4.Примеры решения задач

Задача 1. По двум бесконечно длинным прямым па­раллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи 1₁ = 70 А и 1₂ = 50 А в одном нап­равлении. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на r₁ = 10 см от первого и r₂ = 20 см от второго проводника.

Дано: d=15 см = 0,15 м, I₁=70 A, I₂=50 A, r₁ = 10 см=0.1 м, r₂=20 см=0,2 м.

Определить B.

Рис.4.1

Решение. Согласно прин­ципу суперпозиции, магнитная индукция в точке А (рис.1)

_

,

где и - магнитные ин­дукции полей, создаваемые соответственно проводниками с токами I₁ и 1₂ (направления векторов и и то­ков I₁ и I₂ показаны на рисунке). Модуль вектора , по теореме косинусов,

, (1)

где

Подставив эти выражения в формулу (1), найдем искомое В:

. (2)

Проверим единицы измерения В:

Подставив в (2) числовые значения и вычисляя, получим:

Ответ : 178 мкТл

Задача 2. По двум параллельным прямым проводникам длинной l = 2 м каждый, находящимся в вакууме на расстоянии d = 10 см друг от друга , в противоположных направлениях текут токи = 50 A и = 100 A. Определить силу взаимодействия токов.

Дано : l = 2 м, d = 10 см = 0,1 м, = 50 A , = 100 A.

Определить F.

Решение. Согласно закону Ампера, на каждый элемент длинны проводника dl с током действует магнитное поле, создаваемом током , сила

(1)

(ее направление определено по правилу левой руки и указано на рис 2). Аналогичные рассуждения (ток находится в магнитном поле, создаваемом током ) приводят к выражению

(2)

Рис. 4.2

Модули магнитных индукций и ( направления векторов и см. на рис 2 ) определяются соотношениями

; .

Подставив это выражения в (1) и (2), получим что по модулю (направление сил указаны на рисунке 2 )

(3)

Проинтегрировав выражение (3), найдем искомую силу взаимодействия токов:

. (4)

Проверим единицы измерения F:

Подставив в (4) числовые значения и вычисляя, получим:

(мН).

Ответ: F=10 мН

Задача 3. Электрон, имеющий скорость см/с, влетает в однород­ное магнитное поле с индукцией В = под углом 30° к ее направлению. Определите радиус и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Дано: ν = м/с, В = Тл, =30⁰, е = Кл,

m = кг. Определить R и h.

Рис. 4. 3

Решение.

Разложим скорость электрона (рис.3) на две составляю­щие: параллельную линиям индукции и перпендикулярную им:

,

.

Благодаря наличию составляющей скорости на электрон действует сила Лоренца, поэтому он движется по окружности, ле­жащей в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Радиус этой окружности определяется условием

(1)

так как сила Лоренца является центростремительной силой. Отсюда

. (2)

Вдоль направления вектора сила не действует, поэтому части­ца движетcя равномерно со скоростью

(3)

В результате сложения двух движений электрон движется по винтовой линии радиусом R и шагом винта h:

h= υ₁T, (4)

где Т- период движения по окружности:

(5)

Учитывая соотношения (2), (3) и (5), из уравнения (4) получим:

(7)

Проверим единицы измерения R и h.

.

Подставив в (2) и (7) числовые значения и вычисляя получим:

(м)

Ответ: R = м, h = м

Задача 4. В однородном магнитном поле с индукци­ей В = 0,2 Тл равномерно вращается катушка, содержа­щая N = 600 витков, с частотой

n = 6 с^-1. Площадь S по­перечного сечения катушки 100 см². Ось вращения пер­пендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную ЭДС индукции вра­щающейся катушки.

Дано: В = 0,2 Тл, N = 600, n = 6 с^-1 S = 100 см² = 10^-2 м²

Определить (ε_i)max.

Решение

Согласно закону Фарадея,

ε_i =

где потокосцепление катушки ψ = NФ (N - число вит­ков, пронизываемых магнитным потоком Ф). При произ­вольном расположении катушки относительно магнит­ного поля

(1)

где круговая частота ω = 2πn. Подставив ω в (1), получим

Тогда

,

при sin(2πnt)=1,

поэтому

(ε_i )_max = 2πnNBS. (2)

Проверим единицы измерения (ε_i )_max.

(ε_i )_max

Подставив в (2) числовые значения и вычисляя, получим:

(ε_i )_max = =45,2 (В)

Ответ: (ε_i )_max = 45,2 В.

Задача 5. Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d = 0,4 мм имеет дли­ну l = 0,5 м и поперечное сечение S = 60 см². За какое время при напряжении U = 10 В и силе тока I = 1,5 А в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.

