êËÒ. 6.8. ëıÂχ ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl ‡Á΢Ì˚ı ÒËΠ̇ Ò΄͇ ËÁÓ„ÌÛÚ˚È ÒÚ ÊÂ̸
иУОЫ˜ВММУВ ЛП ‚˚ ‡КВМЛВ, МУТfl˘ВВ М‡Б‚‡МЛВ ЩУ
Й ЛМıЛОО‡, ЛПВВЪ ТОВ‰Ы˛˘ЛИ ‚Л‰:
|
M 2 |
+ |
P |
= |
π |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
EI |
l |
2 |
|||||
|
2EI |
|
|
|
||||
ÏÛÎ˚
(6.13)
„‰Â å – Н ЫЪfl˘ЛИ ПУПВМЪ; ê – ÍÓ̈‚‡fl ÒË·.
З ˜‡ТЪМУП ТОЫ˜‡В Ф Л å = 0 ‚˚ ‡КВМЛВ (6.13) Ф Л‚У‰ЛЪТfl Н ЩУ ПЫОВ щИОВ ‡ ‰Оfl ТЪВ КМfl Т ¯‡ МЛ МУУФВ Ъ˚ПЛ НУМˆ‡ПЛ.
299
è Ë ê = 0 ЩУ ПЫО‡ (6.13) Ф Л‚У‰ЛЪТfl Н ЩУ ПЫОВ УФ В‰В- ОВМЛfl Н ЛЪЛ˜ВТНУ„У БМ‡˜ВМЛfl Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡ ‰Оfl МВ‚ВТУПУ„У ТЪВ КМfl:
M = |
2EIπ |
. |
(6.14) |
|
|||
|
l |
|
|
ä‡Í ‚ˉÌÓ ËÁ ÙÓ ÏÛÎ˚ (6.13), ̇΢ˠÒÊËχ˛˘ÂÈ ÍÓ̈Â- ‚ÓÈ ÒËÎ˚ ê Ф Л‚У‰ЛЪ Н ЫПВМ¸¯ВМЛ˛ Н ЛЪЛ˜ВТНУ„У БМ‡˜ВМЛfl Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡.
ÖÒÎË ÒÚ ÊÂ̸ ‡ÒÚflÌÛÚ, ÚÓ ÁÌ‡Í ê ‚ Ы ‡‚МВМЛЛ (6.13) ‰УОКВМ ·˚Ъ¸ ЛБПВМВМ. н‡НЛП У· ‡БУП, НУ„‰‡ М‡ ТЪВ КВМ¸ ‰ВИТЪ- ‚ЫВЪ ‡ТЪfl„Л‚‡˛˘‡fl ТЛО‡, ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ Ф flПУОЛМВИМУИ ЩУ - П˚ УТЛ ТЪВ КМfl Ф Л ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛЛ Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡ Ы‚ВОЛ- ˜Л‚‡ВЪТfl. м ‡‚МВМЛВ (6.13) ·˚ОУ ‚˚‚В‰ВМУ ‚ Ф В‰ФУОУКВМЛЛ,
˜ЪУ М‡Ф flКВМЛfl, ‚УБМЛН‡˛˘ЛВ ‚ ТЪВ КМВ, ФУ‰˜ЛМВМ˚ Б‡НУМЫ ЙЫН‡.
мТЪ‡МУ‚ЛП ЫТОУ‚ЛВ Ф ЛПВМЛПУТЪЛ Ы ‡‚МВМЛfl (6.13) ‰Оfl Н Ы„ОУ„У (НУО¸ˆВ‚У„У) ТВ˜ВМЛfl Ф Л ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛЛ У‰МУ„У Н Ы- Ъfl˘В„У ПУПВМЪ‡, Ъ.В. Ф Л ê = 0.
б‡ПВМЛ‚ БМ‡˜ВМЛВ ПУПВМЪ‡ ‚ ‚˚ ‡КВМЛЛ å/2EI = π/l ˜Â-
ÂÁ å = τmaxWÍ Л Ф ЛМfl‚ ТУ„О‡ТМУ Ъ ВЪ¸ВИ ЪВУ ЛЛ Ф У˜МУТЪЛ τmax = σÔ/2 (σÔ – Ф В‰ВО Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУТЪЛ), ФУОЫ˜ЛП
σÔWÍ |
= |
π |
ËÎË l ≥ |
πEd |
, |
(6.15) |
4EI |
l |
|
||||
|
|
σÔ |
|
|||
„‰Â d – ̇ ÛÊÌ˚È ‰Ë‡ÏÂÚ Ú Û·˚.
лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, Ы ‡‚МВМЛВ (6.13) ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ЛТФУО¸БУ‚‡МУ Ф Л ТУ·О˛‰ВМЛЛ ЫТОУ‚Лfl (6.15).
ÑÎfl Ó·˘Â„Ó ÒÎÛ˜‡fl, ÍÓ„‰‡ ‰ÂÈÒÚ‚Û˛Ú å Ë ê, ВБЫО¸ЪЛ Ы˛- ˘ВВ М‡Ф flКВМЛВ, УФ В‰ВОВММУВ ФУ ЪВУ ЛflП Ф У˜МУТЪЛ, МВ ‰УОКМУ Ф В‚˚¯‡Ъ¸ Ф В‰ВО‡ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУТЪЛ П‡ЪВ Л‡О‡.
