Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Глава 6.doc
Скачиваний:
195
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
630.27 Кб
Скачать

Примеры

1.

2.

.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Если и− дифференцируемые функции, то

.

Интегрируя это равенство, получим

или

.

Тогда

.

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться более простым, чем первый.

В таблице приведены типы интегралов, которые могут быть вычислены только по частям, и указано, что следует принимать за u и, что на dv.

№ п/п

Интеграл

u

dv

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

где а и b − числа.

Замечание.

Иногда, для получения результата надо последовательно применить интегрирование по частям несколько раз.

Примеры

1. ;

2.

;

3.

.

Упражнения

Найти интегралы, используя непосредственное интегрирование:

1.

;

Ответ: ;

2.

;

Ответ: ;

3.

;

Ответ: ;

4.

;

Ответ: ;

5.

;

Ответ: ;

6.

;

Ответ: ;

7.

;

Ответ: ;

8.

;

Ответ: ;

9.

Ответ: ;

10.

;

Ответ: .

Найти интегралы, используя метод подстановки:

11.

;

Ответ: ;

12.

;

Ответ: ;

13.

;

Ответ: ;

14.

;

Ответ: ;

15.

;

Ответ: ;

16.

;

Ответ: ;

17.

;

Ответ: ;

18.

;

Ответ: ;

19.

;

Ответ: ;

20.

;

Ответ: ;

21.

;

Ответ: ;

22.

;

Ответ: ;

23.

;

Ответ: ;

24.

;

Ответ: .

Найти интегралы, используя интегрирование по частям:

25.

;

Ответ: ;

26.

;

Ответ: ;

27.

;

Ответ: ;

28.

;

Ответ: ;

29.

;

Ответ: ;

30.

;

Ответ: .

Литература

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов.− М.: Физматлит, 2004.

2. Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов.−М.: Аспект Пресс, 2005.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.− М.: АстрельАСТ, 2004.

4. Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности.− М.: Дрофа, 2004.

5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике.−М.: Айрис Пресс, 2006.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. −М.: Наука, 1968.

7. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.− М.: Физматлит, 2003.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.I,II.−М.: Наука, 1966.

9. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики.−М.: Высшая школа, 1973.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]