Serov_ch_1 / !poz049

41

где γ — показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей:

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона — Менделеева для данного случая p1V1 = (m / M )RT1 , получим

выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

Ответ: а) ∆U =121 Дж; б) ∆U = - 44,6 Дж.

Пример 14. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T1 = 500 К Определить термический КПД η цикла и температуру T2

теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу A=350 Дж.

Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический

42

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, полученное газом, Q = A + ∆U. Для изотермического процесса ∆U = 0, поэтому Q = A. Работа газа в изотермическом процессе

Вычисляя, получаем ∆S = 2,06 Дж/К.

Пример 16. В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр. Разность уровней ртути в сосуде и капилляре h = 37 мм. Принимая плотность ртути ρ =13,6г/ см3 , а ее

поверхностное натяжение σ = 0,5 Н/м, определить радиус кривизны ртутного мениска в капилляре.

Решение. Избыточное давление, вызванное кривизной мениска,

∆p = 2σ / R ,

где σ - поверхностное натяжение; R – радиус кривизны ртутного мениска. Так как ртуть – несмачивающая жидкость, то она в капилляре опускается на такую высоту, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) ρgh

уравновешивается избыточным давлением ∆p , т. е.

2σ / R = ρgh ,

где ρ - плотность ртути; g – ускорение свободного падения. Отсюда искомый радиус кривизны ртутного мениска

R = 2σ /(ρgh) .

Вычисляя, получим R = 2,03 мм.

Контрольная работа 2

Таблица вариантов

43

201.Определить число N атомов в 1 кг водорода и массу одного атома водорода.

202.Определить количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд объемом

V=3 л, если концентрация молекул газа в сосуде n = 2 1018 м−3 .

203.Найти молярную массу M и массу m M одной молекулы поваренной соли.

204.В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1г. Определить концентрацию молекул кислорода в сосуде.

205.За время t = 10 суток из стакана полностью испарилось m = 100 г воды . Сколько

всреднем молекул вылетало с поверхности воды за 1 с ?

206.Вычислить массу одной молекулы кислорода .

207.В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определить: 1) количество вещества ν; 2) массу азота; 3) концентрацию n его молекул в сосуде.

208.В сосуде вместимостью V = 0,3 л при температуре T = 290 K находится

некоторый газ. На сколько понизится давление p газа в сосуде, если из него из-за утечки выйдет N = 10 19 молекул?

209.В колбе вместимостью 240 см3 находится газ при температуре 290 К и давлении

50кПа. Определите количество вещества газа (число молей) и число его молекул.

210.Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение зимой ( t1 = 7°С),

больше его плотности летом ( t2 = 37°С)? Давление газа считать постоянным.

211. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление p1 = 2 MПа , и температура T1 = 800 K , в другом p2 = 2,5 MПа, T2 =200 K. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры T=200K. Определить установившееся в сосудах давление p.

212.В баллоне находится газ при температуре T1 = 400 K. До какой температуры T2 надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

213.В закрытом сосуде находится 10 кг при давлении 107 Н/м2. Найти, какое

количество газа взяли из сосуда, если окончательное давление стало равным

2,5 10 6 Н/м 2?

214.Азот массой 7 г находится под давлением p1 = 0,1 МПа и температуре Т1=290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V2 = 10 л. Определить: 1) объем V1 газа до расширения ; 2) температуру Т2 газа после расширения ; 3) плотности газа до и после расширения .

215.Баллон объемом V = 30 л содержит смесь водорода и гелия при температуре

Т=300 К и давлении p = 828 кПа. Масса m смеси равна 24 г. Определить массу m1 водорода и массу m2 гелия .

216.По газопроводной трубе идет углекислый газ СО2 при давлении p=3,9 105Н/м2 и температуре t=70C. Какова скорость движения газа в трубе, если за t = 10 мин протекает m = 2 кг газа и площадь сечения канала трубы S=5см2? Mr co2 =44.

