88

Глава 5 исследование функций и построение графиков

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций, т.е. к характеристике поведения функции при изменении независимой переменной.

5.1. Возрастание и убывание функций

Согласно определению (п.1.12), функция возрастает (убывает) на интервале, если большему значению аргументах из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции у.

Из определения следует, что для возрастающей функции приращение функции и приращение аргументаимеют одинаковые знаки, и следовательно, их отношение положительно, т.е.

.

Для убывающей функции иимеют противоположные знаки, в силу чего, отношение приращений отрицательно:

.

Если функция в интервале дифференцируема, то, переходя в неравенствах к пределу при, получим:

− для возрастающей в интервале функции

;

− для убывающей в интервале функции

.

Сформулируем необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема (необходимые условия).

Если дифференцируемая на интервале функциявозрастает (убывает), то ее производнаянеотрицательна:(неположительна:) для всех.

Геометрически эта теорема означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы () с положительным направлением осиОх (рис. 5.1), а касательные к графику убывающей функции − тупые углы () (рис. 5.2).

Теорема (достаточные условия).

Если функция дифференцируема на интервалеи ее производная положительна:(отрицательна:) для всех, то эта функция возрастает (убывает) на интервале.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Таким образом, изучение вопроса об участках возрастания или убывания дифференцируемой функции сводится к исследованию знака первой производной этой функции.

Пример

Найти интервалы возрастания и убывания функции: .

Функция определена на всей числовой оси.

Имеем ;;.

Следовательно, функция возрастает (« ↑ ») в интервале .

; .

Функция убывает (« ↓ ») в интервале .

5.2. Максимум и минимум функций

Особую роль в исследовании функций играют значения х, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или наоборот.

Определение.

Точка называетсяточкой максимума (точкой минимума) функции , если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство

.

Значение функции в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом функции.

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то ее производная в этой точке равна нулю:

.

Геометрически условие означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна осиОх (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е., если , еще не означает, что− точка экстремума. Например, для функцииее производнаяравна нулю при, ноне точка экстремума (рис. 5.4). Кроме того, функция может иметь экстремум в точке, в которой производная не существует. Например, непрерывная функцияпроизводной в точкене имеет, но точка− точка минимума (рис. 5.5.).

Рис. 5.4 Рис. 5.5

Из этого следует, что непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Для того, чтобы выяснить в каких критических точках функция имеет экстремум устанавливают достаточные условия экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точкии при переходе через нее (слева направо) производнаяменяет знак с плюса на минус, тоесть точка максимума; с минуса на плюс, то− точка минимума.

Графическая иллюстрация теоремы приведена на рис.5.6.

Рис. 5.6

Замечание.

Если производная не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума (рис.5.7).

Рис. 5.7

Отыскания экстремумов функции обычно проводят по следующей схеме:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, в которых илине существует;

3. исследовать знак слева и справа от каждой критической точки и определить экстремум (максимум или минимум);

4. вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример

Найти экстремумы функции: .

1) ;

2) ;;;

3)

для ; (« ↑ »);

для ; (« ↓ »);

для ; (« ↑ »);.

Значит, − точка максимума,− точка минимума;

4) ;.

Иногда, исследование знака первой производной слева и справа от критической точки вызывает затруднение. В этом случае такое исследование можно заменить определением знака второй производнойв самой точке. На этом основано второе достаточное условие экстремума.

Теорема (второе достаточное условие экстремума)

Если в точке первая производная функцииравна нулю:, а вторая производная в точкесуществует и отлична от нуля:, то прив точкефункция имеет максимум и минимум − при.

Пример

Найти экстремумы функции: на отрезке.

1) ;

2) ;;,;;

3) ;

4) ;

.

Значит, − точка минимума,− точка максимума.

5) ;.

Заметим, что второе достаточное условие экстремума имеет ограниченное применение по сравнению с первым, поскольку неприменимо к точкам, в которых производная не существует или .