Математическая статистика

S1. По выборке объема построена гистограмма частот

Тогда значение равно

• 17

• 66

• 15

• 16

Решение: Составим уравнение, связывающее объем выборки с данными частот:

S2. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид , средние квадратические отклонения. Тогда коэффициент корреляции равен

• 

• 

• 

• 

Решение: Для линейной регрессии коэффициент корреляции выражается формулой.

S3. Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза

• 

• 

• 

• 

Решение: Конкурирующая гипотеза не должна пересекаться с гипотезой. Из предложенных вариантов лишь втораяисключает.

S4. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Интервальная оценка математического ожидания для нормального распределения имеет вид. Следовательно, достаточно убедиться, что центром (серединой) из предложенных интервалов является. Второй вариант удовлетворяет такой структуре:.

S5. Дана выборка объема . Если каждый элемент объема выборки увеличить в 2 раза, то выборочная дисперсия

• Не изменится

• Увеличится в 2 раза

• Увеличится в 4 раза

• Уменьшится в 2 раза

Решение: Из свойства дисперсии заключаем, что дисперсия увеличится в 4 раза:.

Замечание. Для выборочного среднего увеличение произойдет в 2 раза, т.к. .

S6. Мода вариационного ряда 1, 4, 4, 5, 6, 8, 9 равна

• 4

• 5

• 9

• 1

Решение: Модой называют значение признака, наиболее часто повторяющееся в ряду. В данном случае .

S7. Медиана вариационного ряда 1, 4, 4, 5, 6, 8, 9 равна

• 4

• 5

• 9

• 1

Решение: Медианой называют серединное значение признака, наблюдающееся в ряду. (Но не среднее значение признака ряда!). А именно:

1. для нечетного количества членов ряда (наш случай ) серединный член имеет номер, следовательно, медиана;

Замечание. 2) для четного количества членов ряда, например 1, 4, 4, 5, 6, 8 медиану вычисляют как среднее арифметическое (см. ряд).

Экономические приложения

E1. Дана функция полезности , тогда кривая безразличия задается уравнением

• 

• 

• 

• 

Решение: Линия, соединяющая потребительские наборы , имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей потребителя, называетсялинией безразличия (изоквантой). Кривая безразличия имеет вид и в данном случае. Таким образом, правильным является ответ:.

Е2. Дана функция спроса и предложения, гдецена товара. Тогда равновесный объем «спроса-предложения»равен

• 

• 

• 

• 

Решение: Равновесный объем «спрос-предложение» имеет место лишь при равновесной цене товара. Тогда из равенства находим равновесную цену:. Решая квадратное уравнение, находим единственный положительный корень. Подставляя в функцию спроса или предложения, получим:.

Е3. Дана функция спроса и предложения, гдецена товара. Тогда равновесная цена равна

• 

• 

• 

• 

Решение: Равновесная цена устанавливается на товар при равенстве «спрос – предложение», т.е.. Находим равновесную цену:. Решая квадратное уравнение, находим единственный положительный корень .

Е4. Производственная функция задается как , гдекапитал, атруд. Тогда предельный продукт трудаприиравен

• 

• 

• 

• 

Решение: Для нахождения предельного продукта необходимо продифференцировать выражение для производственной функции по труду в общем виде:и, подставляя численные значения труда и капитала, получим: .

Е6. Функция полезности потребителя имеет вид . Цена на благоравна, на благоравна, доход потребления. Тогда оптимальный набор благ потребителя имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Обозначим x и y как количество приобретаемых благ, тогда формализованная задача будет иметь следующий вид:

Бюджетное ограничение будет выполняться как равенство и можно решать данную задачу с помощью метода Лагранжа на поиск условного экстремума при связи . Запишем функцию Лагранжа , вычислим частные производные, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Из первого и второго уравнения системы выражаем l и приравниваем выражения:

.

Подставив последнее равенство в третье уравнение системы, получим:. Вектор является вектором спроса потребителя на товары и максимизирует функцию полезности.

Е7. Зависимость между издержками производства и объемом продукциивыражается функцией. Тогда предельные издержкипри объеме производстваравны

• 

• 

• 

• 

Решение: Для нахождения предельных издержек необходимо продифференцировать выражение для функции зависимости издержек производства от объема выпускаемой продукции в общем виде: и, подставляя численное значение Q=10, получим:.