ЗОЛflМЛВ ТКЛП‡˛˘Лı ТЛО ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ВТ‡ ТЪВ КМfl ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Ы˜ЪВМУ Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП ТЛО˚ ê ̇ Á̇˜ÂÌËÂ, ‡‚ÌÓ ÔÓÎÓ‚ËÌ ‚ÂÒ‡ ÒÚ ÊÌfl, Ú.Â. ̇ 0,5gql.
и Л ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛЛ М‡ ТЪВ КВМ¸ Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡ Л ТУ·ТЪ- ‚ВММУ„У ‚ВТ‡, Ъ.В. Ф Л ê = 0, ÙÓ ÏÛ· (6.13) Ô ËÏÂÚ ÒÎÂ‰Û˛-
˘ËÈ ‚ˉ:
|
M 2 |
+ |
gql |
= |
π |
2 |
. |
(6.16) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2EI |
l |
2 |
||||||
|
2EI |
|
|
|
|
||||
ЦТОЛ ‰ОЛМ‡ МЛКМВИ ˜‡ТЪЛ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚, ТК‡ЪУИ ТЛ- О‡ПЛ ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ВТ‡, ‡‚М‡ Н ЛЪЛ˜ВТНУИ (ЩУ ПЫО‡ 6.5), Ъ.В.
300
l = lÍ = 3 2π2EI , gq
ÚÓ ËÁ ‚˚ ‡ÊÂÌËfl (6.16) ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ å = 0.
щЪУ ЫН‡Б˚‚‡ВЪ, ˜ЪУ ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Ф flПУОЛМВИМУИ ЩУ П˚ ‡‚МУ‚ВТЛfl ТЪВ КМfl ‚ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ВПУП ТОЫ- ˜‡В Ф УЛТıУ‰ЛЪ ‰У ЪУ„У, Н‡Н ·Ы‰ВЪ Ф ЛОУКВМ Н ЫЪfl˘ЛИ ПУПВМЪ.
ЦТОЛ ‰ОЛМ‡ ТК‡ЪУИ ˜‡ТЪЛ НУОУММ˚ ПВМ¸¯В l, ЪУ БМ‡˜ВМЛВ Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡, Ф Л НУЪУ УП Ф УЛБУИ‰ВЪ ФУЪВ fl ЫТЪУИ- ˜Л‚УТЪЛ Ф flПУОЛМВИМУИ ЩУ П˚ ‡‚МУ‚ВТЛfl ТЪВ КМfl, УФ В‰В- ОЛЪТfl ЛБ ЩУ ПЫО˚ (6.16).
дУ„‰‡ ‰ОЛМ‡ ТК‡ЪУИ ˜‡ТЪЛ НУОУММ˚ ·УО¸¯В Н ЛЪЛ˜ВТНУ„У БМ‡˜ВМЛfl Л, ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, УТ¸ НУОУММ˚ ЛПВВЪ Н Л- ‚УОЛМВИМЫ˛ ЩУ ПЫ, Н ЫЪfl˘ЛИ ПУПВМЪ ·Ы‰ВЪ ТЪ ВПЛЪ¸Тfl Ф Л‰‡Ъ¸ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММВ ЩУ ПЫ Ф УТЪ ‡МТЪ‚ВММУИ ТФЛ-‡ОЛ.
мТОУ‚ЛВ Ф ЛПВМЛПУТЪЛ ЩУ ПЫО˚ (6.16) ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ФУОЫ- ˜ВМУ УФ В‰ВОВМЛВП М‡ЛПВМ¸¯ВИ ‰ОЛМ˚ l, Ф Л НУЪУ УИ М‡- Ф flКВМЛВ ‚ ТЪВ КМВ МВ Ф В‚˚¯‡ВЪ Ф В‰ВО‡ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸- МУТЪЛ.
к‡ТТПУЪ ЛП ‡ТЪflМЫЪЫ˛ ˜‡ТЪ¸ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚. м ‡‚МВМЛВ (6.13) ‚ ТОЫ˜‡В ‡ТЪfl„Л‚‡˛˘ВИ НУМˆВ‚УИ ТЛО˚ ê
Ô ËÏÂÚ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ ‚ˉ:
|
å 2 |
− |
P |
= |
π |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
EI |
l |
2 |
|||||
|
2EI |
|
|
|
||||
аБ ˝ЪУ„У Ы ‡‚МВМЛfl ‰Оfl МВ‚ВТУПУ„У ТЪВ КМfl ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ ‰Оfl О˛·У„У БМ‡˜ВМЛfl å ПУКМУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ Ъ‡НЫ˛ ТЛОЫ ê, Ô Ë ÍÓÚÓ ÓÈ Î‚‡fl ˜‡ÒÚ¸ Û ‡‚ÌÂÌËfl ·Û‰ÂÚ ‡‚̇ ÌÛβ, Ú.Â. ·Û‰ÂÚ ‚˚‰Â ʇÌÓ ÛÒÎÓ‚ËÂ:
å2 |
= P. |
(6.17) |
4EI |
|
|
è Ë Òӷβ‰ÂÌËË ÔÓÎÛ˜ÂÌÌÓ„Ó ÛÒÎÓ‚Ëfl l → ∞, Ú.Â. Ô flÏÓÎË-
ÌÂÈ̇fl ÙÓ Ï‡ ÓÒË ÒÚ ÊÌfl ·Û‰ÂÚ ÒÓı ‡ÌÂ̇ Ô Ë Î˛·ÓÈ ‰ÎËÌ ÒÚ ÊÌfl.
