- •Введение.
- •Свойства жидкостей.
- •Гидростатика
- •Гидростатическое давление и его свойства.
- •Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения л. Эйлера)
- •Уравнение гидростатики
- •Закон Паскаля
- •Пьезометрическая высота
- •Удельная потенциальная энергия
- •Лекция 3 Приборы для измерения давления
- •Силы давления жидкости на поверхности
- •Вектор силы давления жидкости на криволинейную стенку
- •Определение толщины стенок труб, воспринимающих внутреннее давление жидкости и силы в колене трубы.
- •Закон Архимеда и плавание тел
- •Остойчивость тел
- •Лекция 4. Гидродинамика.
- •Основные гидродинамические понятия.
- •Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
- •Дифференциальные уравнения неразрывности движущейся жидкости
- •Уравнение неразрывности
- •Лекция 5. Уравнение установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости (уравнение д.Бернулли)
- •Механическая энергия потока жидкости
- •Уравнение Данила Бернулли для потока реальной жидкости.
- •Примеры практического применения уравнения д. Бернулли Трубы Вентури
- •Гидродинамическая трубка Пито.
- •4.5.3. Гидродинамическая трубка Пито - Прандтля.
- •4.5.4. Водоструйный насос (эжектор).
- •Карбюратор.
- •Лекция 6. Гидравлические сопротивления и потери напора.
- •Режимы движения жидкости.
- •Силы трения и закон распределения скоростей при ламинарном и турбулентном режимах движения жидкости.
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения л. Эйлера)
Дифференциальные уравнения описывают зависимость массовых и поверхностных сил от координат какой-либо точки покоящейся жидкости. Для вывода этих уравнений выделим в покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами ,,и с центром в точкеА. Ориентируем этот параллелепипед относительно координатных осей ;;(рис. 3).
Рис. 3. К выводу уравнения Л.Эйлера.
На грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости действуют поверхностные силы – силы гидростатического давления направленные внутрь параллелепипеда и массовые силы – сила тяжести и сила инерции переносного движения. Равнодействующая массовых сил.
Установим связь между гидростатическим давление в точке А () и массовыми силами.
Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда
; ;
Эти же силы гидростатического давления, выраженные через гидростатическое давление в т. А.
; и т.д.
Здесь ;и т.д. градиенты давления по соответствующим координатным осям.
Равнодействующая массовых сил
Условие равновесия выделенного параллелепипеда:
; ;
Рассмотрим случай .
, или в развернутом виде:
где ;
–проекция единичной массовой силы (т.е. сила, отнесенная к единице массы) на ось .
После простейшего преобразования получаем , а по аналогии для других координатных осей;.
Таким образом, условием равновесия жидкости будет
(13)
В таком виде система уравнений была получена Л. Эйлером в 1775 году.
Система дифференциальных уравнений показывает, что градиенты гидростатического давления в направлении каждой из координатных осей равны проекциям на эти же оси единичных массовых сил.
Уравнение гидростатики
Умножим каждый из членов входящих в систему (13) дифференциальных уравнений, соответственно на ;;и просуммируем их. В результате этих действий получим:
(14)
Уравнение (14) является аналитическим выражением распределения гидростатического давления жидкости.
Для случая покоящейся жидкости гидростатическое давление . Следовательно, правая часть уравнения (14) представляет полный дифференциал давления -.
Таким образом, приведенное выше уравнение (14) приобретает следующий вид:
(15)
Применим уравнение (15) к случаю абсолютного покоя жидкости, когда массовой силой является только сила тяжести. При принятом направлении координатных осей проекции этой силы будут:
; ;,
а уравнение (15) применительно к точке 1 приобретает вид:
.
После интегрирования получим:
При – давление на свободной поверхности, а– глубина погружения в жидкости точки, для которой определяется давление:
(16)
где |
|
– давление на свободной поверхности; |
|
– плотность жидкости. |
Уравнение (16) называется основным уравнением гидростатики.
Закон Паскаля
«Если жидкость находится в состоянии покоя, то изменение давления на любой внешней поверхности, возникающее от действия внешних сил, передается без изменения во все точки объема, занимаемого данной жидкостью».
Доказательство из уравнения (16).
Абсолютное давление в т. А при размещении поршня в положении – (рис. 3а):
(17)
После перемещения поршня в положение (рис. 3а) давление на свободной поверхности увеличится на величинуи будет равно , а абсолютное давление в т. Абудет равно
т.е. при изменении давления на свободной поверхности на , на эту же величину увеличится давление в точке А.
Эта идея использована Паскалем в принципиальной концепции гидропроцесса.
Рис. 3а. Схема действия давления по закону Паскаля.