2 Задание для компьютерного практикума по теме ««Средние величины и показатели вариации»

Цель: Освоить расчет средних величин и вариации для анализа данных судебной статистики.

Задачи: 1. Рассчитать средний срок лишения свободы за преступления различной степени тяжести.

2. Рассчитать медиану срока лишения свободы за преступления различной степени тяжести.

3. Рассчитать моду срока лишения свободы за преступления различной степени тяжести.

4. Рассчитать разброс сроков лишения свободы (дисперсию) около среднего значения для каждой категории преступлений.

5. Вычислить коэффициент вариации и сделать вывод относительно однородности статистической совокупности.

Исходные статистические данные.

Таблица 5.

Замечание. В статистической таблице представлены данные статистической отчетности по судимости в Российской Федерации за 2008 г. из формы № 10.1 «Результаты рассмотрения уголовных дел с учетом сложения наказаний» Судебного департамента по судам общей юрисдикции (без военных судов). В строках число осужденных учтено по основной статье приговора, вступившего в законную силу (по наиболее тяжкой статье), а в графах – по срокам лишения свободы в итоговом наказании (по совокупности преступлений или приговоров). Поэтому имеются значения по срокам лишения свободы, превышающим предел, допустимый по определенной категории тяжести преступлений.

Необходимые сведения из теории.

Средняя величина- это обобщающий показатель, который характеризует качественно однородную совокупность по определенному количественному признаку. Например, средний возраст лиц, осужденных за кражу.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи, с чем каждый вариант приходится умножать на соответствующую численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту называют статистическим весом.

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней. Она равна сумме отдельных значений признака, деленной на общее число этих значений:

,

где x₁,x₂, … ,x_N– индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), а N – число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок. Она вычисляется как сумма произведений вариантов на соответствующие им частоты, деленная на сумму частот всех вариантов:

,

где x_i – значение i–й варианты признака; f_i – частота i–й варианты.

Таким образом, каждое значение варианты взвешивается по своей частоте, поэтому частоты иногда называют статистическими весами.

Замечание. Если вычисление средней величины производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, то сначала надо определить серединные значения каждого интервала х'_i, после чего рассчитать среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной, где вместо x_iиспользуется х'_i.

Вариация– это различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Показатели вариации используются для установления типичности средней величины, т. е. насколько точно характеризует средняя данную совокупность по определенному признаку.

К основным показателям вариации относятся следующие:

1) дисперсия ;

2) среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации.

Дисперсия определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.

Простая дисперсиядля не сгруппированных данных:

.

Взвешенная дисперсиядля вариационного ряда:

Замечание. На практике для вычисления дисперсии лучше использовать следующие формулы:

Для простой дисперсии

.

Для взвешенной дисперсии

Среднее квадратическое отклонение- это корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем, однороднее совокупность и тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю совокупность.

Коэффициент вариации– выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или одного и того же признака в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному распределению).

Порядок работы

1 Открыть новый файл в приложении MS Excel и сохранить файл, указав в имени файла свою фамилию. Создать в Excel таблицу 5 и добавить к ней справа 4 столбца: «Дисперсия срока лишения свободы», «Медиана срока лишения свободы», «Мода срока лишения свободы», «Среднее квадратическое отклонение» и «Коэффициент вариации».

2. Рассчитайте общее число осужденных по всем графам (просуммируйте).

3. Определите середину интервала по всем показателям сроков лишения свободы и укажите ее по графам в строке «Середина интервала» ( в первой группе «до1 года» не указана нижняя граница, за нее принимается 2 месяца или 1/6 года).

4. Введите формулу средней взвешенной после знака «=» в строку формул (сумму произведений числа осужденных по соответствующей категории на середину интервала срока лишения свободы разделить на общее число осужденных к лишению свободы этой категории тяжести). Протяните формулу по всем строкам – для всех категорий и общего числа осужденных (не забудьте зафиксировать адреса ячеек, ссылающиеся на середины интервалов знаком $).

5. Найдите медианный интервал для категории числа осужденных «небольшой тяжести». Рассчитайте медиану, введя в первую свободную ячейку столбца «Медиана срока лишения свободы» после знака «=» формулу для вычисления медианы интервального вариационного ряда. Аналогично найдите медиану для остальных категорий осужденных и общего числа осужденных.

Формула исчисления медианы для интервального вариационного ряда имеет следующий вид:

М_е = Х_Ме + i_Ме * (∑f/2 - S_Ме-1)/f_Ме,

Где Х_Ме - начальное значение медианного интервала;

i_Ме - величина медианного интервала;

∑f - сумма частот ряда (численность ряда);

S_Ме-1 - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме- частота медианного интервала.

2. Найдите модальный интервал для категории числа осужденных «небольшой тяжести». Рассчитайте моду, введя в первую свободную ячейку столбца «Мода срока лишения свободы» после знака «=» формулу для вычисления моды интервального вариационного ряда. Аналогично найдите моду для остальных категорий осужденных и общего числа осужденных.

Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в интервале, применяют формулу:

М_о = Х_Мо + i_Мо *(f_Мо - f_Мо-1)/((f_Мо - f_Мо-1) + (f_Мо - f_Мо+1)),

Где Х_Мо - минимальная граница модального интервала;

i_Мо - величина модального интервала;

f_Мо - частота модального интервала;

f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

2. Введите формулу взвешенной дисперсии после знака «=» в строку формул. При этом лучше использовать формулу, приведенную в замечании, взяв средний срок лишения свободы , вычисленный на четвертом этапе работы. Протяните формулу по всем строкам – для всех категорий и общего числа осужденных (не забудьте зафиксировать адреса ячеек, ссылающиеся на середины интервалов знаком $).

3. Найдите среднее квадратическое отклонение σ для каждой категории осужденных и общего числа осужденных, введя в первую свободную ячейку столбца «Среднее квадратическое отклонение» после знака «=» формулу для его вычисления.

4. Найдите коэффициент вариации для каждой категории осужденных и общего числа осужденных, введя в первую свободную ячейку столбца «Коэффициент вариации» после знака «=» формулу для его вычисления.

5. Сделайте вывод об однородности статистических совокупностей, используя полученные значения коэффициента вариации.

6. Постройте диаграмму с графиками, отражающими распределение числа осужденных за преступления различной степени тяжести по срокам лишения свободы.

7. Исключите из расчетов число осужденных, которым были назначены в итоговом наказании сроки лишения свободы, превышающие верхний предел по тяжести, предусмотренный ст. 15 УК РФ ( в редакции, соответствующей 2008 году). Произведите в дополнительных столбцах пересчет рассчитанных средних значений и показателей вариации, Сравните полученные результаты.