kniga_9
.pdf
V |
Другий член |
правої |
частини |
рівняння (5) |
2M V 0 , тому що |
||||||
0 , тоді: |
|
|
2 nM 2 |
V 2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||
|
Рівняння (б) поділимо на n , а M |
замінимо його значенням, тобто |
|||||||||
M 2 |
|
m2 |
тоді |
2 |
|
m2 |
|
V 2 , але |
2 m2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
m2 m2 V 2 . n n
Розв’яжемо рівняння (7) відносно m , одержимо:
m2 |
m2 |
|
V 2 |
; m2 n 1 V 2 ; |
||||
n |
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
V 2 |
|
|||||
|
|
. |
||||||
|
n 1 |
|||||||
(7)
(8)
За формулою (8) обчислюють середню квадратичну помилку одного вимірювання, коли відомі ймовірніші помилки. Ця формула відома в літературі під назвою формули Бесселя.
Підставимо значення (8) в формулу середньої квадратичної помилки арифметичної середини M m , одержимо:
|
|
n |
M |
V 2 |
|
n n 1 . |
(9) |
Формулою (9) користуються для обчислення середньої квадратичної помилки, коли відомі ймовірніші помилки.
Контрольною формулою при обчисленні середньої квадратичної помилки за формулою Бесселя служить формула Петерса:
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
0,5 |
||||||
n n 1 |
||||||||||||||
а середня квадратична помилка одного вимірювання m 1,253 .
Цією формулою користуються для контролю правильності обчислення середньої квадратичної помилки, обчисленої за формулою Бесселя.
315
§ 198. Опрацювання результатів ряду рівноточних вимірювань
Опрацювання ряду рівноточних вимірювань будь-якої величини виконують з метою:
1.Обчислення найімовірнішого значення L вимірюваної величини.
2.Обчислення середньої квадратичної помилки m одного
результату вимірювання.
3. Обчислення середньої квадратичної помилки M найімовірнішого значення.
Зобразимо ряд l1 , l2 , ..., ln результатів рівноточних вимірювань у вигляді:
l1 l0 1 , l2 l0 2 , ..., ln l0 n , (1)
де l0 – довільне число (в більшості випадків – це найменший результат
вимірювань l ), а залишки |
обчислюють, як різниці, тобто |
||||
1 l1 l0 , 2 l2 |
l0 , ..., n ln l0 . |
|
|
|
|
Додаючи рівняння (1), одержимо: |
|
|
|
||
|
|
l nl0 , |
|
|
|
розділимо це рівняння на n , одержимо: |
|
|
|
||
l l0 |
, |
але l L тоді |
L l0 |
|
. |
n |
n |
n |
|
|
n |
За цією формулою обчислюють найімовірніше значення вимірюваної величини. Приклад опрацювання результатів рівноточних
вимірювань горизонтального кута приведено в табл. 20. |
|
|
||
Обчисливши |
L , утворюють різниці l1 L V1 ; |
l2 L V2 ; |
....; |
|
ln L Vn , тобто |
визначають |
ймовірніші помилки |
і обчислюють |
|
середні квадратичні помилки |
одного результату вимірювання |
m і |
||
найімовірнішого значення M . |
|
|
|
|
Контролюють правильність обчислення V 2 рівнянням: |
|
|||
|
V |
2 2 2 . |
|
|
|
|
n |
|
|
316 |
|
|
|
|
Таблиця 20
Пр и м і т ка : V 0 за рахунок закруглення L .
§199. Оцінка точності результатів за різницями подвійних рівноточних вимірювань
На практиці є випадки застосування подвійних вимірювань однієї і тієї величини.
Наприклад, вимірювання ліній теодолітного ходу в прямому і зворотному напрямах, при геометричному нівелюванні перевищення визначають по чорній і червоній сторонах рейок і т. п. Різниці, одержані між вимірюваннями однієї і тієї величини, можуть бути використані для оцінки точності цих вимірювань.