Дано: μ = 1, d = 0,4 мм = м, l = 0,5 м,

S = 60 см² = м², I = 1,5 A, U = 10 B, Q = W.

Определить t.

Решение.

При прохождении тока I при напряже­нии U в обмотке за время t выделяется теплота

Q = IUt. (1)

Энергия поля внутри соленоида

(2)

где В = μ₀μNI/l (N - общее число витков соленоида). Ес­ли витки вплотную прилегают друг к другу, то l = Nd, откуда N = l/d. Подставив выражения для В и N в (2), получим

(3)

Согласно условию задачи, Q = W. Приравняв выра­жения (1) и (3), найдем искомое время:

(4)

Проверим единицы измерения t.

Подставив в (4) числовые значения и вычисляя, получим:

(с)

Ответ: t = с

Задача 6. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d₁ = 10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I₁ =20А и I₂ =30А. Какую работу А, надо совершить (на единицу длины проводников),чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния

d₂ =20 см?

Решение:

Согласно закону Ампера для параллельных токов сила, действующая на еди-ницу длины каждого из проводников,

.

Работа, затрачиваемая на единицу длины проводника, при перемещении од-ного проводника с током в магнитном поле, создаваемом другим проводни-ком с током

Подставляя числовые данные, получим

А = 8З. 10 ^-6 Дж/м

Задача 7 .Два круговых витка радиусом R =4 см каждый расположены в па-раллельных плоскостях на расстоянии d = 5 см друг от друга. По ниткам текут токи I₁=I₂= I = 4 А. Найти напряженность Н магнитного поля в центре одного из витков. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.

Решение:

Рис.4.4

Согласно принципу суперпозиции напряженность в точке С равна

где

Если токи текут в одном направлении, то Н= Н₁ + Н₂.

По условию R_{1 =}R₂ =R и I₁₌ I₂ =I. Тогда

Подставляя числовые данные, получим Н = 62,3 А/м.

Если токи текуг в противоположных направлениях, то

Н = Н₁- Н ₂; Н = 37,7 А/м.

Задача 8 . Имеется катушка, индуктивностью L=0,1Гн и сопротивлением R=0,8Ом.Определить , во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t =30мс, если источник ЭДС отключить и катушку замкнуть накоротко.

Дано: L=0,1Гн , R=0,8Oм , t=30мc .

Определить: .

Решение. Сила тока в цепи вследствие явления самоиндукции уменьшается по закону:

(1)

Из (1) следует

Подставив числовые значения , получим:

=1,27.

Ответ: .

Задача 9. Катушка имеет индуктивность L = 0,144 Гн и сопротивление

R = 10 Ом. Через какое время t после включения в катушке потечет ток, равный половине установившегося?

Дано: L=0,144Гн ; R=10 Ом; I= .

Определить t.

Решение.Вследствие явления самоиндукции ток в цепи при ее замыкании нарастает по закону:

(1)

По условию . Сделаем замену в (1):

(2)

Произведем сокращение и выполним преобразования:

Прологарифмируем полученное выражение:

Найдём t:

(3)

Проверим единицы измерения :

Подставляя числовые данные, получим:

9,98*10^-3с.

Ответ: t=9,98*10^-3с.

Задача10. Определите циркуляцию вектора магнитной индукции для

замкнутых контуров, изображенных на рис., если сила тока в обоих

проводниках I = 2А.

Дано: I=2A.

Определить: .

Решение

Циркуляцию вектора магнитной индукции тока будем вычислять по формуле:

Рис.4.5

. (1)

Знак тока I в проводнике положителен, если его направление соответ-ствует (по правелу буравчика ) направлению обхода контура. Тогда имеем:

для первого контура

= I=4 2=2,5*10^-6=2,5мкТл· м (2)

для второго контура

= (I+I)= 4 (2+2)=5,02мкТл· м (3)

для третьего контура

= (I-I)=0. (4)

Проверим единицы измерения

Ответ: 1)2,5мк Тл· м ; 2) 5,02 мкТл·м; 3) 0.

Задача 11. Из проволоки длиной 1 =1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток 1=10 А. Найти напряженность Н магнитного поля в центре рамки.

Дано: l=1см; I=10А.

Рис.4.6

Решение. Рамку можно условно разбить на четыре проводника длиной , каждый из которых создает магнитное поле напряженностью

Из рисунка видно,что a= , угол , угол Очевидно, что результирующая напряженность . Вектор направлен от нас, в

плоскость чертежа.Таким образом,

П одставив числовые значения, получим:

36,03(А/м)

Ответ: Н=36,03А/м

Задача12.Индукция маг­нитного поля в железном стержне В = 1,2 Тл. Опре­делите для него намагни­ченность, если зависи­мость В(Н) для данного сорта ферромагнетика представлена на рис.

