Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Serov_ch_1 / !poz049

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

h = 2αρgRcosθ

где θ - краевой угол ( θ = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; θ = π при полном несмачивании); R - радиус канала трубки; ρ - плотность жидкости; g -

ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу

плоскостями	h =	2αcosθ
		ρgd

где d - расстояние между плоскостями.

Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

2 dQ S2 − S1 = ∫1 T .

Примеры решения задач

Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную массу Mr , 2) молярную массу М.

Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы данного вещества, и определяется по формуле

Mr = ∑ni Ar,i ,	( 1)
где ni - число атомов i −го элемента,	входящих в молекулу; Ar ,i - относительная
атомная масса i -го элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет вид H2 SO4 . Так как в состав молекулы

серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства

(1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид :

Mr = n1 Ar ,1 + n2 Ar ,2 + n3 Ar ,3 .	(2)
Из формулы серной кислоты далее следует, что n1 = 2	(два атома водорода), n2 = 1

(один атом серы) и n3 = 4 (четыре атома кислорода).

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 9 Приложения:

A r,1 =1,	A r,2 =32,	A r,3 =16.
Подставив значения ni и	Ar ,i в формулу (2),	найдем относительную молекулярную
массу серной кислоты:	Mr = 2 1 +1 32 + 4 16 = 98 .
	Mr = 2 1 +1 32 + 4 16 = 98 .
2. Зная относительную молекулярную массу		Mr , найдем молярную массу серной
кислоты по формуле:	M = Mr k	(3)

где k = 10−3 кг/моль. Подставив в (3) значения величин, получим M = 98 10−3 кг/моль.

Пример 2. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

N = νN A .

Дано: V = 2м3 , m1 = 4 кг, M1 = 4 10−3 кг/моль, m2 = 2 кг, M2 = 2 10−3 кг/моль, T = 300 К. Найти: Р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева, применив его к гелию и водороду:

P1V = m1RT / M1	(1)
p2V = m2 RT / M 2	(2)

где p1 — парциальное давление гелия; m1 — масса гелия;

M1 — его молярная масса; V — объем сосуда; Т — температура газа;

R = 8,31 Дж/(моль К) — молярная газовая постоянная; p2 — парциальное давление водорода; m2 — масса водорода; М2 — его молярная масса. Под парциальным давлением p1 и p2 понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он

только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

p = p1 + p2

(3)

Из уравнения (1) и (2) выразим p1 и p2 и подставим в уравнение (3). Имеем

m1RT

m2 RT

(4)

p =

M V

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

									M =		m1 + m2								(5)
									M =										(5)
											v + v			2
где ν1 и ν2											1			2
где ν1 и ν2					— число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов
определим по формулам:
								ν1	= m1 / M1 ;										(6)
								ν2	= m2 / M 2 .										(7)
Подставляя (6) и (7) в (5), найдем
								M =			m1 + m2									(8)
								M =		m / M		1	+ m		2	/ M			2	(8)
									1			1			2				2
Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем
	4						2	8,31 300									6	Па = 2,493МПа.
p =			+								= 2,493				10
p =	4 10-3		+		2 10−3				2		= 2,493				10
	4 10-3				2 10−3				2
М =	4			+ 2				= 3 10−3 кг/ моль
М =		4		+			2	= 3 10−3 кг/ моль
		4					2
		4 10−3				2	10−3
		4 10−3				2	10−3
Ответ: р= 2,493 МПа, М = 3 10-3 кг/моль.
Пример 3. Определить число													N молекул, содержащихся в объеме V = 1мм3 воды, и

массу m1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро N A на количество вещества ν:

Так как ν = m M , где M - молярная масса, то N = mNMA . Выразив в этой формуле

массу как произведение плотности на объем V, получим

N = ρV N A M .

Произведем вычисления, учитывая, что M = 18 10−3 кг/моль (см. табл. 9 Приложения для H2O):

N =

103

10−9

6,02 1023 молекул = 3,34 1019 молекул.

10−3

Массу m1 одной молекулы можно найти по формуле

m1 = M N A .

(1)

Подставив в (1) значения M и N A

найдем массу молекулы воды:

10−3

кг = 2,99 10−26

кг.

6,02

1023

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на

каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка)				V = d 3	, где d - диаметр
				1
молекулы. Отсюда	d = 3		(2)
молекулы. Отсюда	d = 3	V	(2)
	1

Объем V1 найдем, разделив молярный объем Vm на число молекул в моле, т. е. на N A :

	V1 =Vm N A								(3)
Подставим выражение (3) в (2):
d = 3				.
d = 3	V	N	A	.
	m		A
где V = M ρ. Тогда				d = 3				.	(4)
где V = M ρ. Тогда				d = 3	M (ρN	A	)	.	(4)
m						A

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

[M ]

1кг моль

= 1м ·

[

][

A ]

= 1кг моль 1моль-1

Произведем вычисления:

d =

18 10

−3

м = 3,11 10-10 м = 311пм .

103

6,02

1023

Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p1 =1МПа и при температуре T1 =300 К. После того как из баллона было взято m =10г гелия, температура в баллоне понизилась до T2 =290К. Определить давление p2 гелия,

оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона , применив его к конечному состоянию газа:

p V =	m2	RT .	(1)

2	M	2

где m2 - масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М - молярная масса гелия; R - молярная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление:

p2 = m2 R T2 ( MV ) .

(2)

Массу m2 гелия выразим через массу m1 , соответствующую начальному состоянию, и массу т гелия, взятого из баллона:

= m1 − m .

(3)

Массу m1

гелия найдем также из уравнения Менделеева - Клапейрона, применив его к

начальному состоянию:

m1 = Mp1 V (RT1 ) .

(4)

Подставив выражение массы m1

в (3), а затем выражение m2 в (2), найдем

RT2

Mp1V

− m

или

p −

RT2

(5)

M V

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых ( T2 T1 ) - безразмерный, а второй - давление.

Проверим второе слагаемое:

[m][R][T ]

1кг

1Дж/(моль К) 1К

1кг 1моль

1Дж 1К

1Дж

[M ][V ]

1кг/моль

1м3

1кг

1м3 1моль 1К

1м3

1Н м

= 1Па

1м3

Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что M = 4 10−3 кг/моль (см. табл. 9 Приложения для He):

		290				10	−2		8,31						Па = 0,364МПа.
p2		290		6		10			8,31				10	5
	=		10		−						290	Па = 3,64
	=	300	10		−	4 10		−3	10	−2	290	Па = 3,64
		300				4 10			10

Пример 5. Баллон содержит m1 =80 г кислорода и m2 = 320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температура T =З00 К. Принимая данные газы за идеальные, определить

объем V баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева - Клапейрона,

парциальные давления

кислорода

аргона

выражаются формулами

p1 = m1RT (M1V ),

p2 = m2 RT (M2V ),

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

p = p1 + p2 ,

или p =

откуда объем баллона

(1)

V =

Произведем вычисления, учитывая,

что

= 32 10−3

кг/моль, M2 = 40 10−3 кг/моль

(см. табл. 9 Приложения для O2 и Ar) :

0,08

0,32

8,31 300

= 26,2 л.

V =

= 0,0262 м

10−3

106

40 10−3

M = 20 10−3

Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию εвр вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T =350К, а также кинетическую энергию Eк вращательного движения всех молекул кислорода массой m=4 г.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия ε1 = 12 kT

где k - постоянная Больцмана, T - термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

εВР

= 2 1 kT .

(1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

Eк = εВР N .

(2)

Число всех молекул газа

N = NAν ,

(3)

где NA - постоянная Авогадро; ν- количество вещества.

Если учесть, что количество вещества ν = m/M, где m - масса газа,

M -

молярная масса газа, то формула (3) примет вид

= NA

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

Eк = N A m εВР

M .

(4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода (O2) M = 32 10−3

кг/моль

(см. табл. 9 Приложения):

εВР = kT =1,38 10−23 350 Дж = 4,83 10−21 Дж;

Eк

= 6,02

1023

4 10−3

4,83 10−21

Дж = 364 Дж.

32 10−3

Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cv

и при

постоянном давлении cp неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

(1)

2 M

i + 2

(2)

где i - число степеней свободы молекулы газа, М - молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i =3 и кг/моль (см. табл. 9 Приложения). Произведем вычисления:

8,31

Дж (кг К) = 6,24 102 Дж (кг К) ;

20 10−3

3 + 2

8,31

Дж (кг К) = 1,04 103 Дж (кг К) .

20 10−3

Для водорода (двухатомный газ) i

=5 и М= 2 10−3 кг/моль. Тогда

c =		5	8,31		Дж (кг К) = 1,04 104 Дж (кг К)

v	2		2 10−3

	cp =		5 + 2		8,31	Дж (кг К) = 1,46 104 Дж (кг К)
			2	2 10−3

Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости cV и cP смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют ω1 = 80 % и ω2 = 20 %. Значения

удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Решение. Удельную теплоемкость cv смеси при постоянном объеме найдем

следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ∆T , выразим двумя способами:

Q = cv (m1 + m2 )∆T ,	(1)
Q = (cv,1m1 + cv,2m2 )∆T ,	(2)

где cv,1 - удельная теплоемкость неона; cv,2 - удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ∆T , получим cv (m1 + m2 ) = cv,1m1 + cv,2 m2 . Отсюда

= c

+ c

v,1 m

+ m

v,2 m

+ m

или

cv = cv,1ω1 + cv,2ω2

где ω1

, ω2

+ m2

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

cp = cp,1ω1 + cp,2ω2 .

Произведем вычисления:

cv = (6,24 102 0,8 +1,04 104 0,2)Дж(кг К) = 2,58 103 Дж(кг К) = 2,58кДж/(кг К) cp = (1,04 103 0,8 +1,46 104 0,2) Дж(кг К) = 3,75 103 Дж(кг К) = 3,75кДж(кг К)

Пример 9. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 °С и давлении 100 кПа.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле λ =1/( 2πd 2n) (1)

где d — эффективный диаметр молекулы кислорода; п — число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения

п = p/(kT),	(2)
где k — постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем	(3)
λ = kT /( 2 πd 2 p)	(3)
Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно
Z =1/2 Z N	(4)

где N — число молекул кислорода в сосуде объемом 2 10−3 м3 ,

Z - среднее число соударений одной молекулы за 1с. Число молекул в сосуде

N = nV

(5)

Среднее число соударений молекулы за 1с равно

(6)

Z =

v / λ

где v - средняя арифметическая скорость молекулы

v =

(7)

8RT /(πM )

Подставляя в (4) выражения (5),(6) и (7), находим

Z = 1

8RT

2 πd 2 p

p V

= 2πd 2 p2V

RT .

πM

k 2T 2

πM

Подставляя числовые значения, получим

Z =

2 3,14 2,92 10−20 м2 1010 Па2 2 10−3 м3 ×

1,38 10−46 Дж2 К−2 9 104 К2

8,31Дж/(моль К) 300К

=9 1028

с−1;

3,14 32 10−3 кг/ моль

1,38 10−23

Дж

300К

−8

2 3,14 2,92 10−20 м2 105 Па =

3,56 10

м.

Ответ: Z =9 1028 c-1 , λ =3,56 10-8 м.

Пример 10. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре T=300 К и давлении 105 Па.

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

D =	1	v	λ	(1)
	3
где v - средняя арифметическая скорость молекул, равная
v =		8RT	;	(2)
		πM

λ - средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения λ воспользуемся формулой (3) из решения примера 9:

	λ =		kT			(3)
	λ =	2 π d 2 p				(3)
Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем
D = 1	8RT		kT	=	2kT RT .	(4)
3	πM		2πd 2 p		3πd 2 p πM
Коэффициент внутреннего трения
	η =		1 v	λ ρ,		(5)
			3

где ρ — плотность газа при температуре 300 К и давлении 105 Па. Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота — при нормальных условиях T0 =273 К, p0 = 1,01 105 Па и в условиях

задачи:

p0V0 = (m / M )RT0 ;

pV = (m / M )RT.

(6)

Учитывая, чтоρ0 = m /V0 , ρ = m /V, имеем

ρ =

ρ0 pT0

(7)

p T

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен

через коэффициент

диффузии:

ρ0 pT0

η = D ρ = D

(8)

p T

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

D =

2 1,38 10-23 Дж/ К 300К

8,31Дж/(моль К) 300К

= 4,7 10

−5

/ с;

−20

Па

3,14

28 10

−3

кг/ моль

3,134 3,1

η = 4,7 10-5 м/ с 1,25кг/ м3

105 Па 273К

= 5,23 10−5 кг/(м с).

1,01 105 Па 300К

Ответ: D = 4,7 10-5 м2 / с,

η = 5,23 10−5 кг/(м с).

Пример 11.

Кислород массой m = 2 кг занимает объем V = 1м3

и находится под

давлением p1

= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема

V = 3м3 , а затем при постоянном объеме до давления p

= 0,5 МПа. Найти изменение

∆U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную

газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

∆U = c m∆T =

m∆T ;

(1)

где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i =5); ∆T = T3 − T1 , - разность температур газа в конечном (третьем) и начальном

состояниях. Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона pV = mRTM , откуда

T = pVMmR .

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

A1 = Mm R ∆T .

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю: A2 = 0

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

A = A1 + A2 = A1 .

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы A

Q = ∆U + A.

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода M = 32 10−3 кг/моль

(см. табл. 9 Приложения):

T =

2 105 1 32 10−3

K = 385K

2 8,31

2 105 3 32 10

−3

5 105

3 32 10

−3

T =

K =1155K

T =

K = 2887K

2 8,31

A =

8,31 2 (1155 −385)

Дж = 0,400 106 Дж = 0,4МДж

32 10−3

A = A1 = 0,4МДж

∆U =

8,31 2 (2887 −385)

Дж = 3,24 106 Дж = 3,24МДж

32 10−3

Q = (3,24 + 0,4)МДж = 3,64МДж

График процесса приведен на рисунке.

Пример 12. В цилиндре под поршнем находится водород массой m =0,02кг при температуре T1 = З00 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем

в n1 =5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5

раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны

γ −1

между собой соотношением

, или

nγ −1

где γ

отношение

теплоемкостей

газа

при постоянном давлении и

постоянном

объеме,

=V2

V1 .

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

= T

nγ −1 .

Работа A1

газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

A =

C (T −T ) =

R(T −T )

M 2

где CV

- молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа

A2 газа при

изотермическом процессе может быть выражена

в виде

A =

RT ln

,или A =

RT ln

где n2

=V2

V3 .

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа γ =1,4, i =5 и

M = 2 10−3 кг/моль:

T	=	300	K =	300	K
T	=		K =		K
2		51,4−1	50,4
		51,4−1	50,4
Так			как			50,4 =1,91	(находится

логарифмированием), то T2 = 1300,91 K =157K ;


A	=	0,02 5 8,31		(300 −157)	Дж = 29,8 кДж ,	A =		0,02	8,31 157 ln	1	Дж = − 21кДж..

1		2 10−3	2			2	2	10−3	5

Знак минус			показывает,		что при сжатии работа				газа совершается над газом

внешними силами. График процесса приведен на рисунке.

Пример 13. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось:

а) изобарно; б) адиабатно?

Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии ∆U и на внешнюю механическую работу А:

Q = ∆U + A

(1)

Величину∆U можно определить, зная массу газа

m, удельную теплоемкость при

постоянном объеме cV и изменение температуры ∆T :

∆U = m cV ∆T.

(2)

Однако удобнее изменение внутренней энергии

∆U определять через молярную

теплоемкость CV , которая может быть выражена через число степеней свободы:

c =

(3)

2 M

Подставляя величину cV из формулы (3) в (2), получаем

∆U =

R ∆T .

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии∆U , которая выражается формулой (4) Найти ∆U для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для начального и конечного состояний газа:

	pV1 = (m / M )RT1 ;					pV2 = (m / M )RT2 ,
или	p(V2 −V1 ) = (m / M )R(T2 −T1 ) .						(5)
Подставив (5) в формулу (4), получим
	∆U =	i	p(V	2	−V ) .		(6)

	2					1

Это уравнение является расчетным для определения ∆U при изобарном расширении. При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q = 0. Уравнение (1) запишется в виде

∆U + A = 0 .

(7)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед

∆U ):
A = −∆U .	(8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>