Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе,выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример 2

Найти скалярное произведение векторов: а) и, если даны точки

Решение:Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана.

По формуле вычислим скалярное произведение:

К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами является острым.

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы иортогональны тогда и только тогда, когда. В координатах данный факт запишется следующим образом:

Пример 3

а) Проверить ортогональность векторов: иРешение: а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение:, следовательно,

Обратите внимание на два существенных момента:

– В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.

Ответ: а),

Пример 4

При каком значении векторыбудут ортогональны?

Решение: По условию требуется найтитакоезначение параметра, чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространстваортогональны тогда и только тогда, когда.

Дело за малым, составим уравнение:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Решаем простейшее линейное уравнение:

Ответ:приВ рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторыподставляем полученное значение параметра:

И находим скалярное произведение: – да, действительно, привекторыортогональны, что и требовалось проверить.

ПРАКТИКУМ 5

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат вектораравна …

Решение:Напоминаем, что каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем. Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда векторСумма координат полученного вектора равна

  ЗАДАНИЕ N 2Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат вектораравна …

Решение:Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем. Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда векторСумма координат полученного вектора равна

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат вектораравна …

Решение:Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем. Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда векторСумма координат полученного вектора равна

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …

Решение:Еслито угол между векторами равен 90^○, значит, по определениюНапоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатамии, выражается формулой:Найдемтогдаоткуда

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …

Решение:Еслито угол между векторами равен 90^○, значит, по определениюНапоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатамии, выражается формулой:Найдемтогдаоткуда

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …

Решение:Еслито угол между векторами равен 90^○, значит, по определениюНапоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатамии, выражается формулой:Найдемтогдаоткуда

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат вектораравна …

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат вектораравна …

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат вектораравна …

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Линейные операции над векторамиДаны векторыи. Тогда сумма координат

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …

ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …

ЗАДАНИЕ N 7Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …

ЗАДАНИЕ N 8Тема: Скалярное произведение векторовВекторы заданы своими координатами:иЕсли, тоkравно …