Serov_ch_1 / !poz049

21

103. Диск вращается с угловым ускорением ε = - 2 рад/с2. Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n1 = 240 мин-1 до n2= 90 мин -1. Найти время t, в течение которого это произойдёт.

104. Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t=1,5с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

105. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R= 4 м, задаётся уравнением аn = А + Bt + Ct2 (A = 1 м/с2, В = 6 м/с3 , С = 9 м/с4). Определить:

1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1 = 5с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2 = 1с.

106.Линейная скорость v1 точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость v2 точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определить радиус диска.

107.Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 3 рад/с2. Определить

радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса

а = 7,5 м/с2 .

108.Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задаётся уравнением ϕ = At2 (A=0,1рад/с2). Определить полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент v = 0,4 м/с.

109.Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью v1=16км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью v2= 12 км/ч, а затем до конца пути шёл пешком со скоростью v3 = 5 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всём пути.

110.Зависимость скорости тела от времени задана уравнением v = 0,3t2 (м/с).

Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от t1 = 2с до t2 = 5с. Движение прямолинейное.

111.Тело массой m = 0,2 кг соскальзывает без трения с горки высотой h=2м. Найти

изменение импульса ∆р тела.

112. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью

v0= 3км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием М=10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом α = 60° к горизонту. Определить скорость v снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза.

113.В ящик с песком массой 9 кг, соскальзывающий с гладкой наклонной плоскости, попадает горизонтально летящее ядро массой 3 кг и застревает в нем. Найдите скорость ящика сразу же после попадания ядра, если непосредственно перед попаданием скорость ящика равнялась 6 м/с, а скорость ядра = 12 м/с. Угол наклона к горизонту 60°.

114.Из пушки, свободно соскальзывающей по наклонной плоскости с углом наклона

α, в тот момент, когда она прошла путь L от начала движения, производится выстрел в горизонтальном направлении, в результате которого пушка останавливается. Найдите скорость снаряда, если его масса m, а масса пушки равна М.

115. Снаряд летит горизонтально со скоростью 600м/с и разрывается на два осколка. Первый падает по вертикали, а второй, массой в 2 раза меньше первого, движется

22

после разрыва под углом 30° к горизонту. Найдите скорости осколков непосредственно после разрыва.

116.Лодка длиной 3м и массой 150кг стоит в спокойной воде. На носу и корме лодки находятся два рыбака массами 60кг и 90кг. На сколько сдвинется лодка, если рыбаки поменяются местами? Сопротивлением воды пренебречь.

117.Три лодки одинаковой массы m идут друг за другом с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают горизонтально

со скоростью u относительно этой лодки грузы массой m1. Найдите скорости лодок после переброски грузов.

118.Шарик массой m = 200 г ударился о стену со скоростью v = 10 м/с и отскочил от неё с такой же скоростью. Определить импульс р (по величине и направлению), сообщённый шарику.

119.Шарик массой m = 100 г свободно падает с высоты h1 = 1м на стальную плиту и подпрыгивает на высоту h2 = 0,5 м. Определить импульс р (по величине и направлению), сообщённый плитой шарику.

120.Лодка массой М = 150 кг и длиной L = 2,8 м стоит неподвижно в стоячей воде. Рыбак массой m = 90 кг в лодке переходит с носа на корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определить, на какое расстояние S при этом сдвинется лодка.

121.Два шарика массой m1 = 3 кг и массой m2 = 2 кг подвешены на нитях длиной

L = 1м. Первоначально шары соприкасались между собой; затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол α = 60° и отпустили. Считая удар упругим, определить скорость v2 второго шара после удара.

122. Два шара массами m1 = 9 кг и m2 = 12 кг подвешены на нитях длиной L=1,5м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол α = 30° и отпустили. Считая удар неупругим, определить высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара.

123.Тело массой m1 = 3 кг, движется со скоростью v1 = 2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты, выделившееся при ударе.

124.Пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально со скоростью v=200м/с, попадает в баллистический маятник длиной L = 1м и массой М= 1,5 кг и застревает в нём.

Определить угол отклонения ϕ маятника.

125.Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на какой высоте h кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.

126.Один шар соударяется с другим, неподвижным, масса которого в 3 раза меньше. Удар абсолютно неупругий, центральный. Сколько процентов первоначальной кинетической энергии перешло в тепло при ударе?