Дано: В=1,2 Тл. Рис.4.7

Определить Ј.

Решение.Намагниченность внутри железного сердечника

Ј= Н, (1)

где -магнитная восприимчивость вещества;

Н- Напряженность магнитного поля.

Так как магнитная проницаемость вещества

µ=1+ ,

то

Ј=(µ-1)Н . (2)

Для нахождения магнитной проницаемости µ используем формулу связи

В=µµ_°Н.

Отсюда

µ= . (3)

Используя график зависимости индукции В от напряженности внешнего магнитного поля Н, найдем соответствующее значение Н. Н=1000А/м.

Подставив значения µ в формулу (2), получим:

Ј=( -1)Н = -Н (4)

Единицы измерения очевидны.

Ј=

Ответ Ј=

Задача 13. о контуру, изображенному на рисунке, идет ток сиой I=10,0А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги L = 10,0 см, = 60°.

Дано: I=10,0А, L = 10,0 см, = 60°.

Определить: В.

Рис.4.8

Р е ш е н и е. В силу принципа суперпозиции полей магнитная индукция В в точке О равна векторной сумме магнитных индукций, созданных всеми элементами контура с током. Разобъем весь контур на участки — дугу АВ и прямолинейные отрезки ВС, СА. Для вычислеиия их магнитных полей воспользуемся формулами магнитной индукции в произвольной точке поля ,созданного проводником с током конечной длины и в центре дуги окружности длиной L,обтекаемой током I.

Тогда получим

(1)

Сначала вычислим модули всех трех слагаемых. Поскольку угол =60⁰, дуга АВ составляет 1/6 часть окружности, т. е. L=2 R/6 = R/3.Подставив это значение в формулу

, (2)

найдем

. (3)

По формуле

(4)

определим величину В_ВС. Из рисунка видно, что углы, входящие в эту фор-мулу, равны: ₁ = 30⁰, ₂= 90⁰.Расстояние от точки О до провода ВС равно а = ОС = R sin ₁ =R/2.Подставив значения а, ₁, ₂ в формулу (4), имеем

. (5)

Для вычисления магнитной индукции ,созданной проводником СА, используем закон Био-Савара в скалярной форме,

. (6)

Для любого элемента dl проводника СА угол, образованный этим эле-ментом (взятым по направлению тока) и радиусом- вектором r, проведен-ным от элемента в точку О, равен . Следовательно, = 0. Знаменатель формулы (6) отличен от нуля. Таким образом, dВ = О для любого элемента проводника СА. Отсюда ясно, что и весь проводник СА

не создает в точке О магнитного поля. Тогда соотношение (1) упростится

В=В_АВ+ В_ВС

Согласно правилу правого винта, вектор В_АВ направлен от наблюдателя, вектор Ввс — к наблюдателю. Приняв одно из этих направлений (напри-мер, второе) за положительное, можно написать скалярное равенство

В = В_ВС - В_АВ

С учетом (2) и (5),

. (7)

Проверим единицы измерения и проведем вычисления:

;

В=

Ответ В=6,9мкТл.

Задача 14. Через сечение Ѕ= аb медной пластинки толщиной b= 0,5 мм и высотой a = 10 мм едет ток I = 20 А. При помещении пластинки в магнитное

поле, перпендикулярное ребру a и направлению тока I, возникает попереч ная разность потенциалов U= 3,1-10^-6 В.

Рис.4.9

Индукция магнитного поля В= 1 Тл. Определить:

1) концентрацию n электронов проводимости в меди;

2) их среднюю скорость u при этих условиях.

Дано: Ѕ=ав; в=0.5мм=5·10^-4м; а=10мм=10^-2м; І=20А; В=1 Тл ;U=3,1·10^-6В.

При протекании тока I вдоль проводящей пластины, помещенной перпендикулярно магнитному полю, возникает поперечная разность потенциалов

, ( 1)

где b— толщина пластины, В — индукция магнитного поля. Отсюда концентрация электронов проводимости

n = (2)

По определению плотности тока

ј =une (3)

c другой стороны,

, (4)

где I — сила тока, S = аb — площадь сечения медной пластинки, тогда

. (5)

Приравнивая правые части уравнений (4) и (5), получаем

une= ,

Откуда скорость

u= , (6)

где е- заряд электрона.

Проверим единицы измерения n и u.

;

.

Подставив числовые значения в(1) и 6), получим:

4,03·10 ²⁷(м^-3)

6,2·10^-3(м/с)

Ответ: n=4,03·10 ²⁷(м^-3) ; u=6,2·10^-3(м/с).