к‡Т˜ВЪ˚, Ф УЛБ‚В‰ВММ˚В ФУ ЩУ ПЫОВ (6.17), ФУН‡Б˚‚‡˛Ъ, ˜ЪУ Ф Л ПУПВМЪ‡ı, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Лı ‚У ‚ ВПfl ·Ы ВМЛfl, ê ЛПВВЪ ·УО¸¯ЛВ БМ‡˜ВМЛfl ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ‚ВТУП НУОУММ˚.
СОfl ‚ВТУПУ„У ТЪВ КМfl, Ф ЛМfl‚ Т Ф Л·ОЛКВМЛВП ‡ТЪfl„Л‚‡- ˛˘ВВ ‰ВИТЪ‚ЛВ ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ВТ‡ ‡‚М˚П gql/2 Л Ф ЛОУКВМ- М˚П Н НУМˆЫ ТЪВ КМfl, ·Ы‰ВП ЛПВЪ¸
301
|
å2 |
|
|
gql |
= |
π2 |
(6.18) |
||||
|
|
− |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EI |
|
|
2EI |
|
l |
|
|
|
||
ЛОЛ Н ЛЪЛ˜ВТНУВ БМ‡˜ВМЛВ Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡ |
|
||||||||||
|
|
|
4π |
2 |
|
2 |
|
|
|
||
M = |
|
|
|
(EI) |
+ 2gqlEI . |
|
|||||
l |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аБ ‡ТТПУЪ ВМЛfl ФУОЫ˜ВММУ„У ‚˚ ‡КВМЛfl ‰Оfl БМ‡˜ВМЛfl å ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ Т Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП l Н ЛЪЛ˜ВТНЛИ ПУПВМЪ ‚М‡˜‡ОВ ЫПВМ¸¯‡ВЪТfl, ‡ Б‡ЪВП Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪТfl. н‡Н Н‡Н Н ЛЪЛ˜ВТНУВ БМ‡˜ВМЛВ МВ ПУКВЪ ‚УБ ‡ТЪ‡Ъ¸ Т Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП ‰ОЛМ˚ l, ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl M = f(l) ‰УОКМ‡ ЛПВЪ¸ ПЛМЛП‡О¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ åmin, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ВВ ‰ОЛМВ НУОУММ˚ lmax М‡ Ы˜‡ТЪНВ, М‡ НУЪУ УП ПУКВЪ Ф УЛБУИЪЛ ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ Ф flПУОЛМВИМУИ ЩУ - П˚ ТЪВ КМfl.
ЦТОЛ ‰ОЛМ‡ НУОУММ˚ ·УО¸¯В lmax, ЪУ ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ·Ы‰ВЪ М‡·О˛‰‡Ъ¸Тfl М‡ ‰ОЛМВ lmax Ф Л ПУПВМЪВ Mmin, ‡ УТЪ‡О¸- М‡fl ˜‡ТЪ¸ НУОУММ˚ ТУı ‡МЛЪ Ф flПУОЛМВИМЫ˛ ЩУ ПЫ ФУ‰ ‰ВИТЪ‚ЛВП ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ВТ‡. йФ В‰ВОЛП lmax ËÁ ÛÒÎÓ‚Ëfl dM/d = = 0. и У‰ЛЩЩВ ВМˆЛ У‚‡‚ ‚˚ ‡КВМЛВ ‰Оfl Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМ- Ъ‡ å, ËÁ ÛÒÎÓ‚Ëfl dM/dl = 0 ÔÓÎÛ˜ËÏ
lmax = 3 |
4π2EI |
. |
(6.19) |
|
|||
|
gq |
|
|
ÑÎfl Ú Û· 168×8 ÏÏ lmax = 64,5 Ï.
лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, МВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ ‰ОЛМ˚ НУОУММ˚ ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ПУКВЪ М‡·О˛‰‡Ъ¸Тfl ЪУО¸НУ М‡ ‰ОЛМВ 64,5 П.
àÁ ‚˚ ‡ÊÂÌËfl ‰Îfl Í ËÚ˘ÂÒÍÓ„Ó Á̇˜ÂÌËfl åmin, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ-
‚Û˛˘Â„Ó lmax, МВЪ Ы‰МУ ЫТЪ‡МУ‚ЛЪ¸, ˜ЪУ Н ЫЪfl˘ЛВ ПУПВМЪ˚, ‰ВИТЪ‚Ы˛˘ЛВ ‚ Ф УˆВТТВ ·Ы ВМЛfl, БМ‡˜ЛЪВО¸МУ МЛКВ БМ‡˜ВМЛfl
åmin. иУ˝ЪУПЫ ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ МВ ·Ы‰ВЪ М‡·О˛‰‡Ъ¸Тfl ‰‡-
Ê ̇ ‰ÎËÌ lmax, Л ‚Тfl НУОУММ‡ ТУı ‡МЛЪ Ф flПУОЛМВИМЫ˛ ЩУ ПЫ. щЪУ БМ‡˜ВМЛВ ПУПВМЪ‡ Ф В‚˚¯‡ВЪ Ъ‡НКВ ‰УФЫТЪЛПУВ
БМ‡˜ВМЛВ Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡ ‰Оfl Ъ Ы·, Ф ЛПВМflВП˚ı ‚ ·Ы В- МЛЛ (Т Ы˜ВЪУП Ф У˜МУТЪЛ).
Ç Ò‚flÁË Ò ÚÂÏ, ˜ÚÓ ‰Îfl Ú Û·, Ô ËÏÂÌflÂÏ˚ı ‚ ̇ÒÚÓfl˘ÂÂ
‚ ÂÏfl ‚ ·Û ÂÌËË, åmin ‚ТВ„‰‡ ·Ы‰ВЪ Ф В‚˚¯‡Ъ¸ БМ‡˜ВМЛfl ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Лı Н ЫЪfl˘Лı ПУПВМЪУ‚, ‚Тfl ‡ТЪflМЫЪ‡fl ˜‡ТЪ¸ ·Ы ЛО¸-
МУИ НУОУММ˚ ТУı ‡МЛЪ ‚ Ф УˆВТТВ ‡·УЪ˚ Т‚У˛ Ф flПУОЛМВИМЫ˛ ЩУ ПЫ. иУ˝ЪУПЫ Ф Л ·Ы ВМЛЛ Б‡·УИМ˚ПЛ ‰‚Л„‡ЪВОflПЛ, НУ„‰‡ УЪТЫЪТЪ‚ЫВЪ ‚ ‡˘ВМЛВ, НУОУММ‡ ‚ ‡ТЪflМЫЪУИ ˜‡ТЪЛ ТУ- ı ‡МflВЪ Ф flПУОЛМВИМЫ˛ ЩУ ПЫ.
302
ëÚẨӂ˚ ËÒÔ˚Ú‡ÌËfl ÔÓ͇Á‡ÎË: |
‚ |
ТОЫ˜‡В ВТОЛ НУОУМ- |
||
̇ Ú Û· Ô Â‰‚‡ ËÚÂθÌÓ ÔÓÎۘ˷ |
Ô ÓÒÚ ‡ÌÒÚ‚ÂÌÌÛ˛ |
ÙÓ - |
||
ÏÛ ‚ËÌÚÓ‚ÓÈ ÒÔË ‡ÎË ÔÓ‰ |
‰ÂÈÒÚ‚ËÂÏ |
ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌÓ„Ó |
‚ÂÒ‡, |
|
ЪУ ‰ВИТЪ‚ЛВ Н ЫЪfl˘В„У ПУПВМЪ‡ |
‚˚Á˚‚‡ÂÚ Ì ‡‚ÌÓÏ - |
|||
МУВ ТПВ˘ВМЛВ НУОУММ˚ ФУ ‚МЫЪ ВММВИ |
ФУ‚В ıМУТЪЛ ТН‚‡- |
|||
КЛМ˚. и Л ˝ЪУП ЛБПВМflВЪТfl |
ÙÓ Ï‡ ÒÔË ‡ÎË,  ¯‡„, |
˜ËÒ- |
||
ОУ ‚ЛЪНУ‚, ‡ Ъ‡НКВ ‚УБПУКМУ ЛБПВМВМЛВ М‡Ф ‡‚ОВМЛfl Б‡Н Ы- ˜Л‚‡МЛfl. З ТОЫ˜‡В ‡ТЪflМЫЪУИ НУОУММ˚ Н ЫЪfl˘ЛИ ПУПВМЪ,
Ф ЛОУКВММ˚И Н НУОУММВ, МВ ЛБПВМflО |
Ф flПУОЛМВИМУТЪЛ НУ- |
|||
ÎÓÌÌ˚. |
|
|
|
|
мТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ |
||||
‚ Ô ÓˆÂÒÒ ‚ ‡˘ÂÌËfl |
|
|
||
è Ë |
ÓÚÓ ÌÓÏ |
·Û ÂÌËË |
·Ы ЛО¸М‡fl НУОУМ- |
|
̇ ‚ ‡˘‡ÂÚÒfl Í‡Í |
‚ıУОУТЪЫ˛, |
Ú‡Í Ë |
‚ |
Ô ËÓ‰, ÍÓ„‰‡ ̇ |
НУОУММЫ ‰ВИТЪ‚Ы˛Ъ ‡ТЪfl„Л‚‡˛˘ЛВ ТЛО˚ ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ВТ‡,
‡ Ъ‡НКВ Ф Л ·Ы ВМЛЛ, НУ„‰‡ ‚ НУОУММВ ЛПВВЪТfl ТК‡Ъ˚И Ы˜‡Т- ЪУН.
З Ф УˆВТТВ ·Ы ВМЛfl ФУ„ ЫКМ˚ПЛ ‰‚Л„‡ЪВОflПЛ НУОУММ‡ ФУОЫ˜‡ВЪ ‚ ‡˘ВМЛВ Ф Л Ф У‚В‰ВМЛЛ ‚ТФУПУ„‡ЪВО¸М˚ı ‡- ·УЪ. и Л ‚ ‡˘ВМЛЛ ‰ОЛММУ„У ЪУМНУ„У ТЪВ КМfl, Н‡НЛП fl‚ОflВЪТfl ·Ы ЛО¸М‡fl НУОУММ‡, ˆВМЪ У·ВКМ˚В ТЛО˚ ‚˚Б˚‚‡˛Ъ ВВ ЛТ- Н Л‚ОВМЛВ, Л ‚ ‡˘ВМЛВ ТЪ‡МУ‚ЛЪТfl МВЫТЪУИ˜Л‚˚П.
л ФУ‚˚¯ВМЛВП ˜‡ТЪУЪ˚ ‚ ‡˘ВМЛfl ˆВМЪ У·ВКМ˚В ТЛО˚ ‚УБ ‡ТЪ‡˛Ъ, ˜ЪУ Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪ ЛТН Л‚ОВМЛВ НУОУММ˚.
ЦТОЛ ˜‡ТЪУЪ‡ ‚ ‡˘ВМЛfl ‚˚¯В Н ЛЪЛ˜ВТНУИ, ЪУ ЩУ П‡ ЫФ-Ы„У„У ‡‚МУ‚ВТЛfl ТЪВ КМfl Н Л‚УОЛМВИМ‡fl.
йФ В‰ВОВМЛВ Н ЛЪЛ˜ВТНЛı БМ‡˜ВМЛИ ˜‡ТЪУЪ˚ ‚ ‡˘ВМЛИ ФЫЪВП ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛfl Ы ‡‚МВМЛfl ЫФ Ы„УИ ОЛМЛЛ ТЪВ КМfl Т‚flБ‡- МУ Т fl‰УП П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı Ъ Ы‰МУТЪВИ. иУ˝ЪУПЫ Д.Ц. л‡ УflМ ФУОЫ˜ЛО Н ЛЪЛ˜ВТНУВ БМ‡˜ВМЛВ ˜‡ТЪУЪ˚ ‚ ‡˘ВМЛfl Ф Л ФУПУ- ˘Л Ф Л·ОЛКВММУ„У ˝МВ „ВЪЛ˜ВТНУ„У ПВЪУ‰‡.
пУОУТЪУВ ‚ ‡˘ВМЛВ НУОУММ˚. к‡ТТПУЪ ЛП ‚ ‡˘ВМЛВ ‰ОЛММУ„У Н Ы„ОУ„У ‚ВТУПУ„У ТЪВ КМfl, ‡ТЪflМЫЪУ„У НУМˆВ‚УИ ТЛОУИ ê, ‚ÓÍ Û„ ÓÒË 0–x ( ËÒ. 6.9). Ç ıÌËÈ ÍÓ̈ ÒÚ ÊÌfl Ô ËÏÂÏ
Б‡К‡Ъ˚П, ‡ МЛКМЛИ Т‚У·У‰М˚П. и Л Ъ‡НУП ı‡ ‡НЪВ В ‡Т- Ф В‰ВОВМЛfl ТЛО Л Ф ЛМflЪ˚ı НУМˆВ‚˚ı ЫТОУ‚Лflı ПУКМУ Т˜ЛЪ‡Ъ¸, ˜ЪУ НУОУММ‡ М‡ıУ‰ЛЪТfl ‚ ТУТЪУflМЛЛ ıУОУТЪУ„У ‚ ‡- ˘ВМЛfl.
м ‡‚МВМЛВ ЫФ Ы„УИ ОЛМЛЛ ЛБУ„МЫЪУИ НУОУММ˚, Ы‰У‚ОВЪ‚У-fl˛˘ВВ НУМˆВ‚˚П ЫТОУ‚ЛflП (Ф Л ı = 0, y′ = 0, y = 0; Ô Ë ı$= l, y = f, y″ = 0) ПУКМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ‚ ‚Л‰В
303
кЛТ. 6.9. лıВП‡ ‰ВЩУ П‡ˆЛЛ ‚ ‡˘‡˛˘В„УТfl ‚ВТУПУ„У ТЪВ КМfl
|
|
mπx |
|
|
|
y |
= f 1 − cos |
|
|
, |
(6.20) |
|
|||||
|
|
2l |
|
|
|
„‰Â m = 1, 2, 3...
СОfl УФ В‰ВОВМЛfl Н ЛЪЛ˜ВТНУИ ТНУ УТЪЛ ‡ТТПУЪ ЛП ТЛТЪВПЫ Ф Л П‡ОУП УЪНОУМВМЛЛ УЪ ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl (ТП.$ ЛТ. 6.9). З ТУТЪУflМЛЛ ·ВБ ‡БОЛ˜МУ„У ‡‚МУ‚ВТЛfl ФУЪВМˆЛ‡О¸М‡fl ˝МВ „Лfl ЛБУ„МЫЪУ„У ТЪВ КМfl ·Ы‰ВЪ ‡‚М‡ ‡·УЪВ ‚МВ¯МЛı ТЛО. иУ˝ЪУПЫ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl Н ЛЪЛ˜ВТНУИ ТНУ У- ТЪЛ ЛБПВМВМЛВ ФУЪВМˆЛ‡О¸МУИ ˝МВ „ЛЛ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ВПУИ ТЛТ-
304
ЪВП˚ Ф Л П‡ОУП УЪНОУМВМЛЛ ТЪВ КМfl УЪ Ф flПУОЛМВИМУ„У ФУОУКВМЛfl ‡‚МУ‚ВТЛfl Ф ЛМЛП‡˛Ъ ‡‚М˚П МЫО˛, Ъ.В.
U – A1 |
– A2 |
– A3 = 0, |
(6.21) |
|||||
„‰Â U – ФУЪВМˆЛ‡О¸М‡fl ˝МВ „Лfl ‰ВЩУ П‡ˆЛЛ ЛБ„Л·‡ |
|
|||||||
1 |
l |
d2y |
2 |
|
||||
U = |
|
∫0 |
EI |
|
|
|
dx, |
(6.22) |
|
|
2 |
||||||
2 |
dx |
|
|
|
|
|||
EI – КВТЪНУТЪ¸ ТВ˜ВМЛfl ТЪВ КМfl; Ä1 – |
‡·ÓÚ‡ |
‡ÒÚfl„Ë‚‡˛- |
|||||||||||||||
˘ÂÈ ÍÓ̈‚ÓÈ ÒËÎ˚ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
P |
l |
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
A1 |
= − |
|
∫ |
|
|
|
dx; |
|
|
|
(6.23) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ä2 – ‡·ÓÚ‡ ‡ÒÚfl„Ë‚‡˛˘Ëı ÒËÎ ÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌÓ„Ó ‚ÂÒ‡ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q |
l |
|
|
|
|
|
dy |
2 |
|
|
||
A2 |
= −g |
|
∫ |
(l − x) |
|
|
dx; |
|
(6.24) |
||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ä3 – ‡·ÓÚ‡ ˆÂÌÚ Ó·ÂÊÌ˚ı ÒËÎ |
|
|
|||||||||||||||
A |
= |
1 |
|
l |
ydP |
= |
1 |
l qω2y 2dx, |
|
(6.25) |
|||||||
|
|
∫ |
|
|
|||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
„‰Â ω – Û„ÎÓ‚‡fl ÒÍÓ ÓÒÚ¸ ÒÚ ÊÌfl, g – ТЛО‡ ЪflКВТЪЛ. йФ В‰ВОЛ‚ ФВ ‚Ы˛ Л ‚ЪУ Ы˛ Ф УЛБ‚У‰М˚В y′ Ë y″ Û ‡‚ÌÂ-
ÌËfl (6.20), ÔÓ‰ÒÚ‡‚Ë‚ Á̇˜ÂÌËfl y, y′, y″ ‚ ‚˚ ‡ÊÂÌËfl ‰Îfl U, A1, A2, A3 Л Ф УЛБ‚В‰fl ЛМЪВ„ Л У‚‡МЛВ, ПУКМУ ТУТЪ‡‚ЛЪ¸ Ы ‡‚МВМЛВ ‰Оfl УФ В‰ВОВМЛfl Н ЛЪЛ˜ВТНУ„У БМ‡˜ВМЛfl Ы„ОУ‚УИ ТНУ УТЪЛ ωÍ . èÓ‰ÒÚ‡‚Ë‚ ÔÓÎÛ˜ÂÌÌ˚ Á̇˜ÂÌËfl U, A1, A2, A3 ‚ ‚˚ ‡КВМЛВ (6.21), ФУОЫ˜‡˛Ъ
|
EI m4π |
4 |
+ |
Pm2π2 |
+ |
|
gqm2π2 |
1 |
− |
1 |
|
|
− |
qω 2l |
3 |
− |
|
4 |
= 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
64l 3 |
|
|
16l |
|
|
|
8 |
|
4 |
m2π |
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πm |
|
|||||||||||||
ËÎË |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
EI m4π |
4 |
|
Pm2π |
2 |
g(0,25m2π2 − 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
ω |
|
l 1,5 − |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
32ql 3 |
|
|
8ql |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
πm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
íÓ„‰‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ωÍ = |
|
1 EI m4π |
4 |
|
+ |
Pm2π2 |
+ |
g(0,25m2π2 |
− 1) |
|
πm |
(6.26) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
32ql |
|
|
|
|
8ql |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1,5πm − 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
305
ЛОЛ Н ЛЪЛ˜ВТНУВ БМ‡˜ВМЛВ ˜ЛТО‡ У·У УЪУ‚ НУОУММ˚ ‚ ПЛМЫЪЫ УФ В‰ВОЛЪТfl ЛБ ‚˚ ‡КВМЛfl:
nÍ = |
30ω Í |
. |
(6.27) |
|
|||
|
π |
|
|
ÑÎfl ·Óθ¯Ëı Á̇˜ÂÌËÈ l Ë Ï‡Î˚ı Á̇˜ÂÌËÈ m Á̇˜ÂÌËÂ
EI m4π4 |
·Û‰ÂÚ Ï‡ÎÓ ÔÓ Ò ‡‚ÌÂÌ˲ c |
g(0,25m2π2 − 1) |
. í‡Í, Ì‡Ô Ë- |
|
32ql 3 |
4 |
|||
|
|
ПВ , ‰Оfl НУОУММ˚ Ъ Ы· 168Ч11$ПП, ‰ОЛМУИ 200$П УЪМУ¯ВМЛВ ‰‚Ыı ЫН‡Б‡ММ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ k = 0,007. á̇˜ÂÌË k ÓÔ Â‰ÂÎflÎÓÒ¸ ‰Îfl ̇ËÏÂ̸¯ÂÈ Û„ÎÓ‚ÓÈ ÒÍÓ ÓÒÚË, Ú.Â. Ô Ë m = 1. СОfl НУОУММ ЛБ Ъ Ы· ПВМ¸¯Лı ‰Л‡ПВЪ У‚ k ·Û‰ÂÚ ÏÂ̸¯Â ÔÓÎÛ˜ÂÌÌÓ-
„Ó Á̇˜ÂÌËfl.