217. Сосуд емкостью 2V = 2 10 3 м3 разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В одну половину сосуда введен водород массой m1 = 2 г и азот массой m2 = 28 г , в другой половине вакуум . Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддерживается температура Т = 373 К. Какие давления установятся в обеих частях сосуда?

218. Сколько гелия потребуется для наполнения воздушного шара диаметром

44

d = 10 м , чтобы шар смог поднять груз весом Q = 980 Н при нормальном атмосферном давлении и температуре Т = 290 K ? Объемом груза пренебречь.

219.Какой объем V занимает смесь газов - азота массой m1 = 1 кг и гелия массой m2 = 1 кг – при нормальных условиях?

220.В сосуде объемом V = 0,01 м3 содержится смесь газов – азота массой m1=7г и водорода массой m2 = 1 г – при температуре Т = 280 K. Определить давление p смеси газов.

221.Найдите полную кинетическую энергию 1024 молекул кислорода и давление, которое они оказывают на стенки сосуда, если они занимают объем 10 л при температуре 300 К.

222.Найдите температуру углекислого газа, если средняя энергия вращательного

движения одной молекулы равна 1,6 10-20 Дж.

223.Азот массой m = 10 г находится при температуре Т= 290 К . Определить:

1)среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул азота. Газ считать идеальным .

224.Кислород массой m = 1кг находится при температуре Т = 320 К. Определить:

1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.

225. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию молекулы ε этого газа при температуре Т=300К, если количество вещества

ν этого газа равно 0,5 моль.

226. В закрытом сосуде находится смесь азота массой m 1 = 56 г и кислорода массой m 2 = 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси, если ее охладили на 20° .

227.Определить среднюю арифметическую скорость < v > молекул газа, если их средняя квадратичная скорость < v КВ > = 1км /c .

228.Определить среднюю квадратичную скорость < v КВ > молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Масса газа m = 3г.

229.Найдите концентрацию молекул кислорода, если их средняя квадратичная

скорость равна 400 м/с, а давление 5 104 Па.

230.Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они

были очень крупными молекулами. Определите среднюю квадратичную скорость пылинки массой 10-2 г, если температура воздуха 300 К.

231.Считая азот идеальным газом, определить его удельную теплоемкость:

1)для изобарного процесса ; 2) для изохорного процесса .

232.Определить удельные теплоемкости cv и cp , если известно, что некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем V =5,67м3./кг. Какой это газ?

233.Определить удельные теплоемкости cV и cP смеси углекислого газа массой

m 1 = 3 г и азота массой m 2 = 4 г .

234.Вычислить удельные теплоемкости газа, зная , что его молярная масса

М= 4 10 -3 кг/ моль и отношение теплоемкостей Cp / Cv = 1,67 .

235.Трехатомный газ под давлением p = 240 кПа и температуре t = 20°C занимает объем V = 10 л. Определить теплоемкость Cp этого газа при постоянном давлении.

45

236. Разность удельных теплоемкостей cp − cv некоторого двухатомного газа равна

260 Дж/(кг К). Найти молярную массу М газа и его удельные теплоемкости cP и cV . 237. Определить удельную теплоемкость cV смеси газов, содержащей

V1=5 л водорода и V2=3 л гелия. Газы находятся при одинаковых условиях.

238.Определить удельную теплоемкость cp смеси кислорода и азота, если

количество вещества ν1 первого компонента равно 2 моль, а количество вещества ν2 второго равно 4 моль.

239. В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную теплоемкость cV смеси этих газов, если массовые доли аргона ω1 и азота ω2 одинаковы и равны 0,5.

240.Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при одинаковых условиях и в равных объемах. Определить удельную теплоемкость cp смеси.

241.В сосуде емкостью 1 л содержится кислород массой m = 32 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре T = 100 K .

242.Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре T = 400 K и давлении p =1,38 Па.

243.Определить коэффициент диффузии гелия при давлении p= 106 Па и температуре

27°C .

244.Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуре

T = 400 K.

245.В сосуде емкостью 5 л содержится 40 г гелия. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре T = 400 K .

