Физика / Физика / Механика (2-8) PDF / Mет. 7

Федеральное агентство по образованию РФ Ухтинский государственный технический университет

7

Определение модуля сдвига методом кручения

Методические указания к лабораторной работе для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Ухта

2007

УДК 53 (075) Л 24

ББК 22.3 Я7

Лапина, Л.Н. Определение модуля сдвига методом кручения. [Текст]: метод. указания/ Л.Н. Лапина. – Ухта: УГТУ, 2007. – 10с.: ил.

Методические указания предназначены для выполнения контрольных работ по теме «Механика твердого тела» для студентов специальностей 290700, 290300 и направлению 550100.

Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 19.02.07., пр.№ 5.

Рецензент: Серов И.К., доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

Редактор: Северова Н.А., доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.

В методических указаниях учтены предложени е рецензента и редактора.

План 2007 г., позиция 34. Подписано в печать16.04.2007.

Компьютерный набор: Илюшина Н.Н., гр. ИСТ 1 -05.

Обьем 10 с. Тираж 60 экз. Заказ № 209.

© Ухтинский государственный технический университет, 200 7 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13 .

Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ИЗ КРУЧЕНИЯ

2

Краткая теория работы

Если проволоку, закрепленную с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил FF с моментом, равным М, то угол кручения по закону

Гука оказывается равным:

CM ,

где C – коэффициент, зависящий от вещества проволоки. Модуль кручения f, равный:

волоку на угол в один радиан.

При закручивании проволоки происходи т чистая деформация сдвига (рис.1)

F

F

F

S

F

Рис. 1

При деформации сдвига, как показывает само название, происходит сдвиг одного слоя тела относительно другого. Примерно такая деформация возникает при перерезывании ножницами листа железа в момент предшествующий разрезу. Модуль сдвига N, равный:

определяет величину касательного усилия на единицу поверхности,

которое нужно приложить, чтобы сдвинуть один слой относительно другого на угол в один радиан.

Между модулем кручения f и модулем сдвига N материала проволоки существует простое соотношение:

Таким образом в системе СИ модуль сдвига измеряется в Н/м 2.

3

Измерение модуля кручения может быть выполнено статическим или динамическим методом. В первом случае измеряется угол закручивания проволоки под действием определенного закручивающего момента. Во втором случае измеряется период крутильных колеба ний маятника, подвешенного на исследуемой проволоке. Рассмотрим второй метод.

Экспериментальная установка и вывод расчетных формул

Экспериментальная установка состоит из вертикально - висящей проволоки, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень с двумя симметрично расположенными грузами. Верхняя часть проволоки может быть зажата винтом в любом месте, что позволяет изменять длину деформируе мого (закручивавшегося) участка проволоки.

Рис. 2

Возбудим в системе крутильные колебания, для чего закрутим проволоку на некоторый угол поворотом горизонтального стержня.

Для описания этих колебании можно использовать основной закон

стержня.

Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момен та сил М можно воспользоваться законом Гука в форме (1). Момент М в этом случае

вызван деформацией проволоки и стремится умень шить угол , поэтому:

M f .

После подстановки формула (4) приобретает вид:

4

Обозначая If через 2 , получим линейное однородное дифференциальное

где амплитуда 0 и угол определяется начальными условиями. Таким

образом, является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых T равен:

Формула (7) получена для незатухающих колебаний, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однак о, затухание невелико, т.е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (7) можно пользоваться и для таких затухающих колебаний.

Как видно из формулы (7) период Т не зависит от амплитуды 0 . Однако

при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая за висимость может появиться. Поэтому работа должна выполняться при таких амплитудах 0 ,

при которых T=const.

Из формулы (7) периода колебаний системы:

Моментом инерции материальной точки называется величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от оси вращения:

где m – масса стержня, l – его длина.

Момент инерции двух грузов, находящихся на стержне на одинаковом расстоянии от оси вращения, можно вычислить по формуле момента инерции материальной точки:

5

2r L

2R

Рис. 3

Выполнение работы

1.Измерить длину проволоки линейкой. Деформируемым участком проволоки будет участок проволоки между винтами (см. рис . 3)

2.Расположить грузы на концах стержня. Измерить длину стержня l и расстояние между грузами 2R (см. рис.3). Записать в таблицу R, l и r.

3.Повернуть стержень на угол 10 - 15° и отпустить. Придерживая проволоку вблизи стержня рукой добиться чисто крутильных колебаний маятника.

4.Включить секундомер на счет "ноль" и выключить на счет 10. Записать в таблицу время n=10 полных колебаний маятника. Найти среднее время и

5.Повторить опыт по измерению периода колебаний для другого расстояния между грузами 2R .