иУ˝ЪУПЫ ‚ fl‰В ТОЫ˜‡В‚ БМ‡˜ВМЛВП |
EI m4π4 |
|||||||||||
32ql 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· ˜¸ Ë ÚÓ„‰‡ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
nÍ = |
30 |
1 |
Pm2π |
2 |
g(0,25m2π2 − 1) |
πm |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
π |
l |
8ql |
4 |
1,5πm |
|
|
||||||
|
|
|
|
− 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПУКМУ Ф ВМВ-
(6.28)
и Л УЪТЫЪТЪ‚ЛЛ НУМˆВ‚УИ ТЛО˚ ê = 0, НУ„‰‡ НУОУММ‡ М‡- ıУ‰ЛЪТfl ФУ‰ ‰ВИТЪ‚ЛВП ‡ТЪfl„Л‚‡˛˘Лı ТЛО ТУ·ТЪ‚ВММУ„У ‚ВТ‡ Л ˆВМЪ У·ВКМ˚ı ТЛО, ˜ЛТОУ У·У УЪУ‚, Ф Л НУЪУ ˚ı НУОУММ‡ ·Ы‰ВЪ Ф ЛМЛП‡Ъ¸ ЛТН Л‚ОВММЫ˛ ЩУ ПЫ ‡‚МУ‚ВТЛfl, УФ В‰В- ОЛЪТfl ЛБ ЩУ ПЫО˚
nÍ = |
π |
|
|
g |
(0,25π2m2 − 1)πm . |
(6.29) |
||
|
|
|
|
|||||
30 |
|
|
l 4(1,5πm − 4) |
|
||||
è Ë m = 1 ÔÓÎÛ˜ËÏ Ì‡ËÏÂ̸¯Â Á̇˜ÂÌË |
|
|||||||
nÍ = 12,1 |
|
g |
. |
(6.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
д‡Н ‚Л‰МУ ЛБ ФУОЫ˜ВММ˚ı ЩУ ПЫО, ‚ fl‰В ТОЫ˜‡В‚ Ф Л ·УО¸¯УИ ‰ОЛМВ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ Л МВБМ‡˜ЛЪВО¸МУП ˜ЛТОВ ФУОЫ‚УОМ (Ф Л П‡ОУП БМ‡˜ВМЛЛ m) ‚ОЛflМЛВП КВТЪНУТЪЛ ТВ˜В- МЛfl Ъ Ы·˚ М‡ БМ‡˜ВМЛВ Н ЛЪЛ˜ВТНУИ ТНУ УТЪЛ ПУКМУ Ф ВМВ- · В˜¸.
éÔ Â‰ÂÎËÏ Á̇˜ÂÌËfl n ‰Оfl ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ ‰ОЛМУИ 1000$П Ф Л ıУОУТЪУП ВВ ‚ ‡˘ВМЛЛ Л УЪТЫЪТЪ‚ЛЛ НУМˆВ‚УИ‡ТЪfl„Л‚‡˛˘ВИ ТЛО˚ ê.
306
уЛТОУ У·У УЪУ‚ ·Ы ЛО¸МУ„У ‚‡О‡ ‚ ПЛМЫЪЫ, УФ В‰ВОВММУВ ЛБ ЩУ ПЫО˚ (6.29) Ф Л БМ‡˜ВМЛflı m = 1, 3, 5..., ·Û‰ÂÚ ÒÓÓÚ- ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‡‚ÌÓ 1,2; 2,2; 3,5 1/Ò.
lj‡ММУП ТОЫ˜‡В ПУКМУ ЛТФУО¸БУ‚‡Ъ¸ ЩУ ПЫОЫ (6.29), Ъ‡Н Н‡Н ‰‡КВ ‰Оfl Ъ Ы· ·УО¸¯У„У ‰Л‡ПВЪ ‡ 168Ч11$ПП Л m = 5 Á̇˜ÂÌË k П‡ОУ, ˜ЪУ ФУБ‚УОflВЪ Ф ВМВ· В˜¸ КВТЪНУТЪ¸˛ ТВ˜В- МЛfl Ъ Ы·˚.
èÓÎÛ˜ÂÌÌ˚ ‰‡ÌÌ˚ n ФУН‡Б˚‚‡˛Ъ, ˜ЪУ ЫКВ Ф Л П‡О˚ı ˜ЛТО‡ı У·У УЪУ‚ Ф flПУОЛМВИМ‡fl ЩУ П‡ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ fl‚ОflВЪТfl МВЫТЪУИ˜Л‚УИ.