246.Средняя длина свободного пробега молекул кислорода при температуре 300 К и давлении 0,1 МПа равна 200 нм. Найдите эффективный диаметр молекулы кислорода.

247.Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных условиях равна 180 нм. Найдите коэффициент диффузии гелия.

248.Определите среднее число столкновений одной молекулы азота за 1 с при нормальных условиях, если коэффициент вязкости азота при этих условиях

η = 1,8 10-5 Па с.

249.Найдите коэффициент теплопроводности гелия при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы гелия 0,20 нм.

250.Идеальный газ совершил процесс, в результате которого его давление возросло в n раз. Как и во сколько раз изменились средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений каждой молекулы в единицу времени, если процесс изохорный?

251.Кислород массой m = 32 г находится в закрытом сосуде под давлением

p = 0,1 MПа при температуре T = 290 K . После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определить: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газу.

252.Некоторый газ массой 1кг находится при температуре T = 300 K и под

давлением p1 = 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увеличилось в 2 раза. Работа, затраченная на сжатие А = - 432 кДж. Определить:

1) какой это газ ; 2) первоначальный удельный объем газа.

253.Азот массой 50 г находится при температуре T1 = 280 K .В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в n = 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной

46

первоначальной. Определить: 1) работу, совершенную газом ; 2) изменение внутренней энергии газа .

254.Работа расширения некоторого идеального двухатомного газа составляет

А= 2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.

255.Азот массой m = 1кг занимает при температуре T 1 = 300K объем V1 = 0,5м3. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Определить: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру; 3) изменение внутренней энергии газа.

256.Азот массой 500 г находящийся под давлением p1= 1MПа при температуре

t1=127 °C , подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в n = 3 раза. После этого газ подвергли адиабатическому сжатию до начального давления , а затем он был изобарно сжат до начального объема . Построить график цикла и определить работу , совершенную газом за цикл .

257.Азот массой m = 14 г сжимают изотермически при температуре T = 300 K от

давления p1 = 100 кПа до p2 = 500 кПа. Определить : 1) изменение внутренней энергии газа ; 2) работу сжатия ; 3) количество выделившейся теплоты .

258.При адиабатическом расширении кислорода ( v = 2 моль ), находящегося при нормальных условиях, его объем увеличился в n=3 раза. Определить: 1) изменение внутренней энергии газа ; 2) работу расширения газа .

259.Кислород массой 10 г, находящийся при температуре 370 К, подвергли адиабатическому расширению, в результате которого его давление уменьшилось в n=4 раза. В результате последующего изотермического процесса газ сжимается до первоначального давления. Определить : 1) температуру газа в конце процесса ; 2) количество теплоты, отданное газом; 3) приращение внутренней энергии газа; 4) работу, совершенную газом.

260.Какая доля ω1 количества теплоты Q , подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение ∆U внутренней энергии

газа и какая доля ω2 - на работу A расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.

261.Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.

262.Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количество теплоты 5,5 к Дж и совершил работу 1,1кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) отношение температур нагревателя и холодильника .

263.Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к.п.д. которого равен 0,4. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет 400 Дж.

264.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя T1=500К, холодильника Т2=300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2кДж. Определить: 1) термический к.п.д. цикла; 2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику.

47

265. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно , при этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличивается в n = 4 раза . Определить термический к.п..д. цикла .

266. При нагревании двухатомного идеального газа (v = 3 моль ) его термодинамическая температура увеличилась в n=2 раза . Определить изменение энтропии , если нагревание происходит : 1) изохорно ; 2) изобарно .

267.Идеальный газ (v = 2 моль ) сначала изобарно нагрели, так что объем увеличился

в n1 = 2 раза , а затем изохорно охладили , так что давление его уменьшилось в n2 = 2 раза . Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов .

268.Азот массой 28 г адиабатически расширили в n = 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема. Определить изменение энтропии газа в ходе указанных процессов .

269.Кислород массой 2 кг увеличил свой объем в 5 раз, один раз изотермически, другой раз адиабатически . Каково изменение энтропии в этих двух случаях ?