127.Тело массой 2 кг ударяется о неподвижное тело массой 5 кг. Кинетическая энергия системы этих двух тел непосредственно после удара стала равна 10 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найдите кинетическую энергию первого тела до удара.

128.Боёк свайного молота массой m1 = 0,6 т падает с некоторой высоты на сваю массой m1 = 150 кг. Найдите КПД бойка, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.

23

129.Молот массой m = 10 кг ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащего на наковальне. Масса наковальни М = 0,4 т. Определить КПД удара молота при данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной в данном случае является энергия, пошедшая на деформацию куска железа.

130.Тело массой m = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой h = 10 см и

длиной L = 1м. Коэффициент трения тела на всём пути k = 0,04. Определить: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки.

131.Гиря массой m = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку, скреплённую с вертикальной пружиной жёсткостью k = 30 Н/см. Определить при этом смещение пружины.

132.К нижнему концу пружины жёсткостью k1 присоединена другая пружина жёсткостью k2, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определить отношение потенциальных энергий пружин.

133.Пружина жёсткостью k = 104 Н/м сжата силой F = 200 Н. Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину ещё на L=1см.

134.Вагон массой m = 20 т двигался со скоростью v = 1м/с. Налетев на пружинный

буфер, он остановился, сжав пружину буфера на ∆ х = 10см. Определить жёсткость пружины.

135. С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой m = 10 г, если пружина была сжата на ∆х = 5 см и жёсткость пружины k = 200 H/м.

136.Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает её на

х= 2мм. На сколько сожмёт пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5 см?

137.Спортсмен с высоты h = 12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определить, во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием силы тяжести спортсмена

X0 = 15 см.

138.Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту h, с которой должна скатываться тележка с человеком по жёлобу, переходящему в петлю радиуса R = 6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли.

139.При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20г, поднялась на высоту 5 м. Определить жёсткость пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

140.Молотком, масса которого 1 кг забивали в стену гвоздь массой 75 г. Определить КПД удара молотка при этих условиях.

141.Искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите. Определить, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.

142.Определить, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны напряженность гравитационного поля равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 R, где R - радиус Земли, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

143.Принимая, что радиус Земли известен, определить, на какой высоте h над поверхностью Земли напряжённость поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

24

144.Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Определить расстояние такого спутника до центра Земли.

145.На какой высоте h ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения на поверхности Земли?

146.Два одинаковых однородных шарика из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом, притягиваются. Определить, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в n = 3 раза.

147.Две материальные точки массами m1 и m2 расположены друг от друга на расстоянии R. Определить угловую скорость вращения, с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстояние между ними осталось постоянным.

149.Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 часа. Считая его орбиту круговой, определить на какой высоте от поверхности Земли находится спутник.

150.Считая орбиту Земли круговой, определить линейную скорость движения Земли вокруг Солнца.

151.Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной L = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

152.Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

153.Полый тонкостенный цилиндр массой m = 5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от неё. Скорость цилиндра до удара о стену

v = 1,4 м/с, после удара v' = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты Q.

154.Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии

согласно уравнению ϕ = А + Bt2 + Ct3 (В = 2 рад/с2 , С = - 0,5 рад/с3). Определить момент силы М для t = З с.

155.Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

156.К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует

момент сил трения Мтр = 2 Н м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2 .

157. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной l = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с.

25

158.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5кг м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту

своего вращения с n1 = 240 об/мин до n2 = 120 об/мин. Определить:1) угловое ускорение маховика; 2) момент силы торможения; 3) работу торможения А.

159.На однородном сплошном цилиндрическом вале радиусом R = 50см намотана

лёгкая нить, к концу которой прикреплён груз массой m = 6,4кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с2 . Определить: 1) момент инерции вала; 2) массу М вала.

160.С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30см.

161.Вертикальный цилиндр может свободно вращаться вокруг вертикальной неподвижной оси. Масса цилиндра M, радиус R. В цилиндр попадает горизонтально летящая пуля массой m со скоростью v и моментально застревает в нём. Траектория пули проходит на расстоянии b от оси цилиндра. Найдите угловую скорость цилиндра после удара, если до удара цилиндр покоился.

162.Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдёт ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

163.Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы

радиусом R = 1м и массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин -1, переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к её центру.

164.На верхней поверхности горизонтального диска, которой может вращаться вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиуса г = 50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска М = 10 кг, его радиус R = 60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой m = 1кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельс со скоростью v = 0,8 м/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск?