Допустимо, маємо ряд величин, виміряних двічі:
l1 |
, |
l2 |
, |
..., |
ln |
l , |
l |
, |
..., |
l |
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
Утворимо різниці цих пар вимірювань:
l |
|
l |
d |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||
l |
2 |
l |
d |
2 |
(1) |
|
2 |
|
|
||
................ |
|
|
|||
l |
n |
l |
d |
n |
|
|
n |
|
|
||
Різниці виміряних значень |
d |
є різницями випадкових помилок, |
|||
тому що дійсні значення різниць повинні дорівнювати 0. |
Середню |
||||
|
|
|
|
|
317 |
квадратичну помилку однієї різниці можна визначити за формулою |
|||||||||||||||||||||
Гаусса, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
md |
|
|
d 2 |
|
|
|
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
але кожна різниця d l l |
є функцією виду U l1 l2 , |
тому середня |
|||||||||||||||||||
квадратична |
помилка різниці |
d |
|
обчисляється |
за |
формулою: |
|||||||||||||||
m2 |
m2 |
m2 |
, а так як m m |
m , то m2 |
2m2 . |
|
|
||||||||||||||
d |
l |
l |
l |
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
d |
|
|
l |
|
|
||
|
|
|
m m |
|
|
|
|
|
|
m |
m |
d |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 і |
|
(3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
d |
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи в рівняння (3) замість помилки md |
її значення з (2), |
|||||||||||||||||||
будемо мати: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m |
|
d 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
l |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Цією формулою можна користуватись тільки тоді, коли в різницях |
||||||||||||||||||||
d немає систематичних помилок і вони мають випадковий характер. Якщо різниці d мають різні знаки і сума цих різниць
наближується до “0”, то вони мають випадковий характер і для оцінки точності вимірювань потрібно користуватись формулою (4).
Якщо в ряду різниць (1) подвійних вимірювань переважає один знак, тоді кожна різниця є результатом впливу на вимірювання як випадкових, так і систематичних помилок.
Позначимо випадкову помилку різниці через d , а систематичну
помилку через . Систематичні помилки не володіють властивістю |
|||
компенсації, то очевидно |
d , а n d . |
||
|
|
n |
|
Виключаючи помилку |
із кожної різниці подвійних вимірювань, |
||
одержимо: |
|
|
|
d d |
|||
|
1 |
1 |
|
d |
2 |
d |
|
|
|
2 |
|
................. |
|
||
d |
n |
d |
. |
|
|
n |
|
318 |
|
|
|
Величини d , |
d |
, ..., |
d |
є відхиленням різниць від їх арифметич- |
1 |
2 |
|
n |
|
ної середини , отже вони є ймовірними помилками, тому середня квадратична помилка однієї різниці обчислюється за формулою Бесселя:
md
Підставляючи рівняння одержимо:
ml
|
|
|
|
|
|
||
|
d 2 |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
||||
n 1 |
|||||||
|
|
|
|
||||
(5) в |
(2), |
||||||
|
|
|
|||||
|
d 2 |
|
|||||
2 n |
1 |
||||||
|
|
||||||
(5)
аналогічно попередньому,
.
За цією формулою обчислюється середня квадратична помилка одного вимірювання подвійних рівноточних вимірювань при спільній дії випадкових та систематичних помилок.
Наприклад, обчислити середню квадратичну помилку одного вимірювання із подвійних рівноточних вимірювань шести ліній. Приклад обчислень приведено в табл. 21.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 21 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
l1 , |
l1 , |
|
|
d , |
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
d , |
|
d |
2 |
|||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
м |
м |
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
132,45 |
|
132,54 |
|
|
–9 |
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
–5 |
|
25 |
|
||||
2 |
|
135,21 |
|
135,26 |
|
|
–5 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
1 |
|
||||
3 |
|
134,77 |
|
134,73 |
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
+8 |
|
64 |
|
||||||
4 |
|
132,59 |
|
132,69 |
|
|
–10 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
–6 |
|
35 |
|
||||
5 |
|
136,58 |
|
136,62 |
|
|
–4 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||
6 |
|
134,09 |
|
134,09 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+4 |
|
16 |
|
||||
|
|
d |
24 |
|
|
|
|
–24 |
|
|
|
|
|
|
|
238 |
|
|
|
|
|
0 |
|
142 |
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
d |
|
d 2 |
|||||
n |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Середня |
квадратична помилка одного |
вимірювання без |
виклю- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чення систематичних помилок: |
m |
|
|
|
238 |
|
4,46 см. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Середня квадратична помилка одного вимірювання з виключенням |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
систематичних помилок: m |
|
|
|
|
142 |
|
3,77 см. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
319 |
§ 200. Нерівноточні вимірювання. Загальна арифметична середина
Якщо одна і та ж величина вимірюється в різних умовах або різною кількістю прийомів, станцій, то такі вимірювання будуть нерівноточними і характеризуються різними середньоквадратичними помилками.