270.Водород массой 100 г был изобарически нагрет так, что его объем увеличился в n раз, затем он был изохорически охлажден так, что его давление уменьшилось в n раз. Найти изменение энтропии для n = 3 .

271.При определении силы поверхностного натяжения капельным методом число капель глицерина, вытекающего из капилляра, составляет n = 50 . Общая масса глицерина m = 1 г, а диаметр шейки капли в момент отрыва d = 1мм. Определить

поверхностное натяжение σ глицерина .

272. Определить радиус R капли спирта, вытекающей из узкой вертикальной трубки радиусом r = 1мм. Считать, что в момент отрыва капля сферическая. Поверхностное натяжение спирта σ = 22 мН /м , а его плотность ρ = 0,8 г /см 3 .

273.Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить

работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d 1 = 6 мм до

d 2 = 60 мм . Поверхностное натяжение мыльного пузыря раствора принять равным

40мН /м.

274.Две капли воды радиусом r = 1 мм каждая слились в одну большую каплю. Считая процесс изотермическим, определить изменение поверхностной энергии при

этом слиянии, если поверхностное натяжение воды σ = 73 мН /м.

275. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на ∆p = 200 Па больше атмосферного. Определить диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение мыльного раствора σ = 40 мН / м.

276. Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине h = 25 см под поверхностью воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление принять нормальным . Поверхностное натяжение воды σ = 73 мН / м , а ее плотность ρ = 1 г /см 3 .

277. Ртуть массой 3 г помещена между двумя параллельными стеклянными пластинками. Определить силу, которую необходимо приложить, чтобы расплющить каплю до толщины d = 0,1 мм. Ртуть стекло не смачивает. Плотность ртути

ρ=13,6 г/см 3, а ее поверхностное натяжение σ = 0,5 Н/м.

278. Капилляр вертикально погружен в воду. Определить радиус кривизны мениска, если высота столба воды в трубке h = 20 мм. Плотность воды ρ=1г/см3 , поверхностное натяжение σ = 73 мН / м.

48

279.Капилляр внутренним радиусом 0,5 мм опущен в жидкость. Определить массу жидкости, поднявшейся в капилляр, если ее поверхностное натяжение равно

60мН/м.

280.Широкое колено U – образного манометра имеет диаметр d1 = 2 мм,

узкое – d2 = 1 мм. Определить разность ∆h уровней ртути в обоих коленах , если поверхностное натяжение ртути σ = 0,5 Н/м , плотность ртути ρ = 13,6 г/см3, а краевой угол θ равен 138 °.

3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные формулы

где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2 ; r - расстояние между зарядами; ε - диэлектрическая проницаемость среды;

систему; n — число зарядов.

Напряженность электрического поля E = F / Q , где F — сила, действующая на

точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля.

Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое поле,

F = QE .

Поток вектора напряженности E электрического поля через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

замкнутой поверхности; n — число зарядов.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

E = 4πε1 0 εQr2 .

49

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R) E = 0 ;

в) вне сферы (r>R) E = 4πε1 0 εQr2 .

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):

τ = ∆∆Ql ,

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной

где σ — поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:

σ = ∆∆QS

Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью σ заряда (поле плоского конденсатора)

диэлектриков.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру

∫E dl .

Вслучае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна

где El — проекция вектора напряженности E в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.

Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к

50

этому заряду: ϕ = П/ Q . Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

ϕ = Q . 4πε0εr

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах ε есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов φ1, φ2, … , φn создаваемых отдельными точечными зарядами Q1, Q2, … , Qn

n

ϕ= ∑ϕi .

i=1

Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, … , Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

W= 1 ∑n Qiϕi , 2 i =1

где φi—потенциал поля, создаваемого всеми п - 1 зарядами (за исключением i-гo) в точке, где расположен заряд Qi.

Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением E = −gradϕ . В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией,

эта связь выражается формулой

Er = − ddrϕ rr .

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал φ1, в другую, имеющую потенциал φ2,

A = Q(ϕ1 −ϕ2 ) , или A = Q∫El dl,

L

Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора