5.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

В прикладных задачах часто требуется найти не экстремумы изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда, согласно теореме (§3.5), функция достигает своего наибольшего или наименьшего значений либо во внутренней точкеотрезка, либо на границе отрезка, т.е. при=а или =b. Если , то точкуследует искать среди критических точек данной функции.

Укажем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка , т.е.и;

4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1) ;

; ,,;

2) ,,;

3) ;;

4) ,.

5.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Для уточнения поведения функции и формы графика функции рассмотрим вопросы, связанные с понятием направления выпуклости.

Определение.

График дифференцируемой функции называетсявыпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной к данному графику (рис.5.8).

Рис. 5.8

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других − вогнутым. Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Если функция во всех точках интервалаимеет отрицательную вторую производную:, то график функции в этом интервале выпуклый. Если− график вогнутый.

Определение.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называетсяточкой перегиба (рис.5.9).

Рис. 5.9

Из определения следует, что при переходе через точку перегиба, меняется направление выпуклости кривой, следовательно, в этой точке меняет свой знак. Заметим, чтоможет менять свой знак лишь в точках, где она равна нулю, или в точках, гдене существует. Отсюда получаем необходимое и достаточное условия точки перегиба.

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба)

Если функция дважды дифференцируема на интервалеиявляется точкой перегиба, тоилине существует.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба)

Если вторая производная при переходе через точку, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссойесть точка перегиба.

Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используют следующую схему:

1) найти ;

2) найти и;

3) определить точки, в которых или не существует (в частности,);

4) исследовать знак слева и справа от каждой такой точки;

5) указать координаты точек перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.

Пример

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

1) ;

2) ,;

3) ,,,;

для ; («»);

для ; («»);

для ; («»);.

4) ,.

Точки перегиба имеют координаты и.

Интервалы выпуклости: .

Интервалы вогнутости: и.