Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 2
Найти
неопределенный интеграл.
Идея
метода замены состоит в том, чтобы
сложное выражение (или некоторую
функцию) заменить одной буквой.В
данном случае напрашивается:
Вторая
по популярности буква для замены – это
буква
.
В
принципе, можно использовать и другие
буквы, но мы всё-таки будем придерживаться
традиций.
Итак:
Но
при замене у нас остаётся
!
Наверное, многие догадались, что если
осуществляется переход к новой переменной
,
то в новом интеграле всё должно быть
выражено через букву
,
и дифференциалу
там
совсем не место.
Следует логичный
вывод, что
нужнопревратить в некоторое выражение,
которое зависит только от
.
Действие
следующее. После того, как мы подобрали
замену, в данном примере,
,
нам нужно найти дифференциал
.
Так как
,
то
После
разборок с дифференциалом окончательный
результат рекомендую переписать
максимально коротко:
Теперь
по правилам пропорции выражаем нужный
нам
:
В
итоге:
Таким
образом:
А
это уже самый что ни на есть табличный
интеграл
(таблица,
интегралов, естественно, справедлива
и для переменной
).
В
заключении осталось провести обратную
замену. Вспоминаем, что
.
Готово.
11.3 ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
ПРАКТИКУМ 11
ЗАДАНИЕ N 1Тема:
Неопределенный интегралНеопределенный
интеграл
равен …
Решение:Напоминаем, что интеграл
суммы двух функций равен сумме интегралов
этих функций
и
постоянный множитель можно выносить
за знак неопределенного интеграла:
Тогда,
используя формулу
,
получим:
ЗАДАНИЕ N 2Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
Решение:Подстановка
приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Найдем
дифференциал от обеих частей подстановки:
,
тогда
Подставим
получившиеся выражения в исходный
интеграл:
Заменив
его
выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 3Тема:
Неопределенный интеграл
…
Решение:Напоминаем, что интеграл
разности двух функций равен разности
интегралов этих функций
и
постоянный множитель можно выносить
за знак неопределенного интеграла:
Тогда,
используя формулу
,
получим:
ЗАДАНИЕ N 4Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
Решение:Подстановка
приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Найдем
дифференциал от обеих частей подстановки:
,
тогда
Подставим
получившиеся выражения в исходный
интеграл:
Заменив
его
выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 5Тема:
Неопределенный интегралНеопределенный
интеграл
равен …
Решение:Напоминаем, что постоянный
множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла:
Тогда,
используя формулу
,
получим:
ЗАДАНИЕ N 6Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
Решение:Подстановка
приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Найдем
дифференциал от обеих частей подстановки:
,
тогда
Подставим
получившиеся выражения в исходный
интеграл:
Заменив
его
выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 7Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
Решение:Подстановка
приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Найдем
дифференциал от обеих частей подстановки:
,
тогда
Подставим
получившиеся выражения в исходный
интеграл:
Заменив
его
выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 8Тема:
Неопределенный интеграл
…
Решение:Напоминаем, что интеграл
суммы двух функций равен сумме интегралов
этих функций
и
постоянный множитель можно выносить
за знак неопределенного интеграла:
Тогда,
используя формулу
,
получим:
ЗАДАНИЕ N 9Тема:
Методы вычисления неопределенных
интеграловНеопределенный интеграл
равен …
Решение:Обращаем внимание, что
подстановка
приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Найдем
дифференциал от обеих частей подстановки:
,
тогда
Подставим
получившиеся выражения в исходный
интеграл:
Заменив
его
выражением из подстановки, получим:
ЗАДАНИЕ N 10Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
Решение:Подстановка
приводит
рассматриваемый интеграл к табличному:
Найдем
дифференциал от обеих частей подстановки:
,
тогда
Подставим
получившиеся выражения в исходный
интеграл:
Заменив
его
выражением из подстановки, получим:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 11
ЗАДАНИЕ N 1Тема:
Неопределенный интеграл
…
ЗАДАНИЕ N 2Тема:
Неопределенный интеграл
…
ЗАДАНИЕ N 3Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
ЗАДАНИЕ N 4Тема:
Неопределенный интеграл
…
ЗАДАНИЕ N 5Тема:
Методы вычисления неопределенных
интеграловНеопределенный
интеграл
равен …
ЗАДАНИЕ N 6Тема:
Неопределенный интеграл
…
ЗАДАНИЕ N 7Тема:
Методы вычисления неопределенных
интегралов
…
ЗАДАНИЕ N 8Тема:
Неопределенный интегралНеопределенный
интеграл
равен …ЗАДАНИЕ
N 9 Тема: Неопределенный интеграл
ЗАДАНИЕ N 10 Тема:
Неопределенный интеграл
…