайшего числа состоит из трех частей: нахождения ближайшего простого, которое меньше заданного числа, нахождения ближайшего простого числа, большего заданного, и сравнения найденных чисел. Для реализации первой части поиска была выведена формула (1.2):

(1.2)

Функция нахождения ближайшего простого числа сверху описывается формулой (1.3):

(1.3)

Наконец, функция, находящая ближайшее простое число к числу n приведена на рисунке 1.1:

(1.1)

Рисунок 1.1 – Ближайшее к n простое число

На рисунке 1.2 приведен пример работы алгоритма в частном случае, когда n=0.

n=0

0-не простое и не составное

(0)=1

Рисунок 1.2 – Частный случай решения (n=0)

На рисунке 1.3 приведен пример работы алгоритма, когда n=1.

n=1 ( [;

;

Рисунок 1.3 –Частный случай решения (n=1)

На рисунке 1.4 приведен пример работы алгоритма, если на вход подается число, которого ближайшие числа (сверху и снизу) находятся на одном и том же расстоянии от исходного числа.

Рисунок 1.4 – Результат работы алгоритма (n=21)

Функция сравнения написана таким образом, что если расстояние до двух простых чисел одинаковое, то всегда выбирается простое, которое меньше заданного числа.

Если на вход будет подано сразу простое число, то оно и будет результатом работы алгоритма.

Полученная рекурсивная функция является примитивно-рекурсивной, потому что она получена благодаря конечному применению оператора суперпозиции и примитивной рекурсии. Функции сложения, умножения, нахождения максимума и минимума, знак, анти знак, использованные в алгоритме, являются примитивно-рекурсивными.

2 Описание аналитической модели алгоритма в виде элементарных машин тьюринга и композиции мт

Задание: реализовать выделение подстроки, заключенной между двумя символами (первая пара) в алфавите. Если последовательностьотсутствует на ленте, стереть все.

Опишем работу машины Тьюринга тремя способами:

а) системой команд;

б) функциональной таблицей;

в) графом (диаграммой) переходов.

В таблице 2.1 представлена функциональная таблица, в которой записаны переходы между состояниями машины Тьюринга, выполняющей поставленную задачу.

Таблица 2.1 – Функциональная таблица

	a	b	*	0	1	=	λ
q₀	q₀aR	q₀bR	q₀*R	-	-	-	q₁=L
q₁	q₁aL	q₁bL	q₁*L	-	-	-	q₂ λR
q₂	q₂aR	q₂bR	q₃*R	-	-	q₈=L	-
q₃	q₄0R	q₇1R	q₉*L	q₃aL	q₃bL	q₈=L	-
q₄	q₄aR	q₄bR	q₅*R	-	-	-	-
q₅	q₅aR	q₅bR	q₅*R	-	-	q₅=R	q₆aL
q₆	q₆aL	q₆bL	q₆*L	q₃0R	q₃1R	q₆=L	-
q₇	q₇aR	q₇bR	q₇*L	-	-	q₇=R	q₆bL
q₈	q₈aL	q₈bL	q₈*L	-	-	-	q_zλR
q₉	q₉aL	q₉bL	q₉*L	q₉aL	q₉bL	-	q_zλR

На рисунке 2.1 представлено описание машины Тьюринга с помощью системы команд.

//Установка разделителя

“=”

q₀*q₀*R

q₀a q₀aR

q₀b q₀bR

q₀λq₁=L

//Возврат на начало

слова

q₁*q₁*L

q₁aq₁aL

q₁bq₁bL

q₁λq₂ λR

//Поиск символа “*”

q₂*q₃*R

q₂a q₂aR

q₂b q₂bR

q₂=q₈=L

//Установка разделителей

для слова, между “*”

q₃*q₉*L

q₃aq₄0R

q₃bq₇1R

q₃0q₃aL

q₃1q₃bL

q₃= q₈=L

//Копирование, если

Первым символом оказался “a”

q₄*q₅*R

q₄a q₄aR

q₄b q₄bR

//Установка “a” после

Символа “=”

q₅a q₅aR

q₅b q₅bR

q₅=q₅=R

q₅*q₅*R

q₅=q₅=R

q₅ λq₆aL

//Возврат в состояние “q3”, для копирование следующего символа

q₆*q₆*L

q₆aq₆aL

q₆bq₆bL

q₆0q₃0R

q₆1q₃1R

q₆=q₆=L

//Установка “b” после символа “=”

q₇*q₇*R

q₇aq₇aR

q₇bq₇bR

q₇=q₇=R

q₇ λq₆bL

//Если комбинация “*…*” не найдена, возврат на начало слова

q₈*q₈*L

q₈aq₈aL

q₈bq₈bL

q₈ λq_z λR

//Возврат на начало слова, и замена всех разделителей

q₉*q₉*L

q₉a q₉aL

q₉bq₉bL

q₉1q₉bL

q₉0q₉aL

q₉λ q_z λR

Рисунок 2.1 – Система команд

Граф переходов изображен на рисунке 2.2. Структура данного представления следующая:

- вершины графа – состояния УУ;

- дуги графа и их направление – переходы между состояниями

- вершина, из которой выходит дуга – старое состояние;

- вершина, в которую входит дуга – новое состояние;

Рисунок 2.2 – Граф состояний

Тестовый пример работы алгоритма приведен на рисунке 2.3.

Исходное слово - *ab*b

q₀*ab*b

* q₀ab*b

*a q₀b*

*ab q₀*

*ab* q₀λ

*ab*q₁=

*abq₁*=

*aq₁b*=

* q₁ab*=

λ q₁*ab*=

q₂*ab*=

*q₃ab*=

*0q₄b*=

*0bq₅*=

*0b*q₅=

*0b*=q₅λ

*0b*=q₆a

*0b*q6=a

*0bq₆*=a

*0q₆b*=

*0q₃b*=

*01q₇*=a

*01*q₇=a

*01*=q₇a

*01*=aq₇λ

*01*=aq₆b

*01*=q₆ab

*01*q₆=ab

*01q₆*=ab

*01q₃*=ab

*01q₉*=ab

*0q₉b*=ab

*q₉ab*=ab

λq₉*ab*=ab

q_z*ab*=ab

Рисунок 2.3 – Тестовый пример работы МТ

Покажем работу машины Тьюринга на еще одном примере. На рисунке 2.4 приведен пример работы машины Тьюринга на частном случае.

Исходное слова – abba

q₀abba

aq₀bba

abq₀ba

abbq₀a

abbaq₀λ

abbaq₁=

abbq₁a=

abq₁ba=

aq₁bba=

λ q₁abba=

λ abba=

q₂abba=

aq₂bba=

abq₂ba=

abbq₂a=

abbaq₂=

abba=

λ abba=

abba=

Рисунок 2.4 – Частный случай работы машины Тьюринга

Машина Тьюринга корректно отработала для двух примеров входных слов: частном и общем. Следовательно, можно полагать, что данная машина корректно отработает на всех вариантах входных слов.

Для нахождения ближайшего простого к n числа используем композицию машин Тьюринга. Для этого составим блок-схему и запишем все элементарные машины Тьюринга.

Элементарные машины Тьюринга, реализующие каждый простой блок композиции, приведены на рисунке 2.5: