Математический анализ

М1. Количество целых значений из области определения функцииравно

• 5

• 4

• 6

• 3

Решение: ОДЗ: . Целых значений на области 5 штук.

М2. Значение производной функции в точкеравно

• 

• 2

• -2

• 0

Решение: . Подставляя, получим:.

М3. На рисунке

изображен график функции , заданной на интервале. Тогда на этом интервале выполняются неравенства

• 

• 

• 

• 

Решение: 1) график расположен выше оси , следовательно,;

2) функция на интервале убывает, следовательно, ;

3) приведенная функция является выпуклой, т.к. график лежит выше касательных, проведенных в любой точке интервала , что означаетили ассоциативное правило: график похож на часть улыбки «».

Замечание. Для вогнутости () график лежит ниже любой касательной или похож на часть недовольного смайлика «».

М4. Первообразными функции являются

• 

• 

• 

• 

Решение: Вычислим неопределенный интеграл , который является совокупностью всех первообразных:

.

Сравнивая предложенные варианты ответов, приходим к выводу, что верными являются первый и третий варианты.

Замечание. Можно было бы продифференцировать каждый из предложенных ответов и сравнить с исходной (подинтегральной) функцией .

М5.Если ,, то интегралравен

Решение: Используем линейные свойства определенного интеграла: . Далее подставим данные значения интегралов и получим:

М6.Положительный корень уравненияравен

Решение: Вычислим несобственный интеграл с переменным нижним пределом:

.

Приравнивая интеграл к , получим уравнение:, т.е.(положительный).

М7. Предел равен

• 

• 

• 

• 0

Решение: .

Замечание. Ответ можно было бы дать устно, т.к. на бесконечности можно оставить только слагаемые старших степеней: .

М8. Дана функция , тогда областью её значений является

• 

• 

• 

• 

Решение: Найдем область определения функции: , т.е.. Далее вычислим производную функции. На луче(функция убывает), а на луче(функция возрастает). Следовательно, минимальное значение функции может достигаться в точкахили:. Максимального значения функция не достигает, т.к. прифункциятакже стремится к. Верным ответом является.

М9. Производная частного равна

• 

• 

• 

• 

Решение: .

М10. Дан график производной непрерывной функции, заданной на

Тогда эта функция принимает наименьшее значение

• в точке 1

• в точках 1 и -1 одновременно

• в точке -1

• в точке 0

Решение: На рисунке представлен график производной функции , причем, производная отрицательна. Следовательно, сама функцияубывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньше значение функции. Таким образом, наименьшее значение достигается в наибольшем аргументе.

М11. Множество первообразных функции имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: .

М12. Установите соответствие между неопределенным интегралом и разложением подынтегральной функции на элементарные дроби:

○ ○

○ ○

○ ○

○ ○

○

○

Решение: Приведем общий вид разложения правильной рациональной функции на элементарные дроби:

1) для случая простого корня

2) для случая неразложимого квадрата

Применяя правило, получаем:

М13. Областью интегрирования повторного интеграла является прямоугольник

Решение: Из пределов интегрирования находим, что, а, что соответствует прямоугольной области, изображенной на первом рисунке.

М14. Минимум функции при условии связиравен

• 

• 

• 

• 

Решение: Выразим из условия связи:и подставим в функцию:. Найдем минимум функции исследуя её производную. А именно,. Далее. Знак производной

Следовательно, в точке функция имеет минимум (локальный). Значение минимума равно.

М15. Наклонной асимптотой графика функции является

• 

• не имеет асимптоты

• 

• 

Решение: В данном случае уравнение асимптоты легко получить, выделив целую часть «делением в столбик»:

. Целая часть и является асимптотой графика при , т.е..

Замечание. В общем случае уравнения асимптот прик графику функциинаходятся по формулами. Причем, в формулах понимаются различные пределы прии, что может соответствовать различным асимптотам.

М16. Значение интеграла равно

• 

• 

• 

• 

Решение:

М17. Площадь области, ограниченная линиями , вычисляется как повторный интеграл

• 

• 

• 

• 

Решение: Изобразим график области D:

Тогда . Первый интеграл (внешний) по переменнойимеет пределы отдосогласно рисунку. Второй интеграл (внутренний) по переменнойимеет пределы от «нижней» функции (в данном случае) до «верхней» (.

М18. Общий член последовательности имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Вычислим с помощью первой формулы. Следовательно, первый ответ неверный. Поступая аналогично с другими вариантами ответов, получаем, что лишь третья формула даёт верные ответы дляи.

М19. Корень уравнения равен

• 

• 

• 

• 

Решение: Подставляя поочередно предложенные корни, приходим, что верным является лишь .

М20. Числовой ряд сходится при всех, удовлетворяющих

• 

• 

• 

• 

Решение: Обобщённый гармонический ряд сходится прии расходится при. Из условия задачи заключаем, что рядсходится при.

М21. Сумма числового ряда равна

• 

• 

• 

• 

Решение: Сумма геометрической прогрессии , при. В нашем случае, следовательно,.

М22. Укажите правильное утверждение относительно сходимости знакочередющихся рядов А) и В).

• А и В сходятся условно

• А сходится абсолютно, В – расходится

• А сходится абсолютно, В – условно

• А и В сходятся абсолютно

Решение: Исследуем сходимость каждого ряда

А) 1) Абсолютная сходимость. По второй теореме сравнения (предельной) заключаем, что- обобщенный гармонический ряд ссходится. Следовательно, ряд сходится абсолютно.

В) . 1) Абсолютная сходимость. Данный ряд является обобщенным гармоническим с параметром- расходится; 2) Условная сходимость. Применим признак Лейбница для знакочередующегося ряда:(необходимое условие сходимости выполнено) и(члены ряда монотонно убывают), следовательно ряд сходится. В итоге заключаем, что ряд сходится условно.

М23. Область сходимости степенного ряда имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: .

1) - радиус сходимости;

2) - интервал сходимости;

3) Проверим концевые точки интервала

Подставим в исходный ряд и получим:. Такой ряд расходится, т.к. члены ряда 1, -1, 1, -1,.. не стремятся к нулю (нарушено необходимое условие сходимости);

Аналогично получаем - также расходится, т.к. 1, 1, 1,.. не стремятся к нулю.

В итоге заключаем, что область сходимости имеет вид .

М24. Применяя признак Даламбера к ряду, установить верное утверждение

• ряд расходится

• ряд расходится

• ряд сходится

• ряд сходится

Решение: В данном случае . Подставляя в признак Даламбера, получаем:

Если ряд сходится, еслиряд расходится. Припризнак Даламбера оказывается неприменим, т.к. вопрос о сходимости остаётся открытым. В нашем случаеряд сходится.

М25. Уравнение является

• Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

• Уравнением с разделяющимися переменными

• Однородным дифференциальным уравнением

• Уравнением Бернулли

Решение: Данное уравнение может быть приведено к виду , следовательно, оно является однородным дифференциальным уравнением.

Замечание. 1) Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка является ; 2) Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид; 3) Уравнением Бернулли называется.

М26. Дано дифференциальное равнение . Тогда его решением является

• 

• 

• 

• 

Решение: Данное уравнение можно было бы решить методом разделения переменных, вычислив , однако предложенные варианты ответов нетрудно просто подставить в исходное уравнение. Верным окажется, т.к.и- верно.

М27. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Вычислим в методе разделения переменных . А именно:и. Оставляя константу в правой части, в итоге получаем.

М28. Частное решение неоднородного дифференциального равнения II порядка имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Напомним, что общее решение такого уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решениянеоднородного (исходного) уравнении. Продемонстрируем эту схему решения:

1. Однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение, откудаи;

2. Неоднородное уравнение . Частное решение подбирается по следующему правилу: многочлен, наблюдающийся в правой части, записывается в общем видеи полученная конструкция умножается настолько раз, сколько раз коэффициент при, стоящий в экспоненте правой части, присутствует в найденных ранее. В данном случае. т.е. надомножать не требуется.

В итоге .

М29. Частное решение неоднородного дифференциального равнения II порядка имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Действуя аналогично примеру М27, получим

1. Однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение, откудаи;

2. Неоднородное уравнение. Частное решение: многочлен, наблюдающийся в правой части, записывается в общем видеи полученная конструкция умножается настолько раз, сколько раз коэффициент при, стоящий в экспоненте правой части, присутствует в найденных ранее. В данном случае. т.е. надомножать не требуется.

В итоге . Обозначение констант не играет роли и, сравнивая с вариантами ответов, приходим к заключению, что истинен третий.

М30. Интегральная кривая дифференциального уравнения I порядка , удовлетворяющая условию, имеет вид

• 

• 

• 

• 

Решение: Сначала выясним какие варианты удовлетворяют начальному условию. Для этого подставим в каждое уравнение и. Верными окзываются первый и третий варианты ответов. Далее заменими, после разнесения переменных, проинтегрируем:. Уже после вычисления левого интеграластановится ясно, что третий вариант ответа не может быть верным.

М31. Семейству интегральных кривых соответствует линейное однородное дифференциальное уравнениеII порядка

• 

• 

• 

• 

Решение: составим характеристические уравнения для предложенных ответов (за исключением первого, т.к. данное уравнение не является однородным из-за свободного слагаемого ):

верно.