вища геод / Л.Р.№1

Основні співвідношення сфероїдальної геодезії

На рис.1 показаний земний еліпсоїд обертання і зв’язана з ним геодезична система координат .

Рис.1. Земний еліпсоїд обертання.

Площини, паралельні екватору (перпендикулярні полярній осі ), у перетині з поверхнею еліпсоїда утворюють кола, які називаються паралелями. Перетини поверхні еліпсоїда площинами, що проходять через полярну вісь, за формою є однаковими еліпсами і називаються меридіанами.

На поверхні еліпсоїда криві позначають наступним чином: Х – довжина дуги меридіана від екватора (в сторону полюса) до даної точки; Y – довжина дуги паралелі від середнього (початкового) меридіана до даної точки.

Наведемо значення основних параметрів еліпсоїда обертання для референц-еліпсоїда Ф. М. Красовського:

• велика (екваторіальна) піввісь м;

• мала (полярна) піввісь м;

• полярне стиснення ;

• радіус кривини в омбілічних точках (полярний радіус кривини) м;

• квадрат першого ексцентриситету ;

• квадрат другого ексцентриситету .

У сфероїдальній геодезії широко використовуються перша і друга основні функції геодезичної широти (основні сфероїдальні функції):

,

а також допоміжна функція ексцентриситету

,

яка характеризує відступ форми еліпсоїда в околицях даної точки від сфери.

Перетин поверхні (наприклад, еліпсоїда обертання) нормальною площиною (містить нормаль до поверхні в даній точці) називається нормальним перетином. Через деяку точку поверхні еліпсоїда обертання можна провести безліч нормальних перетинів, кожний із яких матиме свою кривину. Серед усіх цих нормальних перетинів виділяють два, один з яких має найбільшу, а інший – найменшу кривину. Ці перетини називають головними нормальними перетинами, а їх радіуси кривини – головними радіусами кривини.

Для точки на поверхні еліпсоїда обертання (рис.1) головними нормальними перетинами є меридіанальний перетин (нормальний перетин, що проходять через задану точку і полюси еліпсоїда) з радіусом кривини та перпендикулярний до нього перетин першого вертикалу з радіусом кривини , що дорівнює відрізку . Ці перетини мають, відповідно, максимальну і мінімальну кривину (мінімальний і максимальний радіуси кривини), а за формою, у загальному випадку, є еліпсами.

Радіуси кривини головних нормальних перетинів для точки, розташованої на поверхні еліпсоїда обертання, з широтою :

.

Середній радіус кривини для точки еліпсоїда обертання дорівнює середньому геометричному з радіусів кривини головних нормальних перетинів в даній точці:

.

Положення точки  (проекції точки фізичної поверхні Землі на поверхню еліпсоїда по нормалі до останньої) на поверхні еліпсоїда визначається двома ортогональними криволінійними геодезичними координатами – широтою і довготою . Положення точки відносно поверхні еліпсоїда визначається геодезичною висотою .

Кут між дотичними, проведеними до меридіана в північному напрямі та заданою лінією, називається геодезичним азимутом А. Він відраховується від меридіана в сторону руху годинникової стрілки.

Лінія найкоротшої відстані на поверхні еліпсоїда між заданими точками називається геодезичною лінією. Геодезична лінія – це така крива на поверхні, у кожній точці якої головна нормаль кривої співпадає з нормаллю до поверхні. Довжину геодезичної лінії позначають як .

Лабораторна робота №1. Перетворення координат між системами СК 42 та WGS 84.

Завдання 1. Виконати трансформацію геодезичних координат точки з СК 42 в WGS 84 за способом Молоденського.

Спосіб трансформації координат

М. С. Молоденського (спосіб п’яти параметрів) належить до точних способів перетворення координат.

