Тема 18 тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме конспект 18.

18.1 Тригонометрическая форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:, где– этомодуль комплексного числа, а–аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:

Напоминаю, модулем комплексного числаназывается расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любыхзначений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числаназываетсяугол междуположительной полуосьюдействительной осии радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: .Внимание!Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 1

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:

Запомним намертво, модуль – длина(которая всегданеотрицательна), аргумент –угол.

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Проверка:

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:

18.2 ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Частное комплексных чисел

Произведение комплексных чисел

Возведение комплексных чисел в степень

формула Муавра

Пример 2

найти.

 

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря,  нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе:оборотов, в данном случае можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

ПРАКТИКУМ 18

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

Решение:Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи необходимо найти его модуль и аргумент. Используя формулу, где– действительная, а– мнимая часть комплексного числа, получим:По формуламинайдем аргументкомплексного числа. Обращаем внимание, что под аргументомпонимается его главное значение, то есть значение, удовлетворяющее условиюТак кактоЗная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет видполучим:

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаПроизведение комплексных чиселиравно …

Решение:Воспользуемся формулой:Получим:

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

Решение:Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи необходимо найти его модуль и аргумент. Заметим, что мнимая часть данного комплексного числа равна нулю, поэтомуТочка, изображающая это число, принадлежит положительной части действительной оси, значит,Зная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет видполучим:

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …

Решение:Воспользуемся формулой:Получим:

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаСтепень комплексного числаравна …

Решение:Согласно формуле Муавранаходим:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 18

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаСтепень комплексного числаравна …

ЗАДАНИЕ N 2Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 6Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …

ЗАДАНИЕ N 7Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

 

ЗАДАНИЕ N 8Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаСтепень комплексного числаравна …

ЗАДАНИЕ N 9Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

ЗАДАНИЕ N 10Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

ЗАДАНИЕ N 11Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаЧастноекомплексных чиселиравно …

ЗАДАНИЕ N 12Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

ЗАДАНИЕ N 13Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числаимеет вид …

ЗАДАНИЕ N 14Тема: Тригонометрическая форма комплексного числаПроизведение комплексных чиселиравно …