poz163
.pdfФедеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Методические указания и контрольные задания для студентов строительных и технологических специальностей
безотрывной формы обучения
Ухта 2007
УДК 532 (075.8) П-58
Попов, А.С. Механика сплошной среды [Текст]: метод. указания и контрольные задания для студентов строительных и технологических специальностей безотрывной формы/А.С. Попов, В.Л. Савич. – Ухта: УГТУ, 2007. – 11с.
Методические указания предназначены для лиц, изучающих механику сплошной среды, и представляют собой вспомогательное руководство для получения задания и выполнения контрольной работы.
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе
Рассмотрено и одобрено кафедрой ТМ от 12.10.2007, протокол № 2.
Рецензент: доцент кафедры ТМ УГТУ, к.т.н. В. Ю. Чурюмов
Редактор: В. К. Хегай
Вметодических указаниях учтены все предложения и замечания рецензента
иредактора.
План 2007 г., позиция 163. Подписано в печать 30.11.2007
Объем 11 с. Тираж 100 экз. Заказ 215.
© Ухтинский государственный технический университет, 2007 169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13 Отдел оперативной полиграфии УГТУ 169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13
2
Методические указания
Необходимость применения тензорного исчисления в современной механике вызвана не столько удобством и наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений.
Успехи технических наук, углубление их теоретической базы требуют знания основ тензорного и векторного исчисления, особенно той части, которая связана с рассмотрением декартовой системы координат.
Программы по математике втузов включают необходимые материалы по важному разделу векторной алгебры и векторного анализа. Однако изложение этих разделов носит относительно формальный характер, и это естественно, ибо физическое содержание этого математического аппарата наиболее полно может быть раскрыто в тех специальных дисциплинах, которые используют его.
Практика преподавания приводит к выводу о желательности связывать изложение гидромеханики, теории упругости и пластичности, электродинамики с систематическим ознакомлением с тензорным исчислением.
В свете сформулированных выше положений и составлено предлагаемое задание.
Для выполнения задания необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Необходимо знать векторную алгебру. Уметь вычислять скалярное и векторное произведения векторов и знать свойства этих произведений. Надо уметь свободно пользоваться системой декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве, знать что такое единичные векторы (орты) этих осей и их свойства. Уметь выражать составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов. Знать решения квадратных и кубических уравнений, решение системы линейных однородных уравнений, уметь раскрыть определитель любого порядка. Знать основы теории поверхностей второго порядка, изучаемой в аналитической геометрии.
Из тензорной алгебры четко усвоить понятие тензора и классификацию тензоров по рангу. Уметь записывать тензоры как матричным так и линейным способами. Уметь вычислять скаляр и вектор тензора второго ранга, находить главные значения и направления главных осей симметричного тензора второго ранга и его инварианты. Уметь производить действия с матрицами и проводить тензор к главным осям.
3
Содержание и порядок выполнения контрольной работы
Контрольная работа состоит из шести заданий связанных между собой одним общим условием выбором двух векторов: одного общего вектора для всех, вектора ar = 2eˆ1 + eˆ2 + eˆ3 и второго вектора b , первая компонента которого равна единице, а вторая и третья берутся по предпоследней и последней цифрам шифра соответственно. Так например, если две последние цифры шифра студента 23, то вектор b =eˆ1 + 2eˆ2 +3eˆ3 .
В первом задании необходимо вычислить скалярное, векторное и неопределенное произведения векторов a и b , а также вычислить угол между этими векторами. Для проверки результатов расчет угла следует провести двумя способами. Через формулу скалярного произведения векторов ar и b и через формулу модуля векторного произведения этих векторов.
Во втором задании определяется диадик D, как векторное произведение вектора cr = ar×b и диады arb .
Третье задание заключается в разложении диадика D на симметричную M и антисимметричную N части1.
В четвертом задании вычисляется вектор антисимметричного тензора
NV .
Впятом задании находят главные значения и направления главных осей тензора М. При этом кубическое уравнение контролируется значениями первого, второго и третьего инвариантов тензора М, а корни кубического уравнения так же проверяются через инварианты этого тензора.
Из полученных значений направляющих косинусов координатных осей составляется тензор преобразований А, который также необходимо проверить на удовлетворение условий ортогональности.
Вшестом задании матричным умножением тензоров второго ранга тензор М преобразуют к главным осям.
Контрольная работа выполняется в обычной ученической тетради, страницы которой нумеруются. На обложке указывается дисциплина, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес.
Выполнение каждого задания необходимо номеровать и начинать обязательно на развороте тетради (начиная со второй страницы). Особенно
1 Примечание. Для разложения диадика D на диадики M и N можно применить матричный способ, но затем обязательно записать их в линейном виде.
4
этого надо придерживаться при выполнении последнего шестого пункта, когда производиться умножение матриц. Все вычисления необходимо производить с большой точностью и результаты округлять до десятитысячных, цифры должны быть написаны четко и правильно.
Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут, а будут возвращаться для переделки.
К зачету необходимо представить контрольную работу с грифом «к собеседованию».
5
Список литературы
Основной
1.Седов Л. И. Механика сплошной среды. т.1. М., 1983 г.
2.Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М., 1966 г.
3.Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. т.1. М., 1982 г.
4.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., 1987 г.
5.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М., 1971 г.
6.Попов А. С. Руководство к решению коротких задач по механике сплошной среды. Ухта, 2003 г.
7.Юнин Е. К., Попов А. С. Математические основы механики сплошной среды. Ухта, 2006 г.
Дополнительной
1.Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М., 1965иг.
2.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1971 г.
3.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике для ВУЗов и ВТУЗов. М., 2001 г.
6
Пример выполнения задания
Имеем два вектора представленных через свои компоненты в прямоугольной декартовой системе координат
a= 2eˆ1 + eˆ2 + eˆ3 , b = 2eˆ1 + 2eˆ2 +3eˆ3 .
1.Вычисление произведений векторов.
Используя свойства единичных векторов, вычисляем скалярное и
векторное произведения векторов a и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
r |
r |
|
|
+ eˆ |
|
+ eˆ |
) (2eˆ + 2eˆ |
|
+3eˆ |
) = 4eˆ |
eˆ |
+ 2eˆ |
|
eˆ |
|
+3eˆ |
|
eˆ |
|
= 9 , |
||||||||||
a |
b = (2eˆ |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||
cr = ar×b = (2eˆ |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+eˆ |
2 |
+eˆ |
) ×(2eˆ |
+ 2eˆ |
2 |
+3eˆ |
) = 4(eˆ |
×eˆ |
2 |
) +6(eˆ |
×eˆ |
) + 2(eˆ |
2 |
×eˆ |
) + |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|||||
+3(eˆ2 ×eˆ3 ) + 2(eˆ3 ×eˆ1 ) + 2(eˆ3 ×eˆ2 ) = 4eˆ3 −6eˆ2 −2eˆ3 +3eˆ1 + 2eˆ2 −2eˆ1 = eˆ1 −4eˆ2 + 2eˆ3 .
Модуль вектора cr равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cr = 12 +(−4)2 +22 |
=4,5826. |
|
|
|
|
|||||||
Векторное произведение проще вычислить через определитель |
|||||||||||||
|
r r |
r |
= |
|
eˆ1 |
eˆ2 |
eˆ3 |
|
= eˆ −4eˆ |
|
+ 2eˆ |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
c = a |
×b |
|
2 1 |
1 |
|
2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Из формулы скалярного произведения векторов определяется косинус |
|||||||||||||
угла между векторами |
ar b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ^ r |
= |
|
|
|
9 |
|
|
|
= 0,8911, |
||||
cos(a, b) |
= r |
r |
|
|
+12 |
+12 22 + |
22 +32 |
||||||
|
a |
b |
22 |
|
|||||||||
откуда ar, ^ br = 26,9841o .
Для проверки результата расчета вычислим этот угол с помощью формулы модуля векторного произведения векторов
|
|
r |
r |
|
4,5826 |
|
|
r |
^ r |
a |
×b |
= |
= 0,4537 |
, |
|
sin(a, |
b) = |
r |
r |
102 |
|||
|
|
a |
b |
|
|
|
откуда ar, ^ br = 26,9841o .
Наконец вычисляем неопределенное произведение этих векторов arb = (2eˆ1 +eˆ2 +eˆ3 )(2eˆ1 + 2eˆ2 +3eˆ3 ) =
= 4eˆ1eˆ1 + 4eˆ1eˆ2 +6eˆ1eˆ3 + 2eˆ2 eˆ1 + 2eˆ2 eˆ2 +3eˆ2 eˆ3 + 2eˆ3 eˆ1 + 2eˆ3 eˆ2 +3eˆ3 eˆ3
Матрица этого тензора второго ранга имеет вид
4 |
4 |
6 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
2 |
3 . |
7
2.Вычисление диадика.
Вычисляем диадик D через векторное произведение вектора с и диады
ab |
r |
rr |
=(eˆ1 |
− 4eˆ2 |
+ 2eˆ3 ) ×(4eˆ1eˆ1 + 4eˆ1eˆ2 + 6eˆ1eˆ3 + 2eˆ2eˆ1 + 2eˆ2eˆ2 |
+3eˆ2eˆ3 + 2eˆ3eˆ1 + |
D =c |
×ab |
|||||
2eˆ3eˆ2 +3eˆ3eˆ3 ) = 2(eˆ1 ×eˆ2 )eˆ1 + 2(eˆ1 ×eˆ2 )eˆ2 +3(eˆ1 ×eˆ2 )eˆ3 + 2(eˆ1 ×eˆ3 )eˆ1 + 2(eˆ1 ×eˆ3 )eˆ2 + 3(eˆ1 ×eˆ3 )eˆ3 −16(eˆ2 ×eˆ1 )eˆ1 −16(eˆ2 ×eˆ1 )eˆ2 − 24(eˆ2 ×eˆ1 )eˆ3 −8(eˆ2 ×eˆ3 )eˆ1 −8(eˆ2 ×eˆ3 )eˆ2 − 12(eˆ2 ×eˆ3 )eˆ3 +8(eˆ3 ×eˆ1 )eˆ1 +8(eˆ3 ×eˆ1 )eˆ2 +12(eˆ3 ×eˆ1 )eˆ3 + 4(eˆ3 ×eˆ2 )eˆ1 + 4(eˆ3 ×eˆ2 )eˆ2 +
6(eˆ3 ×eˆ2 )eˆ3 = −12eˆ1eˆ1 −12eˆ1eˆ2 −18eˆ1eˆ3 + 6eˆ2eˆ1 + 6eˆ2eˆ2 +9eˆ2eˆ3 +18eˆ3eˆ1 +18eˆ3eˆ2 + 27eˆ3eˆ3 .
Это вычисление проще выполнить с помощью определителя
r rr |
= |
r r r |
= |
|
eˆ1 |
eˆ2 |
eˆ3 |
|
(2eˆ1 + 2eˆ2 +3eˆ3 ) = |
|
|
||||||||
D =c ×ab |
(c ×a)b |
|
1 |
− 4 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
=(−6eˆ1 +3eˆ2 |
+9eˆ3 )(2eˆ1 |
|
+ 2eˆ2 +3eˆ3 ) = |
||||||
= −12eˆ1eˆ1 −12eˆ1eˆ2 −18eˆ1eˆ3 + 6eˆ2eˆ1 + 6eˆ2 eˆ2 +9eˆ2eˆ3 +18eˆ3eˆ1 +18eˆ3eˆ2 + 27eˆ3eˆ3 .
Матрица диадика D имеет вид
−12 |
−12 |
−18 |
||
|
6 |
6 |
9 |
|
|
|
|||
|
18 |
18 |
27 |
|
|
. |
|||
3.Разложение диадика.
Разлагается диадик D на симметричный М и антисимметричный N по формулам
D = M + N = 12 (D + Dc ) + 12 (D − Dc ),
где Dc – сопряженный диадик, матрица которого имеет вид
−12 6 18
−12 6 18
−18 9 27 .
Разложение легче произвести матричным способом
−12 −12 −18 |
|
−12 −3 |
0 |
|
|
0 |
−9 |
−18 |
||||||||
|
6 |
6 |
9 |
|
= |
|
−3 |
6 |
|
|
+ |
|
9 |
0 |
|
|
|
|
|
13,5 |
|
−4,5 |
|||||||||||
|
18 |
18 |
27 |
|
|
|
0 |
13,5 |
27 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
18 4,5 |
. |
|||||||||
И согласно полученных матриц записать симметричный М и антисимметричный тензор N в линейной форме
M = −12eˆ1eˆ1 −3eˆ1eˆ2 −3eˆ2 eˆ1 + 6eˆ2 eˆ2 +13,5eˆ2 eˆ3 +13,5eˆ3 eˆ2 + 27eˆ3 eˆ3 N = −9eˆ1eˆ2 −18eˆ1eˆ3 + 9eˆ2 eˆ1 − 4,5eˆ2 eˆ3 +18eˆ3eˆ1 + 4,5eˆ3eˆ2 .
8
4.Вычисление вектора диадика.
Вектор диадика N получается, если все диады ортов заменить их векторными произведениями
NV = −9(eˆ1 ×eˆ2 ) −18(eˆ1 ×eˆ3 ) +9(eˆ2 ×eˆ1 ) −4,5(eˆ2 ×eˆ3 ) +18(eˆ3 ×eˆ1 ) + 4,5(eˆ3 ×eˆ2 ) = = −9eˆ3 +18eˆ2 −9eˆ3 −4,5eˆ1 +18eˆ2 −4,5eˆ1 = −9eˆ1 +36eˆ2 −18eˆ3 .
5.Нахождение главных значений и направлений главных осей.
Для получения кубического уравнения составляем определитель и приравниваем его нулю
−12 −λ |
−3 |
0 |
|
|
|
|
−3 |
6 −λ |
13,5 |
|
= 0, |
|
|
||||
|
0 |
13,5 |
|
|
|
|
27 −λ |
|
|||
|
|
|
где λ - корни кубического уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Раскрыв |
|
определитель, |
получим |
кубическое |
уравнение |
вида |
|||||||||||||||||||||||||
λ3 − JI λ2 + JII λ − JIII = 0 . В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 −21λ2 −425,5λ = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
которое можно проверить, используя инварианты тензора М |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J I = М11 + М22 + М33 = −12 +6 + 27 = 21, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
J II |
= |
|
M11 |
M 21 |
|
+ |
|
M 22 |
|
M 32 |
|
+ |
|
M11 |
M 31 |
|
= |
|
−12 |
−3 |
|
+ |
|
6 |
13,5 |
|
+ |
|
−12 |
0 |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
M12 |
M 22 |
|
|
|
M 23 |
|
M 33 |
|
|
|
M13 |
M 33 |
|
|
|
−3 |
6 |
|
|
13,5 |
27 |
|
|
|
0 |
27 |
|
|
|||
= −81−20,25 −324 = −425,25, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
J III = |
|
−12 |
|
−3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
6 |
13,5 |
|
= −12(162 −182,25) −243 = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
13,5 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решая уравнение (1), получаем три корня, которые располагаем в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
порядке убывания |
|
λ(1) =33,6409, λ(2) = 0, λ(3) =-12,6409. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Они являются главными значениями симметричного тензора М. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Правильность |
вычисления |
корней |
уравнения |
(1) также можно |
|||||||||||||||||||||||||||
проверить с помощью инвариантов
J I |
= λ(1) +λ(2) |
+λ(3) = 33,6409 −12,6409 = 21, |
J II |
= λ(1) λ(2) +λ(2) λ(3) +λ(3) λ(1) = (−12,6409)(33,6409) = −425,25 , |
|
J I |
= λ(1) λ( 2) λ(3) |
= 0 . |
Используя значения корней, составляем систему трех линейных однородных уравнений для определения направляющих косинусов n1, n2, n3 для каждого главного направления.
При λ(1) =33,6409 система имеет вид
9
−45,6409n(1) |
−3n(1) |
+0n(1) |
= 0, |
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
+13,5n3(1) = 0, |
(2) |
||
−3n1(1) −27,6409n2(1) |
||||||
|
(1) |
(1) |
|
(1) |
= 0. |
|
0n1 |
+13,5n2 |
+6,6409n3 |
|
|||
Так как определитель системы (2) равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений, выраженных через параметр t. При отыскании параметра t будем требовать, чтобы выполнялось условие ni ni = t .
Для определения значений n1(1) , n2(1) , n3(1) воспользуемся двумя последними уравнениями системы (2)
|
n(1) |
= |
|
|
|
|
−27,6409 |
13,5 |
|
t =1,3105t, |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
13,5 |
−6,6409 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n(1) |
= |
|
|
13,5 |
−3 |
|
t = −19,9277t, |
(3) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
−6,6409 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3(1) |
= |
|
|
|
|
−3 |
−27,6409 |
|
t = −40,5t, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
13,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где t = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= ±0,0221. |
|
|||||
+(−19,9277)2 + |
(−40,4)2 |
|
||||||||||||||
(1,3105)2 |
|
|
|
|||||||||||||
Подставляя значения t в систему (3), получим значения направляющих косинусов для первого главного направления
n1(1) =±0,0290 , n2(1) = m0,4413, n3(1) = m0,8969.
Аналогично определяем направляющие косинусы для второго и третьего главных направлений
n(2) |
= m0,2182, n( 2) |
= ±0,8729, n(2) |
= m0,4364, |
1 |
2 |
3 |
|
n(3) |
= m0,9755, n(3) |
= m0,2084, n(3) |
= ±0,0709. |
1 |
2 |
3 |
|
Тензор преобразования А для данного случая будет иметь следующий
вид
|
±0,0290 |
m 0,4413 |
m 0,8969 |
А = |
|
±0,8729 |
|
m 0,2182 |
m 0,4364 |
||
|
|
m 0,2084 |
|
|
m 0,9755 |
±0,0709 . |
При правильно выполненных расчетах тензор А соответствует условию ортогональности. Сумма квадратов компонентов любого столбца или строки должна быть равна единице, сумма произведений компонент одинакового индекса двух столбцов или строк должна быть равна нулю.
6.Вычисление тензора М в главных осях.
Для приведения тензора М к главным осям воспользуемся формулой
M * = A M Ac ,
где М* - тензор М в главных осях х1* , х2* , х3* ; Ас – тензор, сопряженный с А.
10