165.Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с

частотой n1 = 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешёл в центр платформы, частота возросла до n2 = 25 об/мин. Масса человек m = 70 кг. Определить массу М платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

166.Человек стоит на скамье Жуковского и ловит мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии г = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки. С какой угловой

скоростью ω начнёт вращаться скамейка Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамейки J = 6 кг м2 .

167. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол ϕ повернётся платформа, если

26

человек пойдёт вдоль края платформы и, обойдя её, вернётся в исходную точку? Масса платформы М = 240 кг, масса человека m = 60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

168. На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с угловой скоростью ω1 = 1 рад/с. С какой угловой скоростью ω2 будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки

J = 6 кг м 2. Длина стержня L = 2,4 м, его масса m = 8кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.

169.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2м, стоит человек. Масса платформы М = 200 кг, масса человека m = 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль её края со скоростью v = 2 м/с относительно платформы.

170.Шарик массой m = 50 г, привязанной к концу нити длиной L1 = 1м, вращается с частотой n1 = 1 об/с, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния L2 = 0,5м. С какой частотой n2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

171.Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих

во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х = 3cosωt, у = 4cosωt. Определить уравнение траектории точки и вычертить её с нанесением масштаба.

172. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых

уравнениями х = A1sinωt и у = A2cosω(t + τ), где A1 = 2см, A2 = 1см, ω = π с-1, τ=0,5с.

Найти уравнение траектории и построить её, указав направление движения точки. 173. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = A1cosωt и у = A2sinωt, где A1=2см, A2=1см. Найти уравнение траектории точки и построить её, указав направление движения.

174. На концах тонкого стержня длиной L = 30см укреплены одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удалённую на a = 10см от одного из концов стержня. Определить приведённую длину L и период Т колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.

175. Математический маятник длиной L1 = 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной L2 = 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний.

176. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определить жёсткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия ТМАХ груза составляет 0,8 Дж.

177. Однородный диск радиусом R = 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии L = 15 см от центра диска. Определить период Т колебаний диска относительно этой оси.

27

178.Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определить период Т колебаний обруча.

179.Тонкий однородный стержень длиной L = 60 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии х = 15 см от его середины. Определить период колебаний стержня, если он совершает малые колебания.

180.Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых

уравнениями х1 = 3cos2πt см и х2 = 3cos (2πt + π/4) см. Определить для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

Основные формулы.

где m – масса однородного тела (системы); ν - количество вещества этого тела. Относительная молекулярная масса вещества

Mr = ∑ni Ar,i ,

где ni - число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; - относительная атомная масса этого элемента. Относительные

атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева. См. также табл. 9 Приложения.

Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой вещества

M = Mr k ,

кг/моль. Количество вещества смеси газов

ν =ν1 +ν2 +... +νn = N1 / N A + N2 / N A +... + Nn / N A ,

молярная масса i-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа) pV = Mm RT =νRT

где m – масса газа, М – молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, ν - количество вещества, Т – термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

28

а) закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс: Т = const, m=const)

где p1 ,V1 ,T1 - давление, объем, и температура газа в начальном состоянии; p2 ,V2 ,T2 -

те же величины в конечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов, p = p1 + p2 +... + pn ,

где pi - парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ - плотность вещества; V –

объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов p = 2 3 n εП ,

где εП - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

εп = 3 2 kT ,

29

где i – число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры p = nkT .

где d -эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени

где D - коэффициент диффузии, ρ - плотность, dρ/dx - градиент плотности, dS - элементарная площадка , перпендикулярная оси Оx, dt - время.

Уравнение теплопроводности dQ = −κ dTdx dS dt

где κ - коэффициент теплопроводности, dT/dx - градиент температуры, dt - время. Сила внутреннего трения dF = −η ddxv dS ,

где η - коэффициент динамической вязкости, dv/dx - градиент скорости, dS - элемент площади.

где cV - удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме сV и постоянном давлении cp

30

Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ∆U - изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

при адиабатном процессе, где γ = cP / cV - показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном

где T1 и T2 - термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника. Коэффициент поверхностного натяжения

где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур 1, ограничивающий поверхность жидкости; ∆E - изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади ∆S поверхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление p , создаваемое сферической

поверхностью жидкости: p = 2Rα

где R - радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке