Послідовність розв’язання задачі:

1. Обчислення приведеної широти початкової точки:

,

.

2. Обчислення допоміжних функцій:

3. Обчислення коефіцієнтів , , , і :

,

де ,

.

4. Обчислення сферичної віддалі:

5. Обчислення поправки в різницю довгот:

.

6. Обчислення геодезичних координат і азимута в кінцевій точці:

,

,

.

Таблиця 3

знак	+	+	–	–
знак	+	–	–	+

,

.

Таблиця 4

знак	–	–	+	+
знак	+	–	+	–

,  – кути в першій чверті.

Числовий приклад для нульового варіанту

Вихідні дані:

	м

Розв’язання задачі

Таблиця 5

Елемент формули	Номер формули	Значення
		0,9985486723433712
		0,6570348813345714
		0,7538601758347934
		-0,7537682044383338
		0,01792194400206359
		0,03583237878463869
		-0,9993578141139611
		0,43183349397781023
		6361484,990229736
		2310,5648377308453
		0,42334261267418477
		691,2168675830362
		0,12534751653282836
		3,0653090044343476
		0,1872946664952052
		-0,98230377577532
		3,0653769708035123
		-1597,1287"
		-0,6542309057031178

Завдання 5. Розв’язати обернену геодезичну задачу за способом Бесселя.

Вихідні дані: широти , і довготи , початкової та кінцевої точок геодезичної лінії.

Послідовність розв’язання задачі:

1. Підготовчі обчислення:

,

,

,

,

.

2. Спільне обчислення початкового азимута, сферичної віддалі та різниці довгот послідовними наближеннями:

.

У першому наближенні приймають: .

Таблиця 6

Знак	+	+	–	–
Знак	+	–	–	+

Таблиця 7

Знак	+	–

і  – аргументи у першій чверті.

де коефіцієнти і обчислюються за наступними формулами:

.

З отриманим значенням повторюються всі обчислення за формулами - для отримання нового значення , з яким потім знову повторюють ці ж обчислення. Такі наближення повторюються доти, поки нове значення не відрізнятиметься від попереднього на величину 0,0001".

Значення , , , і , отримані на останньому кроці, приймаються за остаточні.

3. Обчислення коефіцієнтів , і за наступними формулами:

Обчислення довжини геодезичної лінії:

4. Обчислення зворотного азимута:

Таблиця 8

Знак	+	+	–	–
Знак	+	–	–	+

Числовий приклад для нульового варіанту

Вихідні дані:

Розв’язання задачі

Таблиця 9

	0,6570348813345714		-0,4298525254011133
	0,7538601758347934		0,5701405796041473
	-0,6542309055616582		-0,49319862550326776
	0,7562948645918288		0,496912106611038

Таблиця 10

Елементи формул	Наближення
	1	2	3	4
, радіан	-3,033013489	-3,040742436	-3,040756562	-3.040756587
	-0,081956606	-0,076143276	-0,076132647	-0.076132628
	0,000787201	0,001188634	0,00118934	0.001189342
	0,081960386	0,076152553	0,076141936	0.076141917
	-0,996635588	-0,997096178	-0,997096989	-0.997096991
	3,059540227	3,065366304	3,065376951	3.065376971
	-0,753825403	-0,75376834	-0,753768205	-0.753768204
	-0,429410365	-0,429125727	-0,429125175	-0.429125174
	0,003351114	0,003351114	0,003351114	0.003351114
	0,000002815	0,000002815	0,000002815	0.000002815
	-1594,2098"	-1597,1234"	-1597,1287"	-1597.1287"
	6361484,990230176			0,181288847
	10701,183997781			19500000,00 м
	4,487

Завдання 6. Розв’язати обернену геодезичну задачу в просторі: за заданими геодезичними координатами двох точок і визначити відстань між цими точками по прямій , азимут нормальної площини у першій точці і зенітну відстань з першої точки на другу (рис.4).

Розглянемо рис.2, на якому показані різні координатні системи:

1. Система прямокутних геоцентричних координат: вісь розташована вздовж осі обертання еліпсоїда і спрямована на північний полюс, вісь  – у площині початкового меридіана , вісь  – у площині меридіана з довготою .

2. Системи топоцентричних координат. Початок знаходиться в точці , розташованій, зазвичай, на земній поверхні.

а) декартові прямокутні координати: вісь розташована на продовженні нормалі до поверхні еліпсоїда в точці ; вісь розташована у площині меридіана точки перпендикулярно до і спрямована в бік осі обертання еліпсоїда; вісь перпендикулярно до осей і та спрямована в бік збільшення довготи;

б) полярні координати: геодезичний азимут – двогранний кут між площиною меридіана початкової точки і нормальною площиною , яка проходить через нормаль в точці і задану точку простору; зенітна віддаль – кут між віссю і прямолінійним напрямком з точки в точку ; віддаль між точками і по прямій.

Рис.4 До розв’язання задач в просторі.

Послідовність розв’язання задачі

Обчислення радіусів кривини першого вертикалу для широт і :

.

Обчислення декартових геоцентричних координат:

.

Обчислення декартових топоцентричних координат:

.

Обчислення азимуту нормальної площини в точці :

.

Значення азимуту остаточно отримують за такою схемою:

Таблиця 11

Знак	+	+	–	–
Знак	+	–	–	+

– аргумент у першій чверті.

Обчислення для відрізка азимута і зенітної віддалі з на :

,

,

,

Таблиця 12

Знак	+	+	–	–
Знак	+	–	–	+

.

Числовий приклад для нульового варіанту

Вихідні дані:

Геодезичні координати
	точка	точка
Широта,
Довгота,
Висота,	820 м	245 000 м

Розв’язання задачі

Таблиця 13

Елемент формули	Номер формули	Значення	Елемент формули	Номер формули	Значення
		6387515,378			6390256,229
		4392407,239			-189193,435
		172940,725			-189193,435
		4938219,434			4177220,535
		847040,978			-810816,363
		172940,725			-189193,435
		187418,218			-298822,975
		11°32'22,219"			193°03'08,192"
		864515,421			832596,740
		77°46'05,279"			109°44'35,904"
, м		884 597,367	, м		884 597,367

Завдання 7. Розв’язати пряму геодезичну задачу в просторі: за геодезичними координатами точки і полярними топоцентричними координатами точки обчислюються геодезичні координати цієї точки.