Модуль 3 «Одновимірні випадкові величини»

1. Дискретні випадкові величини

Закон дискретної випадкової величини X – відсоткова зміна вартості акцій стосовно їх поточного курсу на протязі 4 місяців, заданий у табличній формі. Побудувати функцію розподілу F(x) і накреслити її графік. Обчислити (x). Чому дорівнює мода?

№1		1	2	3	5
		0,03	0,17	0,25	0,55
№2		1	3	4	5
		0,13	0,22	0,41	0,24
№3		1	3	5	7
		0,17	0,21	0,32	0,30
№4		1	3	4	5
		0,12	0,19	0,43	0,26
№5		1	3	4	5
		0,14	0,23	0,33	0,30
№6		1	4	5	7
		0,09	0,15	0,24	0,52
№7		1	2	3	7
		0,52	0,11	0,08	0,29
№8		1	3	5	8
		0,62	0,12	0,09	0,17
№9		1	2	6	8
		0,73	0,12	0,07	0,08
№10		1	4	5	9
		0,69	0,13	0,06	0,12

№11		1	3	4	10
		0,72	0,14	0,06	0,08
№12		1	5	10	15
		0,81	0,06	0,05	0,08
№13		1	2	4	6
		0,75	0,15	0,04	0,06
№14		1	3	7	9
		0,69	0,19	0,07	0,05
№15		1	3	4	5
		0,68	0,16	0,09	0,07
№16		1	2	6	9
		0,59	0,28	0,07	0,06
№17		1	4	5	7
		0,67	0,25	0,05	0,03
№18		1	2	5	9
		0,66	0,26	0,07	0,01
№19		1	3	8	10
		0,68	0,23	0,06	0,03
№20		1	4	7	10
		0,58	0,29	0,08	0,05

2. Неперервні випадкові величини

Випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу ймовірностіF(x).

Потрібно:

1) знайти диференціальну функцію (щільність ймовірності) р(x);

2) знайти ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення які належать інтервалу (α;β);

3) побудувати графіки функцій F(x) і р(x);

4) знайти математичне сподівання M(x), дисперсію D(x), середнє квадратичне відхилення (x) випадкової величини X;

5) знайти моду Мо;

6) знайти медіану Ме.

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

3. Основні закони дискретних випадкових величин (ДВВ)

1. На вихід у чвертьфінал на кубок УЕФА грає 16 команд, з яких 8 виходять у півфінал. Навмання обирається три команди. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – кількості команд, які вийдуть у півфінал з вибраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

2. У партії з 6 деталей є 4 стандартних. Навмання відібрано 3 деталі. Скласти закон розподілу ДВВ Х – числа стандартних деталей серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

3. У обмінному пункті валюти 15% старих купюр. Навмання відібрано при обміні 3 купюри. Скласти біноміальний закон розподілу ДВВ Х – числа старих купюр серед 3 відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

4. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність виходу з ладу елемента при одному включенні дорівнює 0,13. Скласти закон розподілу числа елементів, які відмовили в одному включенні та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

5. У лотереї «Спортлото» є 49 видів спорту. Намвання відмічено 5 видів спорту. Після того, як відправлено картку, проведено тираж 6 із 49. Якщо виявиться, що не менше 3 з них співпадає з тими, що занесені на картку, то є виграш. Скласти закон розподілу ймовірності виграшу та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

6. У партії телевізорів 10% мають хиби в налаштуванні якості та контрастності. Навмання вибирається 4 телевізори. Скласти біноміальний закон розподілу ДВВ Х – числа неналаштованих телевізорів серед 4 відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

7. Комплекс з виробництва деяких лікарських препаратів складається з 4 незалежно працюючих ліній. Ймовірність виходу з ладу кожної лінії протягом місяця дорівнює 0,05. Скласти закон розподілу числа ліній, що вийшли з ладу протягом місяця та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

8. Екзаменатор задає студенту додаткові запитання. Ймовірність того, що студент відповість на будь-яке задане питання, дорівнює 0,9. Викладач припиняє екзамен, як тільки студент не відповідає на запитання. Скласти біноміальний закон розподілу ДВВ Х – числа додаткових питань, які викладач задасть студенту та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

9. У комплекті є 6 коробок цукерок, з них 4 коробки з шоколадними цукерками. Навмання відібрано 3 коробки. Скласти закон розподілу числа коробок з шоколадними цукерками серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

10. Під час розіграшу призів на іподромі біжать 8 коней. З них 5, які можуть прийти першими до фінішу. Навмання обирається 3 коней. Скласти закон розподілу числа коней, що прийдуть першими до фінішу серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

11. Проводиться турнір з мініфутболу між командами країн СНГ, в якому приймає участь 7 команд, серед яких є 3 команди фаворити. Навмання відбирається 2 команди. Скласти закон розподілу числа команд, які можуть зайняти перші місця серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

12. У списку на посаду президента України внесено 15 осіб, з яких 4 особи, які можуть вийти в друге коло голосування. Навмання обирається 2 особи. Скласти закон розподілу осіб, які можуть вийти в друге коло із обраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

13. Пристрій складається з чотирьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність виходу з ладу елемента при одному включенні дорівнює 0,05. Скласти закон розподілу числа елементів, які відмовили в одному включенні та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

14. В обмінному пункті валют 20% нових купюр. Навмання відібрані при обміні 4 купюри. Скласти закон розподілу ДВВ Х – числа нових купюр серез 4 відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

15. Комплекс з виробництва соків складається з трьох незалежно працюючих ліній. Ймовірність виходу з ладу кожної лінії проятгом місяця дорівнює 0,15. Скласти закон розподілу числа ліній, що вийшли з ладу протягом місяця та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

16. Ткаля обслуговує 1500 веретен. Ймовірність обриву нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорівнює 0,002. Скласти закон розподілу ймовірності того, що протягом однієї хвилини обрив станеться на 4 веретенах та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

17. В рекламних цілях торгівельна фірма запаковує в кожну десяту одиницю товару грошовий приз у розмірі 100 гривень. Скласти закон розподілу ДВВ Х – розміру виграшу при 5 зроблених покупках та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

18. Клієнти банку, не пов’язані один з іншим, не повертають кредити у певний термін з ймовірністю 0,1. Скласти закон розподілу числа повернень у певний термін кредитів з 5 виданих та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

19. В урні є 12 кульок, з яких 8 чорних. Навмання вибирають 3 кульки. Скласти закон розподілу чорних кульок серед відібраних та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

20. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність виходу з ладу елемента при одному включенні дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, які відмовили в одному включенні та знайти математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, моду.

4. Нормальний розподіл

Середній курс акцій компанії протягом одних біржових торгів дорівнює а грн., середнє квадратичне відхилення (x) грн. Вважаючи, що середній курс акцій компанії – випадкова величина, що розподілена нормально, визначити: 1) % акцій, що мають курс в інтервалі (;);

2) імовірність того, що абсолютна величина відхилення виявиться менше.

№ варіанту	a				
1	15	2	9	19	4
2	15	3	8	17	3
3	14	4	10	20	6
4	14	5	13	18	5
5	13	4	11	21	8
6	13	2	10	19	4
7	12	5	9	18	10
8	12	3	12	20	6
9	11	4	13	22	8
10	11	2	9	17	6
11	10	4	2	13	8
12	10	5	8	15	10
13	9	3	9	18	6
14	9	5	5	14	10
15	8	4	8	12	8
16	8	1	4	9	2
17	7	2	6	10	4
18	7	4	3	10	8
19	6	2	4	12	6
20	6	3	2	11	6