7.Системы счисления. Непозиционные системы счисления

"Все есть число" - так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел. Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Известно множество способов представления чисел. Число изображается символом или группой символов некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами.

     Цифры - это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит.

Что же такое число?       Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от предметов пересчета и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять и единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине.     Число - это некоторая величина.       Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны. Сегодня мы их называем системами счисления.

     Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.       Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционные системы счисления появились раньше позиционных. Последние являются результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и тоже число, независимо от позиции, в которой он находится. Самой распространенной непозиционной системой счисления является римская система счисления.

I – 1,V- 5,L – 50,C – 100,D – 500,M – 1000,

Математиками сформулировано правило, что все остальные числа получаются путем сложения или вычитания. 60=50+10=LX

Римскими цифрами пользовались очень долго, сегодня они используются в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

8. Системы счисления. Позиционные система счисления

Большое количество недостатков непозиционных систем счисления привело людей к открытию позиционного принципа. Системы счисления, основанные на позиционном принципе возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилоне), у племени Майя и в Индии.

      В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков для единицы, и для десятка. Современная десятичная система счисления возникла приблизительтно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия - цифры "0" для обозначения отсутствующей величины.       Индийцы познакомились с греческой и вавилонской системой счисления примерно между II и VI вв н.э. В это время индийцы использовали десятичную мультипликативную систему счисления. Они соединили ее с принципами нумерации чисел греческих астрономов.       С возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы и завезли эту систему в Европу. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называют арабскими.

Современные позиционные системы

     Позиционные системы счисления - это системы, в которых количественные значения цифр, используемых для записи чисел, зависят от их положения.

      Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восмеричная и шестнадцатиричная.

      Основными характеристиками позиционной системы счисления являются алфавит цифр и основание.  

     Алфавит системы счисления - это совокупность всех цифр, используемых в системе счисления.      Основание системы счисления – количество цифр, используемое для представления чисел.      Основанием может быть любое натуральное число.

В позиционных системах счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от позиции занимаемой этим знаком в записи числа. Например, запись «5555» в десятичной системе счисления обозначает число «пять

тысяч пятьсот пятьдесят пять» с помощью одного знака, одной цифры 5, повторенной четыре раза, и каждая из этих четырех пятерок обозначает число, отличное от других, в зависимости от позиции знака 5 в этой записи: крайняя правая - число пять, вторая справа - число пятьдесят, третья справа - число пятьсот и, наконец, первая слева - число пять тысяч.