Допустимо, маємо ряд з трьох вимірювань будь-якої величини l1 ,
l |
|
, |
l |
|
, середнє арифметичне цих вимірювань |
буде |
L |
|
l1 l2 l3 |
, |
||||||
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
потім цю величину вимірювали другий раз і одержали результати l4 , |
l5 , |
|||||||||||||||
середнє арифметичне цих вимірювань буде: L |
|
l4 l5 |
, |
потім ту ж |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величину вимірювали ще п’ять разів і одержали результати l6 , l7 , l8 , |
l9 , |
|||||||||||||||
l |
|
|
і середнє арифметичних вимірювань буде: L |
l6 |
l7 |
l8 l9 l10 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Арифметичні середини L1 , L2 , L3 однієї |
|
і |
тієї |
ж величини |
|||||||||
нерівноточні тому, що кожне середнє арифметичне виведене з різної кількості вимірювань.
Виведемо формулу обчислення середнього арифметичного з нерівноточних вимірювань.
Маємо ряд рівноточних вимірювань однієї і тієї величини, але вимірювання велись групами, а саме:
l |
, |
l , |
l ... |
l P1 |
– з числом вимірювань |
P |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
l |
, |
l , |
l ... |
l P2 |
– з числом вимірювань |
P |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
1 |
.................................................................... |
|
|||||
l |
, |
l , |
l ... |
l Pn |
– з числом вимірювань |
P |
1 |
|
n |
n |
n |
|
n |
Утворимо середнє арифметичне з кожної групи вимірювань.
|
|
l l l ... l 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
L |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l l |
... l P2 |
||||
L |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
..................................... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l l l ... l |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|||
L |
|
n |
n |
n |
n |
. |
||||
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
Pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
320
Ми одержали нерівноточні результати вимірювань: L1 – середнє арифметичне із P1 вимірювань;
L2 |
– середнє арифметичне із P2 |
вимірювань; |
|
Ln |
– середнє арифметичне із Pn |
вимірювань. |
|
а загальне число вимірювань дорівнює P P ... P . |
|||
|
|
1 2 |
n |
Одержані результати вимірювань в кожному окремому випадку є рівноточними вимірюваннями, тоді можна написати найімовірніше значення вимірюваної величини.
L |
l l l ... l P1 |
l |
l l ... l P2 |
l |
l l ... l Pn |
||||
1 1 1 |
1 |
2 |
2 2 |
2 |
n |
n n |
n |
. |
|
0 |
|
|
|
P1 P2 ... Pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перетворимо систему рівнянь (1)
L P l l l ... |
l 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
L P |
l |
l l ... |
l P2 |
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
........................................ |
|
|
|
|||||
L P |
l |
l l ... |
l Pn . |
|
|
|
||
n |
n |
n |
n |
n |
n |
|
|
|
Підставимо рівняння (3) в (2), одержимо: |
|
|
||||||
|
|
L P L P ... L P |
|
LP |
|
|||
L |
|
1 1 |
2 |
2 |
n n |
|
P |
. |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
P P ... P |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
(2)
(3)
(4)
Цей вираз називається загальною арифметичною серединою нерівноточних вимірювань, а число P вагою результатів вимірювань, тобто, вага загальної арифметичної середини дорівнює числу P , яке показує, з якого числа рівноточних вимірювань виведена дана загальна арифметична середина.
§201. Поняття і визначення ваги. Властивість ваг вимірювань
Звизначення загальної арифметичної середини можна привести визначення ваги.
Вагою даного результату вимірювань називається число, яке показує, скільки необхідно виконати рівноточних вимірювань будьякої величини, щоб середнє арифметичне з них мало таку ж точність, що і даний результат. Ваги результатів вимірювань мають відносний характер, їх можна зменшувати або збільшувати в однакове число
321
разів, але від цього величина загальної арифметичної середини не зміниться.
Наприклад: маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань:
L1 |
з вагою P1 |
|
|
|
|
|
|
L2 |
з вагою P2 |
|
|
|
|
|
|
...................... |
|
|
|
|
|
|
|
Ln |
з вагою Pn |
|
|
|
|
|
|
Найімовірніше значення величини L буде: |
|
|
|||||
|
|
L P L P ... L P |
|
LP |
|
||
|
L |
1 1 |
2 2 |
n n |
|
P |
. |
|
|
|
|
||||
|
0 |
P |
P ... P |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
Збільшимо вагу кожного результату на довільне число разів, |
|||||||
наприклад, на K разів, одержимо: |
|
|
|
|
|||
L |
з вагою KP |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
L2 |
з вагою KP2 |
|
|
|
|
|
|
......................... |
|
|
|
|
|
|
|
Ln |
з вагою KPn |
|
|
|
|
|
|
Тоді найімовірніше значення з новими вагами буде:
|
L KP L KP ... L KP |
K L P L P |
... L P |
|
|
LP |
|
||||||
L |
1 1 |
2 |
2 |
n n |
|
1 1 |
2 2 |
n n |
|
|
|
P |
. |
0 |
KP |
KP |
... KP |
K P P ... P |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
|
n |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
Вага є показником точності даного результату вимірювань, тобто чим точніший результат, тим більша його вага. Так як точність результату вимірювання характеризується його середньою квадратичною помилкою m , то за вагу, як правило, приймають величину, обернену квадратові середньої квадратичної помилки даного результату. За цією умовою, чим точніший результат вимірювань, тим менша його середня квадратична помилка, а значить, тим більша його вага.