Нехай задані дві геодезичні системи координат ГСК 1 і ГСК 2, що базуються на двох еліпсоїдах з паралельними осями. З кожним із цих еліпсоїдів зв’язана просторова прямокутна система координат, початок якої співпадає з центром відповідного еліпсоїда, а вісь − з віссю його обертання (полярною віссю). Координати центра еліпсоїда ГСК 2 відрізняються від координат центру еліпсоїда ГСК 1 на величини , , , які називаються лінійними елементами взаємного орієнтування. Нехай маємо точку з відомими геодезичними координатами в ГСК 1 і необхідно знайти її координати в ГСК 2. Спосіб Молоденського полягає в обчисленні поправок ΔB, ΔL, ΔH, які алгебраїчно додаються до координат , у результаті чого отримують шукані координати .

Виконаємо взаємне перетворення координат за способом Молоденського між системами СК 42 (поверхня віднесення – референц-еліпсоїд Ф. М. Красовського) і СК WGS 84 (поверхня віднесення – загальноземний еліпсоїд WGS 84). Система координат WGS 84 використовується в глобальній позиційній системі NAVSTAR GPS.

Послідовність розв’язання задачі

Поправки до координат обчислюються за наступними формулами:

де і – радіуси кривини меридіана та першого вертикала для широти .

У цих формулах індекс 1 відноситься до елементів, пов’язаних з референц-еліпсоїдом Красовського, а індекс 2 – з WGS 84. Наведемо значення необхідних параметрів:

Півосі еліпсоїда WGS 84, м	Лінійні елементи взаємного орієнтування WGS 84 відносно СК 42, м

Завдання 2. Виконати трансформацію геодезичних координат точки з WGS 84 в СК 42 за модифікованим способом Гельмерта.

Спосіб Гельмерта (спосіб сімох параметрів) є ітераційним і належить до високоточних способів перетворення координат.

Послідовність розв’язання задачі

У цій задачі індекс 1 відноситься до елементів, пов’язаних з глобальним земним еліпсоїдом WGS 84, а індекс 2 – з референц-еліпсоїдом Красовського

1.Обчислення просторових прямокутних координат точки в системі WGS 84:

.

Зауважимо, що тут  – квадрат першого ексцентриситету для еліпсоїда WGS 84.

2. Обчислення просторових прямокутних координат точки в СК 42:

,

де кути обертання в радіанах визначають із виразів:

,

а значення необхідних сімох параметрів переходу наведемо в таблиці:

Лінійні елементи взаємного орієнтування СК 42 відносно WGS 84, м	Кути обертання навколо осей , ,
Масштабний множник

Масштабний множник враховує різницю у відстанях на поверхнях еліпсоїдів.

3. Обчислення геодезичної довготи:

,

де  – проекція радіус-вектора точки на площину екватора.

Якщо , маємо східну довготу, а якщо , то західну.

4. Обчислення геодезичної широти. Широта обчислюється ітераційно, у початковому наближенні визначають значення:

.

Якщо , маємо північну широту, а якщо , то південну.

Наступні наближення виконують за формулою:

,

де , а значення радіуса кривини першого вертикалу і косинуса широти на і-му кроці обчислюють за значенням широти, отриманому на попередньому кроці.

Обчислення припиняють, коли . Значення , отримане на останньому кроці, приймають за остаточне.

5. Геодезичну висоту обчислюють за кінцевим значенням широти:

.

Використана література:

1. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек: ГОСТ Р 51794-2008. – [Дата издания 22.07.2009]. – М.: Стандартинформ, 2009. – 20 с. – (Национальный стандарт Российской Федерации).

2. Комаровский Ю.А. Использование различных референц-эллипсоидов в судовождении. Учебное пособие / Комаровский Ю.А. – [Изд. 2, перераб. и доп.]. – Владивосток: Мор. гос. ун-т, 2005. – 341 с.

3. Молоденский М. С. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли (Труды ЦНИИГАиК, вып. 131)  / Молоденский М. С, Еремеев В. Ф., Юркина М. И. – М.: Геодезиздат, 1960. – 251 с.

4. Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия: Учебник для вузов / Огородова Л. В. – М.: Геодезкартиздат, 2006. – 384 с.