6.По результатам трех опытов вычислить три раза модуль сдвига N и найти

среднее значение Nср. По формуле:

6

вычислить относительную погрешность измерения модуля сдвига для одного из опытов.

По формуле:

вычислить относительную погрешность измер ения момента инерции системы (стержень – грузы).

Таблица измерений

7

Контрольные вопросы

1.Какие виды деформаций вы знаете ?

2.Что показывает численное значение модулей сдвига и кручения?

3.Как определить модуль сдвига статическим методом?

4.От чего зависит модуль сдвига ?

5.Запишите закон Гука для деформации сдвига и поясните входящие в него величины. Сделайте соответствующий рисунок.

6.Что называется модулем кручения ?

7.Запишите зависимость угла отклонения от времени для нашего крутильного маятника.

8.Запишите связь момента силы с угловым ускорением.

9.Запишите момент инерции крутильного маятника, если считать стержень невесомым.

10.В результате изменения положения грузиков период колебаний увеличился в 2 раза. Как и во сколько раз изменился момент инерции системы?

Индивидуальные задания

1.Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг

относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см. Ответ: 0,012 кг · м2.

2.Три маленьких шарика массой m=10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары,

пренебречь.

Ответ: 2 · 10-4 кг·м2.

3.К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует

момент сил трения Mтр=2 Н·м. Определите массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2.

Ответ: m=24 кг.

4.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1 кг·м2, вращается с частотой n=240 об/мин. Через t=1 мин после начала действия сил

торможения он остановился. Определите : 1)Момент M сил торможения; 2)число оборотов маховика от нача ла торможения до полной остановки.

Ответ:1) M=62,8 Н·м 2) N=120.

8

5.Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d=2 cм и длиной l=60 cм закреплен неподвижно. К нижнему концу подвешен груз массой m=100 кг. Найти напряжение материала у нижнего конца пров олоки. (Ответ дать в системе СИ).

6.Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы М=1 кН·м. Определить угол закручивания стержня, если модуль кручения f=120 кН·м/рад.

80см

100см

7.Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2 , модуль Юнга для алюминия Е=69 ГПа.

8.Медная проволока длиной l=80 см и сечением S=8 мм2 закреплена одним концом в подвесном устройстве, а к ее другому концу прикреплен груз массой m=400 г. Вытянутую проволоку с грузом, отклонив до высоты подвеса, отпускают. Считая проволоку невесомой, определить ее удлинение в нижней

точке траектории движения груза. Модуль Юнга для меди E=118 ГПа. Ответ: 9,98·10-4 м.

9.Медная проволока сечением S=8 мм2 под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 . Принимая для меди модуль Юнга E=118 ГПа и коэффициент линейного

расширения =1,7·10-5 K-1, определите числовое значение этой силы. Ответ: 481 H.

10.Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его

растяжении затрачена работа A=6,9 Дж. Длина стержня l=1 м, площадь поперечного сечения S=1 мм2, модуль Юнга для алюминия E=69 ГПа.

Ответ: 0,014 мм

11.Два вагона массами m=15 т движутся навстречу друг другу со скоростями

=3 м/с и сталкиваются между собой. Определить сжатие пружины буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы F=50 кН пружина сжимается на l = 1 см.

Ответ: 11,6 м.

12. К проволоке из углеродистой стали длиной l = 1,5 м и диаметром d = 2,1 мм подвешен груз массой m = 110 кг. Принимая для стали модуль Юнга E=216 ГПа и предел пропорциональности σп=330 МПа, определите: 1)какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе ; 2)превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности.

Ответ:1)0,14 % 2) σ=312 МПа, σ<σп

9

13.Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса ?

Ответ: уменьшится в 1,8 раза.

14.Однородный стержень длиной l=0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний T стержня.

Ответ: 1,16 с.

15.Найти период колебаний T стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии d=5 см от его верхнего конца.

Ответ: 1,07 с.

16.На концах вертикального стержня укреплены два груза. Центр масс грузов находится ниже середины стержня на расстоянии d=5 см. Найти длину l стержня, если известно, что период малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, T=2 с. Массой стержня пренебречь по сравнению с массой грузов.

Ответ: T gdl =0,446 м..

17.Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью k=800Н/м сжатую на х=6 см, дополнительно сжать на Δх=8 см?

Ответ: А =6,4 Дж.

18.Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на Δl=3 мм. На сколько сожмет пружину

произведен выстрел пулей массой m=8 г. Определить v пули при выстреле ее из пистолета, если пружина была сжата на Δх=4 см.

Ответ: v =5,48 м/с.

Библиографический список

Трофимова Т.И. Механика твердого тела. / Т.И. Трофимова // Курс физики: Учеб. М., 1998. – Гл. 4., § 16 -18, 21. – С.34-38, 43-46.

10