Якщо ряд вимірювань l1 , |
l2 , ..., |
ln |
характеризується середніми |
|||||||
квадратичними помилками m1 , m2 , ..., mn |
то ваги цих вимірювань |
|||||||||
будуть: |
P |
1 |
, |
P |
1 |
, ..., |
P |
1 |
; |
тобто – ваги вимірювань |
|
|
|
||||||||
|
1 |
m2 |
|
2 |
m2 |
|
n |
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
обернено пропорціональні квадратам середніх квадратичних помилок вимірювань.
Щоб спростити обчислення, користуються формулою P mC2 .
322
C = 1, 10, 100 ..., тоді ваги виразяться цілими і невеликими числами. Іноді за вагу приймають величину P 1n , де n – число кутів,
станцій, ходів і т. п.
§ 202. Середня квадратична помилка одиниці ваги і загальної арифметичної середини
Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань будь-якої величини, дійсне значення якої X , а вимірювання проводились групами:
L1 – середнє арифметичне з P1 вимірювань;
L2 – середнє арифметичне з P2 вимірювань;
........................................................................
Ln – середнє арифметичне з Pn вимірювань. Дійсні помилки цих груп вимірювань будуть:
1 L1 X |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
L2 X |
|
|
|
|
|
|
................... |
|
|
|
|
|
|
|
n |
Ln X |
|
|
|
|
|
|
1 , |
2 , ..., |
n – випадкові помилки середнього арифметичного |
|||||
даних груп вимірювань, а їх середні квадратичні помилки |
m1 , m2 , ..., |
||||||
mn обчислюються за формулою: |
|
||||||
|
|
M |
m |
|
. |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
||
Якщо середня квадратична помилка одного такого рівноточного вимірювання дорівнює , то на підставі формули (1) можна написати:
m1 |
|
|
, m2 |
|
|
|
, ..., mn |
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P1 |
|
|
P2 |
|
Pn |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тобто, середня квадратична помилка будь-якого результату вимірювання дорівнює помилці одиниці ваги, поділеній на корінь квадратний з ваги цього результату.
Якщо вага будь-якого з наведених вище результатів вимірювань,
наприклад у l1 , дорівнює 1, тоді m1 , тобто |
є середньою |
|
323 |
квадратичною помилкою результату вимірювання, вага якого дорівнює одиниці, або іншими словами, є середньою квадратичною
помилкою одиниці ваги. Рівняння (2) можна записати:
m |
P |
; m |
P |
, ..., m |
P |
|
(3) |
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
|
|
Піднесемо систему рівнянь (3) до квадрата і додамо, одержимо: |
|
||||||
|
n 2 m2 P m2 P |
... m2 P , або |
|
||||||||||||
|
|
|
1 1 |
2 2 |
|
|
n |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m2 P m2 P ... m2 P |
(4) |
||||||||||||
|
1 1 |
2 |
2 |
|
n |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
але середня квадратична помилка при багаторазових |
|||||||||||||||
вимірюваннях буде близькою до дійсної, тобто |
|
|
m , якщо |
n , |
|||||||||||
тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 2 , m2 |
2 , |
..., mn n , |
|
|||||||||||
і формулу (4) можна записати: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
21P1 22 P2 |
... 2n Pn |
|
|
|
|
2 P |
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
За цією формулою обчислюють середню квадратичну помилку одиниці ваги, коли відомі дійсні помилки вимірювань.
Для обчислення середньої квадратичної помилки загальної
арифметичної середини в формулі (1) потрібно замість m підставити |
||||||
, а замість n вагу загальної арифметичної середини P , тобто |
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
M 0 |
|
|
2 P |
|||
P |
|
|
||||
|
|
|
n P |
|||
§203. Середня квадратична помилка одиниці ваги
ізагальної арифметичної середини, обчислені за ймовірнішими помилками
Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань будь-якої величини:
L1 з вагою P1 ;
324