Лабораторна робота №3. Розв’язання головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда та в просторі.

Головні геодезичні задачі поділяють на пряму і обернену. В першому випадку задано геодезичні координати і для пункту , азимут геодезичної лінії і відстань S між пунктами і . Необхідно визначити широту і довготу точки і обернений азимут з точки В на точку . В другому випадку за даними геодезичними координатами пунктів і обчислюють відстань між цими пунктами, прямий і обернений азимут ліній . В залежності від відстані між пунктами і , а також від необхідної точності, використовують різні методи і формули для розв’язання головних геодезичних задач.

Завдання 1. Розв’язати головну геодезичну задачу за способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера), при 30<S<60 км.

Вивід формул заснований на перспективному зображенні сфероїдального трикутника на поверхні сфери радіуса (рис.3).

Рис.3. Сфероїдальний трикутник при розв’язанні головних геодезичних задач.

Послідовність розв’язання задачі

1. Розв’язання трикутника за теоремою Лежандра та визначення довжин його сторін:

,

де – радіус кривини першого вертикала для широти даної точки , тобто для .

2. Визначення різниці широт даної точки і допоміжної точки та обчислення широти допоміжної точки на сфері радіуса :

.

3. Обчислення різниці довготи точок і та азимута лінії :

,

,

де , , .

4. Визначення різниці широт точок і : на сфері і на еліпсоїді, обчислення широти і довготи точки :

,

,

,

де – квадрат другої сфероїдичної функції геодезичної широти; – квадрат другого ексцентриситету.

Широта та довгота точки В обчислюються за формулами:

,

.

5. Розрахунок оберненого азимуту:

,

де .

Значення координат точки і пов’язані з їх визначенням величини , , обчислюють з точністю до 0,0001", значення азимута і пов’язані з його визначенням величини – з точністю до 0,001".

Числовий приклад

Завдання. Визначити геодезичні координати та азимут точки В, якщо відомо координати та азимут точки А.

Вихідні дані: В₁=47˚46'52,647", L₁=35˚49'36.33", S=44 797,279 м, A_1,2=44°12'13,685".

Розв’язання задачі

;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

;

; ;

; .

Завдання 2. Розв’язати обернену геодезичну задачу за формулами з середнім аргументом (спосіб Гауса).

Послідовність розв’язання задачі

Обернену геодезичну задачу розв’язують за наступними робочими формулами:

,

,

,

де , ,

,, .

,

,

,

,

,

,

,

,

.

З формул - отримаємо шуканий розв’язок оберненої геодезичної задачі:

,

.

Наведені формули забезпечують обчислення відстані S з похибкою 5-10 см і азимута з похибкою 0,05" при розв’язанні оберненої геодезичної задачі на середні відстані. Значення для обчислення необхідно обчислювати з сімома десятковими знаками, для обчислення – з шістьма, а для інших коефіцієнтів  – з чотирма десятковими знаками.

Числовий приклад

Завдання: Визначити прямий і зворотний азимути A_1,2, A_2,1 геодезичної лінії в точках 1 і 2 та довжину геодезичної лінії між цими точками за їх відомими координатами.

Вихідні дані: В₁=50˚07'40,97", L₁=23˚45'13,43", В₂=52˚39'03,91", L₂=24˚00'25,46".

Розв’язання задачі

;

;

; ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

; ;

; ;

; .

Завдання 3. Розв’язати пряму геодезичну задачу за методом Рунге-Кутта-Інгланда, 300 <S<600 км.

Послідовність розв’язання задачі:

Задачі розв’язується в результаті чотирьох наближень за наступними формулами:

,

де , ; ,, і – номер наближення.

Значення і наведені в табл.1.

Шукані різниці координат:

.

Таблиця 1

Номер наближення
1
2
3
4

Координати точки 2:

.

Значення приростів , , в кожному з наближень таке ж як і кінцеві значення, обчислюються з точністю 0,001".

Числовий приклад

Завдання: Визначити геодезичні координати та азимут точки В, якщо відомо координати.

Вихідні дані: В₁=50˚07'40,97", L₁=23˚45'13,43", A₁₂=3˚29'45,83", S=281260,08, β=0,00842316. .

Розв’язання задачі

Таблиця 2

№ наближення Елемент формули	1	2	3	4
	50° 07' 40,970"	51° 23' 23,903"	51° 23' 23,183"	52° 39' 03,889"
	0,99813899	0,998039741	0,99803605	0,997922336
	0,060979969	0,06258334	0,062642188	0,064428343
	0,641074015	0,624016356	0,624019083	0,606667363
	0,76747906	0,78141128	0,781409101	0,794955792
	0,410975892	0,389396412	0,389399816	0,368045289
	0,003461716	0,003279948	0,003279977	0,003100104
	1,001383728	1,001311119	1,001311131	1,001239273
	9085,865401	9082,985888	9082,952601	9079,962609
	863,4819161	910,3439136	911,1959408	963,9131335
	662,7042893	711,3530023	712,0168012	766,2683283

; ;

.

Завдання 4. Розв’язати пряму геодезичну задачу за способом Бесселя.

Вихідні дані: широта , довгота і азимут у початковій точці геодезичної лінії та її довжина .