й‰М‡НУ Ф Л ˜ЛТО‡ı У·У УЪУ‚, У·˚˜МУ Ф ЛПВМflВП˚ı ‚ Ф ‡НЪЛНВ ·Ы ВМЛfl, ФУ fl‰УН БМ‡˜ВМЛfl m ‚˚ТУНЛИ, ˜ЪУ Ф Л‚У- ‰ЛЪ Н Ы‚ВОЛ˜ВМЛ˛ БМ‡˜ВМЛfl k Л ‰ВО‡ВЪ МВ‚УБПУКМ˚П ЛТФУО¸- БУ‚‡МЛВ ЩУ ПЫО˚ (6.29).
ç‡Ô ËÏ , Ô Ë m = 50 ‰Оfl ‡ТТПУЪ ВММУ„У ‚˚¯В ТОЫ˜‡fl‡·УЪ˚ Ъ Ы·‡ПЛ 168Ч11$ПП k = 0,084 Л КВТЪНУТЪ¸˛ ТВ˜ВМЛfl Ф ВМВ· В„‡Ъ¸ МВ ТОВ‰ЫВЪ.
уЛТОУ У·У УЪУ‚ n, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Â m = 50, УФ В‰ВОВММУВ ФУ ЩУ ПЫОВ (6.27) Ф Л ê = 0, ‡‚ÌÓ 32$Ó·/ÏËÌ.
л Ы‚ВОЛ˜ВМЛВП n ‚ОЛflМЛВ КВТЪНУТЪЛ ТВ˜ВМЛfl EI ·Ы‰ВЪ ‚УБ-‡ТЪ‡Ъ¸ Л Н ЛЪЛ˜ВТНУВ ˜ЛТОУ У·У УЪУ‚ ‰УОКМУ УФ В‰ВОflЪ¸Тfl ЪУО¸НУ ЩУ ПЫОУИ (6.27).
бМ‡˜ВМЛfl Н ЛЪЛ˜ВТНЛı ˜ЛТВО У·У УЪУ‚, УФ В‰ВОВММ˚В Ф Л‡БМ˚ı БМ‡˜ВМЛflı m = 1, 3, 5..., ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ ‡БОЛ˜М˚П ЩУ П‡П ЛТН Л‚ОВМЛfl ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ ‚ Ф УˆВТТВ ‚ ‡˘В- МЛfl.
LJÒÒÏ‡Ú Ë‚‡ÂÏÓÏ ÒÎÛ˜‡Â Ò‚Ó·Ó‰Ì˚È ÍÓ̈ ÒÚ ÊÌfl Ì ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ÛÁΠ‚ÓÎÌ˚ ̇ ÓÒË ‚ ‡˘ÂÌËfl, ‡ ÓÔËÒ˚‚‡ÂÚ Í Û„Ë. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÒÚ ÊÂ̸ Ô Ë ‚ ‡˘ÂÌËË ·Û‰ÂÚ Ó· ‡ÁÓ‚˚‚‡Ú¸ Ì ˆÂÎÓ ˜ËÒÎÓ ÔÓÎÛ‚ÓÎÌ.
з‡ ЛТ. 6.10 ФУН‡Б‡М˚ ЩУ П˚ ЛТН Л‚ОВМЛfl ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ Ф Л ıУОУТЪУП ‚ ‡˘ВМЛЛ, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ БМ‡˜ВМЛflП m = 1, 3, 5...
ЗОЛflМЛВ ‚ВТ‡ мЕн ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ М‡ ВВ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ Ф Л ıУОУТЪУП ‚ ‡˘ВМЛЛ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Ф Л·ОЛБЛЪВО¸МУ Ы˜ЪВМУ НУМˆВ‚УИ ‡ТЪfl„Л‚‡˛˘ВИ ТЛОУИ ê.
и Л БМ‡˜ЛЪВО¸МУИ ‰ОЛМВ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚, НУ„‰‡ УЪМУ¯ВМЛВ ‰ОЛМ˚ мЕн Н ‰ОЛМВ НУОУММ˚ П‡ОУ, БМ‡˜ВМЛВ НУМˆВ‚УИ ТЛО˚ ê ПУКМУ Ф Л·ОЛКВММУ Ф ЛМflЪ¸ ‡‚М˚П ‚ВТЫ мЕн. н‡Н, М‡Ф ЛПВ , ‰Оfl ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ ‰ОЛМУИ 1000$П, ТУТЪУfl˘ВИ ЛБ Ъ Ы· 114Ч10$ПП, Ф Л мЕн 40$П Л ‰Л‡ПВЪ В 146$ПП (П‡ТТ‡ 1$П мЕн ‡‚М‡ 97$Н„) Ф Л·ОЛБЛЪВО¸МУВ М‡Л-
ÏÂ̸¯Â Á̇˜ÂÌË nÍ |
УФ В‰ВОЛЪТfl ЛБ |
ÙÓ ÏÛÎ˚ |
(6.28) Ô Ë |
m = 1: |
|
|
|
307
кЛТ. 6.10. оУ П˚ ЛТН Л‚ОВМЛfl ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚
кЛТ. 6.11. лıВП˚ ‰ВЩУ П‡ˆЛЛ ·Ы ЛО¸МУИ НУОУММ˚ ‚ ФВ Л- У‰ ‰УО·ОВМЛfl
308