матем для 1 курса
.pdf
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в) |
lim |
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6 − x −2 |
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|
|||
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x→ 2 |
|
|
2x −3 −1 |
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||||
15. |
а) |
lim |
|
( 2x +3 )3 ( x +1) |
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||||||||
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|
x5 +5x3 +1 |
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|||||||||
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|
x→∞ |
|
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||||||||
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в) |
lim |
|
|
x +6 − 3x |
|
||||||||
|
|
x→ 3 |
|
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|
2x +10 −4 |
|
|||||||
16. |
а) |
lim |
|
−2x6 +7x2 −2 |
|
|||||||||
|
|
|
1 + 2x4 −7x6 |
|
||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|||||||||
|
в) |
lim |
|
|
1+ x2 |
− |
1− x2 |
|||||||
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
17. |
а) |
lim |
( x2 − x + 2 )2 |
|
||||||||||
|
|
|
x3 +6x4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
lim |
|
|
13 +2x −5 |
|
||||||||
|
|
x→ 6 |
|
|
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|
x −2 −2 |
|
||||||
18. |
а) |
lim |
|
x3 − x2 +3x +12 |
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|||||||||
|
|
|
|
|
x2 −5x |
|
||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
lim |
|
|
2x +15 −5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x +4 −3 |
|
||||||||
|
|
x→ 5 |
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
а) |
|
|
|
2 |
|
x3 |
− x |
2 + 2 |
|
||||
|
lim |
x |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
lim |
|
|
x +5 −3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→ 4 |
|
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
||
20. |
а) |
lim |
11x2 −2x +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 + x3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) |
lim |
|
|
x +6 − |
2x +10 |
||||||||
|
|
x→ −4 |
|
|
|
|
x +4 |
|
21– 40. Найти производную dydx .
21. |
а) y = |
cos x |
+ln(tg(x / 2)) |
|
sin 2 x |
||||
|
|
|
21
x2 |
+1 |
3x 2 −1 |
|||
г) lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
−1 |
|
|||
x→ ∞ x |
|
|
б) |
lim |
3x2 − x − 44 |
|
|||||||||||||
|
x2 −16 |
|||||||||||||||
|
x→ |
4 |
|
|||||||||||||
г) |
lim |
3x +1 5x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
3x + 2 |
|||||||||||||
б) |
lim |
|
x2 |
−10x +25 |
|
|||||||||||
|
|
|
x |
2 −6x +5 |
||||||||||||
|
x→ |
5 |
|
|
|
|||||||||||
г) lim (1 +5x)(1−x ) / 2x |
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
x3 −8 |
|
||||||||||
|
x2 |
+ x −6 |
||||||||||||||
|
x→ |
2 |
|
|||||||||||||
г) |
lim |
x |
+ |
2 3x / 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
lim |
|
x2 |
−6x +8 |
|
|||||||||||
|
|
|
x2 −4x |
|||||||||||||
|
x→ 4 |
|
|
|
||||||||||||
г) |
lim |
|
|
x |
|
|
4 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
+ |
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
x |
5 |
|||||||||||||
б) |
lim |
|
x3 |
−3x2 +3x −1 |
||||||||||||
|
|
|
|
x2 −8x +7 |
||||||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
г) |
lim |
x |
+ |
4 −3x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
+1 |
|||||||||||||
б) |
lim |
|
x2 |
−7x +10 |
|
|||||||||||
|
|
|
x2 +2x −8 |
|||||||||||||
|
x→ |
2 |
|
|
|
|||||||||||
г) |
lim |
x −4 2x+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
б) y2 x − xsin y =1
22
в) y = (cos 2x) |
3 x ; |
г) |
x = ln(1 −t ) |
|
|
y = arcsin t |
22. |
а) y = |
x arctg |
x +ln x +1 |
б) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
в) |
y =(sin2 x )x2 |
|
|
г) |
|||||
23. |
а) |
y |
= |
x |
2 |
− |
2x |
|
1 |
б) |
|
|
|
|
arccos x |
|
|||||
|
в) |
y =( x4 +3x2 +1)sin x |
г) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e xy + xy = 2
x = ln tg2ty = ln ctg2t
y 2 +1 +ln xy = 0
x = sin 3t
y = cos2 3t + π
24. |
а) y = |
3x − x |
3 |
+ |
1 |
б) |
|
|
(x −1)2 |
||||||
|
в) y =( x +1)1 / x |
|
г) |
||||
25. |
а) |
y = |
1 +e2x |
ln( e x + 1 +e2x ) |
б) |
||
|
в) |
y =(1 + 4x )ctgx |
|
г) |
|||
|
|
|
|||||
26. |
а) |
y = ln( 1+ x2 |
− x) +ln( 1+ x2 + x) |
б) |
|||
|
в) |
y =(1 + x2 )arctgx |
г) |
||||
27. |
а) |
y = x(sin ln x −cos ln x ) |
б) |
||||
|
в) |
y =(sin 2x )ex |
|
г) |
x y − y + 2 = 0
x = arctg |
t |
y = ln(1 +t ) |
|
2 x −2x |
y + 3 = 0 |
x = ln2 sin ty = ln ctgt
cos yx − 1x = y
x =(arcsin t )2
y = 1 −t 2
e x / y |
− xy = x2 |
|||
x = ln tgt |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
y = |
|
|
|
|
sin |
2 |
t |
||
|
|
28. |
а) y = |
|
3 |
|
+ |
x cos x |
б) |
||
arctgx + arcctgx |
sin x |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
y =(cos |
x ) x |
|
|
|
г) |
||
29. |
а) |
y = 3arctg 2x −1 |
+ x 1 − x2 |
б) |
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
x 3y − y 3x = 3
x = arctg et / 2
y = 1 +et
x + y +ln xy =1
в) y =( tgx )cos2 x
30. а) y = x arcsin |
x |
− x |
|
x +1 |
|
в) y =( x + x2 )x+1
31.а) y = ln tg 2x −cos 2x ln tg2x
|
в) y =( 4 + x2 ) x3 |
|
|
|
|||
32. |
а) |
y = |
2 |
2x − x2 |
+ |
cos x |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
x sin x |
|
в) |
y =(arccos 3x )cos x |
|
|
|||
33. |
а) |
y = log2 1 |
− sin x |
+ |
1 |
1 −4x2 |
|
|
|
|
1 |
+ sin x |
|
x |
|
|
в) |
y =(ln 4x )x |
|
|
|
34.а) y =( x2 + x +1) 2ln( x2 +x+1 )
в) y =( 2 +3x2 )tg 2x
35.а) y = 3x arcsin 3x + x2 −9
в) y =(sin x )e2 x
36. |
а) y = − |
1 |
+ |
1 |
ln |
1 +cos x |
|
cos x |
2 |
1 −cos x |
|||||
|
|
|
|
в) y =(arcsin x2 )3x
37. |
а) y = |
1 |
arctg |
x |
+ |
x |
2 |
x −1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
−2x +3 |
23
x = cos 5cos 5t г) y = sin2 5t
б) |
arctg |
y |
+ xy = 0 |
||||
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x = ln ctgt |
||||||
г) |
|
1 |
|
|
|
||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
t |
||||
|
|
|
|||||
б) |
x arcsin y + y = 0 |
||||||
г) |
x = ln(1 +t 2 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t −arctgt |
б) ( x +1)2 +( y +1)2 −2xy = 0
г) |
|
= e |
t |
cos t |
|
|
||||
x |
t |
|
|
|||||||
|
|
= e |
sin t |
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
||||||
б) ( x −2 )3 + y3 / 2 = xy |
||||||||||
|
x = |
t +1 |
|
|
|
|||||
г) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
t +1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
б) x e y + y ex = 0 |
||||||||||
г) |
|
= cos |
2 |
t |
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
= tg |
2 |
t |
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
||||
б) |
y2 cos 3x − x sin y = 0 |
|||||||||
г) |
|
= ctg( 2e |
t |
) |
||||||
x |
|
|||||||||
|
|
= ln tg e |
t |
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
б) e x+y y −2 xy = 0
x = t −2ln(1 +t 2 )
г)
y = arcctg 1
t
б) x3 / 2 + y3 / 2 =1 + y
в) |
y =( x2ex )sin x |
|
38. а) |
y = ln 16 − x2 + |
x |
|
|
16 − x2 |
в) |
y =(log2 ( x +1))1 / x2 |
39.а) y = e x arcsin e−x +ln e2x −1
в) y =( tg 2 x )2x
40. а) |
y = ctg cos 2 + |
1 sin2 6x |
||||
|
|
|
||||
6 cos12x |
||||||
|
|
|
||||
в) |
|
1 cos x |
||||
y = |
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
24
г) |
x |
= 3arccos 2t |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
= |
|
1 −4t |
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|||
б) |
yex + xln y = 0 |
|||||||
|
|
= arcsine |
t |
|||||
г) |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
2t |
|
||
|
|
= |
|
1−e |
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|||
б) |
4xy − |
y |
=1 |
|
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
= |
|
t3 |
|
|
|
|
г) |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
||||
|
y |
3 t 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
б) x5 / 2 + y5 / 2 =10 |
||||||||
|
x = ln 2 −2ln( t 2 −1) |
|||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
= arcsin |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
41– 60. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
41. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
lim |
|
|
|
− |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
2xtgx |
|||||||
43. |
lim |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
π x |
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 cos |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
π |
|
−arctgx |
|||||||
45. |
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin(1/ x ) |
||||||||||||||
|
x→ +∞ |
|
|||||||||||||
47. |
lim |
x2 ln x |
|
||||||||||||
|
x→ +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
49. |
lim |
( e x |
−e−x )2 |
|
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
51. |
lim |
lnln x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ e |
x −e |
|
|
|
|
|
|
|
42. |
lim(1 |
− x )tg |
π x |
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
44. |
lim |
|
ln tgx |
|
|
|
|
|
|||||
|
ln tg2x |
|
|
|
|
||||||||
|
x→ +0 |
|
|
|
|
|
|||||||
46. |
lim |
|
e x −esin x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x − sin x |
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|||||||||
48. |
lim |
|
x2 −4 |
tg |
π x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
50. |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
lim |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x − |
3 |
|||||||||
|
x→3 |
x2 −9 |
|
|
|
|
|||||||
52. |
lim |
tg( x −1) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53. |
lim |
log5 x −1 |
54. |
lim |
|
|
2x |
−3x |
||||||||||||
|
x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→5 |
|
|
x→ 0 ln(1 +3x ) |
||||||||||||||||
55. |
lim |
|
e2 x −e−3x |
|
56. |
lim |
1 −cos 5x |
|
||||||||||||
|
|
|
x sin 2x |
|||||||||||||||||
|
sin 4x |
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
x→ 0 |
|
|
|||||||||||||||
57. |
lim |
|
sin2 2x |
58. |
lim |
|
x −1 |
tg π x |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ 0 cos 6x −1 |
|
x→1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
59. |
lim(1 − x |
2 |
)ctgπx |
60. |
lim |
|
|
π−arcctgx |
||||||||||||
|
|
x→ −∞ |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
61– 80. Найти производную второго порядка |
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61. у =
63. y =
65. y =
67. y =
69. у =
71. y =
73. y =
75. y =
77. y =
79. y =
ln( x + 2 ) x + 2
3 + 2x
x −1
1x sin2 x
( 4 + x2 ) arctg 2x
ln( 2x +7 )
2x +7
1 −3x
2x +5
ln( 5 − x )
5 − x
( 2x2 + 4x +1) ex2
1 − x arcsin x
9 −22x
3x +1
62. |
y =( 5x3 + 2 ) e2x+1 |
|||||||
64. |
y =( 4x2 +7 )ln2 x |
|||||||
66. |
y =( 2x3 +3x2 +1)cos2 x |
|||||||
68. |
y =( 6x2 + x −3 ) 3−x+4 |
|||||||
70. |
y = |
1 |
cos 5x |
|||||
|
||||||||
|
|
x2 |
||||||
72. |
y = |
1 −4x2 arcsin 2x |
||||||
74. |
y = |
sin 2x |
|
|
|
|
||
x2 |
||||||||
|
|
|||||||
76. |
y = |
x2 + 4x |
|
|||||
( x + 2 )2 |
||||||||
|
|
|||||||
78. |
y =(16 + x2 ) arcctg |
x |
|
|||||
|
||||||||
|
|
4 |
|
|||||
80. |
y = x2 ( 2cos x −sin x ) |
26
81–100. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
81. |
y = |
x |
+ |
2 |
|
|
x |
||||
|
2 |
|
|||
83. |
y = |
|
|
1 |
|
x2 −3x −4 |
85.y = ( x −2 )2
x+1
87. |
y = |
|
|
x −1 |
|
||||||
2x2 −3 |
|||||||||||
|
|
||||||||||
89. |
y = |
x |
− |
1 |
+1 |
||||||
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
x |
|||||||
91. |
y = |
|
x3 |
||||||||
x |
2 |
+2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
93. |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
||||
x2 |
−6x +9 |
||||||||||
95. |
y = |
|
|
3x |
|
||||||
x |
2 |
−6x |
|||||||||
|
|
|
97.y = x − 2
x2
99.y = x −1 2
x +1
82.y = x2 +1
x2 −4
84. |
y = x2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
86. |
y = |
|
|
|
x2 |
|
||||||
( 2x −1)2 |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
88. |
y = |
|
|
|
x |
|||||||
x2 −5x +6 |
||||||||||||
90. |
y = |
|
|
|
2x |
|
||||||
|
x2 −25 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
92. |
y = |
|
( x |
+4 )2 |
|
|||||||
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
94. |
y = |
|
|
x2 |
|
|||||||
|
x2 −16 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
96. |
y = − |
|
x3 |
|
||||||||
x3 +8 |
||||||||||||
|
|
|
|
98.y = x3 −1
x2
100. |
6 |
|
y = |
|
|
x2 + 4x +3 |
27
2.4 Контрольная работа № 4 Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.
1–20. Вычислить неопределенные интегралы
1. |
а) |
∫ |
cos2 x −1 |
dx |
б) ∫ |
|
|
|
e2 x 4x dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −e |
|
|
|||||||
|
в) ∫x3x dx |
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
|
x −2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(x +1)(x −3) |
||||||||||||||||
|
а) |
|
|
− |
1 |
|
|
|
x x dx |
б) |
|
|
|
cos x |
dx |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
x2 |
|
|
∫sin4 x |
||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) ∫x cos 5xdx |
|
|
г) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
4 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
||
3. |
а) ∫ |
sin2 x |
−5x |
dx |
б) ∫x |
2 |
x |
3 |
+ 4dx |
|||||||||||||
|
x sin |
2 |
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫x2 sin 3xdx
4. |
а) |
∫ |
12x +15x |
|||
|
|
|
dx |
|||
6 |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫x arccos xdx |
|||||
5. |
а) |
∫ |
34x3 |
x dx |
||
|
|
|
x |
|
|
в) ∫(x2 −1)cos 2xdx
6.а) ∫ x−2 + x2 +2 dx
x3
|
в) ∫arcsin x dx |
|
||||||
|
|
|
|
1 + x |
|
|||
7. |
а) |
∫ |
sin2 x |
dx |
|
|||
1−cos x |
|
|||||||
|
в) ∫ |
arctgx |
dx |
|
||||
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
8. |
а) |
∫ |
2x2 |
−2 −3 1 − x2 |
dx |
|||
|
1 − x2 |
в) ∫x ln(3x + 2)dx
г) ∫ |
|
|
2x +1 |
|
dx |
x |
2 |
−2x +1 |
|||
|
|
|
б) ∫5 x2x+ 2 dx
г) ∫( 2 + dx)( − )2
x 2 x 1
б) ∫ |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
+ 2 |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2x −3 |
|
|
|
dx |
||||||||||||
|
(x |
− |
|
2) |
2 |
(x |
−1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
3 |
ctgx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 − x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
1 |
−3x |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||
6x |
2 |
+ x |
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x ln |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
dx |
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+3x + 2 |
|
|
а) ∫ |
3 2x −2 |
3x |
3 x |
|
9. |
|
|
dx |
б) ∫x + x dx |
|
2x |
|
в) ∫x3e−x dx
10. |
а) |
∫ |
2x +3cos2 x |
dx |
||||
|
x cos |
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
в) ∫arctg 7x −1dx |
|||||||
11. |
а) |
∫ |
|
cos 2x |
|
dx |
||
cos x + sin x |
||||||||
|
в) ∫(x2 |
+3x + 2)ln xdx |
||||||
12. |
а) |
∫ |
( 2x −1)( x2 + 2 ) |
|||||
|
3 |
|
x |
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
в) ∫(x −3)5x dx
13.а) ∫1−3x27−1x3 dx
xdx
в) ∫sin 2 x
14.а) ∫ 4x−2 + x2 +4 dx
x4
xdx
в) ∫cos2 x
15. |
а) |
∫ |
sin2 |
|
x +5cos2 x |
dx |
||||||
|
|
|
sin |
2 |
2x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) ∫(2x +3)e4 x dx |
|
||||||||||
16. |
а) |
∫(sin x −cos x)2 dx |
||||||||||
|
в) ∫xarcctg(1 − x)dx |
|
||||||||||
17. |
а) |
∫cos2 |
|
x |
dx |
|
||||||
|
2 |
|
||||||||||
|
в) ∫ |
x cos x |
|
dx |
|
|
||||||
|
sin |
3 |
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. |
а) |
∫ |
sin2 x −9cos2 x |
dx |
||||||||
sin x +3cos x |
в) ∫lnx2x dx
28
г) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ 4x |
|
|
|
|||||||
б) ∫ |
|
|
|
|
sin 2x |
dx |
|||||||
|
|
|
3 +sin |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x(x2 −4) |
|
|
|||||||||||
б) ∫ |
x |
|
x |
3−1 |
dx |
||||||||
|
|
−1 − |
|
|
|
|
x −1 |
||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−16 |
|
|
|
|||||
б) ∫ |
5x |
+ 4 |
dx |
|
|||||||||
2 |
+1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
г) ∫(4x −3) dx 5 + x2 x
б) ∫e−(2 x2 +3)xdx
г) ∫ xdx x3 + 2x
б) ∫x 1dx+ x2
г) x5 −2x
∫(x2 +3)(x −4)dx
б) ∫sin 2 x cos3 xdx
x +1
г) ∫x(x + 2)(x −3)dx
dx
б) ∫2 +sin x +3cos x
г) x4 dx
∫1 + x3
dx
б) ∫4 1 −2x + 1 −2x
г) ∫xx2 −−26x dx б) ∫x(lndxx + 2)
г) ∫ |
|
|
5x +1 |
dx |
||
x |
3 |
+5x |
2 |
+6x |
||
|
|
|
|
29
19. |
а) |
∫sin 2x cos xdx |
б) ∫ |
9 − x |
2 |
|
|
||||||||
x2 |
dx |
|
|||||||||||||
|
в) ∫(1 −2x)cos |
x |
г) ∫ |
|
|
x4 −2x3 +3x + 4 |
|
||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 + x3 |
|||||||||||
20. |
а) |
∫ |
1 + x2 + |
|
1 − x2 dx |
б) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∫3sin x + 4 cos x |
|
||||||||||||
|
|
1 − x4 |
|
|
|||||||||||
|
в) ∫(3x −7)2x dx |
г) ∫ |
2 |
x −3 |
dx |
|
|||||||||
|
x |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
21–40. Найти значения несобственных интегралов или установить их расходимость.
|
+∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
|
−4 x |
|
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. |
∫e dx |
26. |
∫ |
|
|
|
|
31. |
∫xe |
|
|
|
dx |
36. |
∫ |
9 − x |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 −cos 2x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
dx |
||||||
22. |
∫ln xdx |
27. |
∫ |
|
|
32. |
∫x ln xdx |
37. |
|
∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0,5 x 1 + x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞x |
|
+ 6x +12 |
||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
23. |
∫ |
|
dx |
|
28. |
∫ |
dx |
|
|
33. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
38. |
|
3∫π |
dx |
|
||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
1 + cos x |
||||||||||||||||||||||||||
|
x ln x |
( 3 − x ) |
x ln x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
13 |
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2,5 |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
∫ |
dx |
29. |
∫2x sin xdx |
34. |
|
∫1 |
e |
dx |
39. |
|
∫xex dx |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x2 −5x +6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+∞ |
dx |
|
2 |
|
|
2 dx |
|
|
|
|
+∞ |
2e− |
x dx |
|
3 |
|
|
|
|
dx |
||||||||||||
25. |
∫ |
30. |
∫ |
|
|
|
|
35. |
∫ |
40. |
∫ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
(1 + x) x |
|
1 |
|
3x |
−2x −1 |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
(x −1)(x −2) |
41– 60. Найти площади фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.
41. |
y = sin x, x = − |
7 |
π, |
x = |
π |
, y = 0. |
|
6 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
42.y = 2x , y = − x +2 5 .
43. |
y = |
1 x2 |
−2x +4, y =10 − x . |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
44. |
y = sin x, y = |
2 sin x, |
x = 0, x = |
7 |
π . |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
||
45. |
y = cos x, y =1 |
+2x / π, |
x = −π, x = π/ 4 . |
46.y = cos12 x , y = 0, x = 0, x = π4 .
47. y = x2 , y = x−2 , y = 0, x = 0, x = 3.
48.y = ex , y = e−x , y = e .
49.y =1− x, y = 0, y =( x +1)2 , где x ≥ −1 .
50. |
y 2 |
= 2x +1, |
|
y = x −1. |
||
51. |
y = |
|
6x2 − x4 |
, |
y =1. |
|
9 |
||||||
|
|
|
|
52.y = x2 , y =1+ 34 x2 .
53. y = 8x3 , xy = 8, y = 27 .
54.y = x4xx , x =1, x = 4, y = 0 .
55. |
y = sin |
πx |
, |
y = x2 . |
|
|
2 |
|
|
56. |
y = x + |
1 |
, x = 2, x = 3, y = 0 . |
|
|
|
|
x |
|
57.y = 9x , y = x, x = 9, y = 0 .
58.y = x2 , y = 2 2x .
59.y = x2 −6, y = −x2 +5x −6 .
60. y = |
2 |
, y = x +1, x =3 . |
|
x |
|||
|
|
||
61–80. |
|
|