Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве

В предыдущей главе мы познакомились с уравнением линии и прямой линии на плоскости, с кривыми второй степени, изучили вопросы, связанные с их положением. Настоящая глава посвящена аналогичным проблемам, но уже в пространстве.

5.1. Поверхности и линии в пространстве

В декартовой системе координат каждой точке пространства соответствует тройка действительных чисел и наоборот.

Так же, как это делалось при изучении линий на плоскости, поверхность рассматривают как геометрическое место точек, обладающих некоторым общим свойством. Обозначая через координаты точки в декартовой системе координат, мы выражаем посредством уравнения между ними свойство, общее всем точкам поверхности и только им. Такое уравнение называется уравнением поверхности, а входящие в него координаты- текущими координатами.

Пример 5.1. Уравнение сферы радиуса имеет вид:

Пример 5.2. Пусть уравнение не содержит переменной то есть имеет вид:На координатной плоскости xOy это уравнение определяет некоторую линиюНо ему удовлетворяют координаты всех тех точек в пространстве, у которых две первые координаты совпадают с координатами любой точки линии.  Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Oz и пересекающей линию(рис.5.1).

Всякую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей. Пусть есть уравнение тех поверхностей, пересечение которых дает линию. Координаты любой ее точки удовлетворяют обоим уравнениям, так как эти точки лежат одновременно на обеих поверхностях. Верно и обратное, система двух уравнений указанного вида определяет, вообще говоря, в пространстве линию как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.

5.2. Уравнение плоскости в пространстве

Рассмотрим  теперь простейшую поверхность - плоскость и несколько способов ее задания.

Положение плоскости в пространстве полностью определяется ее расстоянием от точки(длинной перпендикуляра, опущенного из точкина плоскость), и единичным вектором, перпендикулярным плоскости и направленным от точкик плоскости (рис.5.2). Когда точкадвижется по плоскости, то ее радиус векторменяется так, что

. (5.1)

Это условие имеет место для всех точек плоскости и лишь для них. Но , следовательно, уравнение (5.1) может быть переписано в виде:

 (5.2)

Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости.

Переходя в уравнении (5.2) к координатам и помещая их начало в точку , заметим, что проекции единичного векторана координатные оси равны его направляющим косинусам, а проекциями радиуса-вектораточкислужат её координаты. Выражая скалярное произведениечерез их координаты, получим:

 . (5.3)

Уравнение (5.3) называется  нормальным уравнением плоскости в канонической форме. Его степень относительно равна единице, следовательно, всякую плоскость можно задать уравнением первой степени относительно текущих координат.

Заметим, что уравнения (5.2) и (5.3) верны и тогда, когда , т.е. плоскость проходит через начало координат. В этом случае заможно принять любой из двух единичных векторов, перпендикулярных к плоскости (они отличаются знаком).

Покажем теперь, что всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость. Возьмем уравнение первой степени общего вида:

(5.4)

Будем рассматривать как проекции некоторого векторана оси координат, аогда уравнение (5.4) может быть переписано в векторной форме в следующем виде:

 (5.5)

Покажем, что уравнение (5.5) может быть приведено к нормальному виду (5.2). Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть . Разделим уравнение (5.5) на модуль вектора, получим:, так как. Обозначивчерез, получим нормальное уравнение

2) Если , то разделим уравнение (5.5) напосле чего оно примет вид:. Обозначивчерез, получим нормальное уравнение.

3) Если , то уравнение (5.5) можно разделить как нав первом случае мы получим, во втором -Каждое из них является нормальным уравнением.

Таким образом, уравнение (5.5) всегда может быть приведено к нормальному виду (5.2). Но нормальное уравнение определяет плоскость. Следовательно, уравнение (5.5), а значит и исходное уравнение (5.4), определяют плоскость.

Уравнение (5.4) называется общим уравнением плоскости.

Всякий вектор, отличный от нуля и перпендикулярный к плоскости, называется . Тогда, очевидно, векторбудет одним из нормальных векторов плоскости. Таким образом, коэффициентыпри текущих координатах в уравнении (5.4) имеют простой геометрический смысл: они являются проекциями нормального вектора на оси координат. Смысл свободного членазаключается в том, что его абсолютная величина, разделенная на длину нормального вектора, равна расстоянию от плоскости до начала координат.

Если за нормаль плоскости выбран единичный вектор, направленный из начала координат перпендикулярно к данной плоскости, то уравнение (5.5) превращается в нормальное.

Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора взяв ее со знаком + или -, смотря по тому, будет ли свободный членотрицательным или положительным. Иными словами, для приведения общего уравнения (5.5) к нормальному виду надо умножить его на

причем знак множителя надо брать противоположным знаку свободного члена . После умножения науравнение (5.5) принимет вид:и совпадет с нормальным уравнением (5.3). Следовательно:

(5.7)

Подставляя значение из (5.6) в эти равенства, получаем:

Если то в этих формулах берется знак "+", иначе "-".

Замечание 5.1. Если два уравнения определяют одну и ту же плоскость, то соответствующие коэффициенты их пропорциональны. Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба эти уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение. Коэффициенты каждого из них пропорциональны коэффициентам этого нормального уравнения, а потому пропорциональны и между собой.

Пример. 5.3. Уравнение плоскости привести к нормальному виду. Нормирующий множитель будет:

умножая на него данное уравнение, получим:

Для данной плоскости, следовательно, имеем:

Исследуем теперь, какое положение относительно осей координат занимает плоскость, заданная уравнением

, (5.8)

если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

Если то уравнению (5.8) удовлетворяютт.е. плоскость проходит через начало координат. Если, то

(5.9)

На плоскости Oxy это уравнение задает прямую. Рассматривая же его в пространстве, мы будем иметь геометрическое место тех точек, которые проектируются на плоскость Oxy в точки указанной прямой. Таким образом, уравнение (5.9) определяет плоскость, параллельную оси Oz. Аналогично, если , то уравнениеопределяет плоскость, параллельную оси Oy. Наконец, если, то уравнениеопределяет плоскость, параллельную оси Ox.

Допустим теперь, что два коэффициента равны нулю,например . Уравнениеопределяет плоскость, проходящую через начало координат параллельно оси Oz, т.е. это будет плоскость, проходящая через ось Oz. Аналогично уравнение видаопределяет плоскость, проходящую через ось Oy, а уравнениеопределяет плоскость, проходящую через ось Ox.

Если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, например то уравнениеопределяет плоскость, параллельную оси Ox и оси Oy, т.е. плоскость, параллельную плоскости координат Oxy. Также уравненияиопределяют плоскости, параллельные соответственно Oxz и Oyz.

Если, наконец, три коэффициента равны нулю, например , то уравнениеопределяет плоскость координат Oyz. Также уравненияиопределяют соответственно плоскости координат Oxz и Oxy.

Приведем еще несколько форм задания уравнения плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках. Рассмотрим плоскость, пересекающую все три  координатные оси и не проходящую через начало координат. Ее уравнение можно записать в виде

, (5.10)

где ни один из коэффициентов не равен нулю. Обозначим черезвеличины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (рис.5.3). Так как точка) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.10), тогдаили

Аналогично, используя точки получим:

Подставляя найденные значения в уравнение (5.10), получим:

Сокращая на , которое в силу предположения не равно нулю, найдем:, или

Это и есть искомое уравнение плоскости в отрезках.

Пример 5.4. Уравнение плоскости написать в отрезках. Полагая в данном уравнениинайдем. Аналогично, полагая. Следовательно, искомое уравнение в отрезах будет.

Уравнение плоскости, проходящей через точку. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку M с радиус-вектором  (a;b;c)и перпендикулярной вектору . Обозначим эту плоскость(рис.5.4).

Проведем радиус-вектор  в произвольную точкуэтой плоскости. Тогда векторили, как лежащий в плоскости P, будет перпендикулярен векторуN. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

(5.11)

Это равенство есть условие того, что точка лежит в плоскости. Оно справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается только тогда, когда точкаоказывается вне плоскостиВыражая скалярное произведение векторов через координаты сомножителей, получим уравнение  плоскости, проходящей через заданную точку, в координатной форме:

. (5.12)

Изменяя значения , мы будем получать различные плоскости, проходящие через данную точку. Таким образом, уравнение (5.12) при любых значениях коэффициентовзадает плоскость, проходящую через точку).

Пример 5.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному векторуУравнение искомой плоскости:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим их радиусы-векторы через  а радиус-вектор текущей точкичерез. Векторы

, лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарные и их смешанное произведение равно нулю:

( -)()( )=0. (5.13)

Это и есть  уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки в векторной форме.  Переходя к координатам, получаем:

=0

где  

Если три данные точки лежат на одной прямой, то векторы , коллинеарны. Поэтому соответствующие элементы двух нижних строк определителя пропорциональны и определитель равен нулю. Следовательно, уравнение (5.14) обращается в тождество при любых значениях . Геометрически это означает, что через каждую точку пространства проходит плоскость, в которой лежат три данные точки.

Пример 5.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки . Используем уравнение (5.14):

Отсюда получаем искомое уравнение: .