6. Графические методы обработки результатов измерений в физическом эксперименте

6.1. Назначение графиков в физическом эксперименте. Получив результаты измерений, можно представить их графически. Построение графиков преследует несколько целей.

1. Они могут служить простой иллюстрацией изучаемой зависимости. По полученному графику можно качественно (иногда и количественно) установить вид зависимости (линейная, квадратичная и т.д.).

2

Рис.7

. Графики используют для нахождения исследуемой величины. Например, имея график зависимости силы тока от напряжения (рис.7), можно найти сопротивление проводника. Для этого выбирают на графике две произвольные точки (1 и 2), опускают перпендикуляры на координатные оси; находят значенияI и U и рассчитывают сопротивление по формуле:

Рис.8

В силу пропорциональной зависимости тока и напряжения (график – прямая), расчет сопротивления можно ограничить для одной пары точек.

3. Графики могут служить средством математической обработки результатов измерений в физическом эксперименте. Графическое представление результатов измерений позволяет не только наглядно представить изучаемую зависимость, а также обнаружить ошибочные результаты.

Анализируя график зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния центра масс до точки подвеса (рис.8), видим, что эта зависимость нелинейная: по мере уменьшения расстояния период колебаний убывает; при некотором значении L₀ он принимает минимальное значение T_min. При дальнейшем уменьшении этого расстояния (L < L₀) период возрастает сначала плавно (левая часть кривой симметрична правой), а затем резко возрастает, стремясь к бесконечности при L0. Кроме того, из графика видно, что большинство точек лежат вокруг полученной кривой, а одна точка (на графике обведена кружком) «выпала» из этого ряда точек. По-видимому, при измерении была допущена ошибка. Рекомендуется тщательно провести проверку в окрестности этой точки и внести корректировку при записи результата.

Рис.9

Если многократные опыты показывают, что ошибки нет (получается примерно одно и тоже), тогда делают вывод, что в этой области наблюдается некоторая особенность. Например, при исследовании рентгеновского спектра обнаружили, что всегда на одних и тех частотах наблюдаются «пики» интенсивности. В результате таких наблюдений был сделан вывод, что в некотором диапазоне частот рентгеновский спектр имеет линейчатый характер, характерный для данного материала анода (рис.9).

Рис.10

4. Наконец, графики можно использовать для оценки погрешности измерений исследуемой величины У (рис.10). Если известна абсолютная погрешностьХ прямых измерений (можно оценить по формуле Стьюдента), ее откладывают на оси Х (в масштабе) и проводят перпендикуляры из концов отрезка Х до пересечения с графиком; затем из полученных точек 1 и 2 опускают перпендикуляры на ось У и находят значение У. Если отклонения точек от линии графика не превышают У, то считают результаты измерений удовлетворительными. Если же точки отстоят от кривой более, чем на Х (рис.10), их считают ошибочными (точка 3).

6.2. Правила построения графиков. При построении графиков следует придерживаться некоторых стандартных правил. Во-первых, графики следует строить на миллиметровой бумаге с соблюдением требования ГОСТа.

1. Построение графиков начинают с выбора координатных осей. При этом следует помнить, что значение функции У(Х) следует откладывать по оси ординат, а значение аргумента Х – по оси абсцисс.

Например, при исследовании зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния точки подвеса до центра масс: Т=Т(L) по оси ординат откладывают значение периода Т, а по оси абсцисс расстояние L (рис.8). При изучении зависимости длины металлического стержня от температуры: по оси ординат откладывают длинустержня, а по оси абсцисс – параметр, от которого зависит длина, т.е. температуруt (рис.11).

Рис.11

2. Вобозначение осей выносится не только сама исследуемая величина, но и единица ее измерения (рис.7, рис.8). Иногда еще выносят общий множитель, определяющий порядок числа (рис.11).

3. При построении графиков очень важно выбрать удобный масштаб. При этом он может быть разным по оси абсцисс и оси ординат, но обязательно кратным числам 0,1; 0,5; 1; 5; 10 и т.д., но ни в коем случае нельзя допускать, чтобы «цена деления» 1 мм составляла бы 0,33; …; 7,5; 9 и т.п.

Кроме того, на координатные оси следует н

Рис.12

аносить только точки соответствующие выбранному масштабу, например, 20⁰; 30⁰; 40⁰ по оси абсцисс и 16,0; 16,2; 16,4 и т.д – по оси ординат (рис.11). Промежуточные значения (в нашем примере t⁰=22⁰С, 57⁰С и т.д.) на оси координат не наносят. Их просто откладывают в выбранном масштабе, не записывая на чертеже.

4. Масштаб следует выбирать так, чтобы макси-мально использовать площадь чертежа (сравните рис.11 и рис.12). На рис.11 изображен график зависимости =(t⁰) с соблюдением выше указанных требований, а на рис.12 эти требования не соблюдались. Поэтому второй график построен неверно!

5. При нанесении экспериментальных точек на чертеж необходимо использовать условные значки (точки, крестики, кружочки). Особенно это важно, когда на одном чертеже строят несколько графиков (рис.13). Тогда точки, относящиеся к одно линии, обозначают, например, «точками», а к другой - «крестиками». В этом случае можно использовать также цветные карандаши: один график проводить одним цветом, второй – другим. Точки в этом случае можно обозначать одинаково.

6. При нанесении точек на чертеж не следует его загромождать никакими вспомогательными линиями и делать ненужных отметок, поясняющих построение графика, так как это будет мешать при анализе графика, особенно, если график используют в дальнейшем для нахождения какой-либо физической величины.

Рис.13

Рис.14

7. Всякие измерения всегда сопряжены с погрешностями, которые могут возникать в силу различных причин. Поэтому экспериментальные точки ложатся на чертеж с некоторым разбросом. В физике при построении таких графиков используют методсглаживания зависимости: линию проводят плавную, следуя ходу большинства точек на чертеже, но так, чтобы эти точки располагались как выше, так и ниже кривой (рис.8, рис.10).

Точки, полученные в разных условиях (при нагревании, охлаждении проводника, при изменении нагрузки, при измерениях в разные моменты времени и т.д.), также рекомендуется наносить, используя различные значки (или разный цвет). Например, на рис.13 приведен график зависимости сопротивления металла от температуры, на который нанесены точки, полученные при нагревании (нижняя прямая) и при охлаждении (верхняя прямая). Эту же зависимость можно получить, откладывая средние значения сопротивлений: <R>=(R_нагр + +R_охл)/2. Зависимость также получится линейная, но разброс в значениях <R> увеличится (рис.14).

График на рис.13 можно более детально проанализировать, так как он содержит больше информации, чем график на рис.14.

Рис.16

8. При построении графиков следует стремиться к тому, чтобы сложную (нелинейную) зависимость свести к более простой, линейной зависимости. Этого можно добиться, если по осям откладывать не исследуемые величины, а их функции (квадраты, логарифмы, обратные величины и т.п.)

Рис.15

Например, при изучении зависимости сопротивления полупроводника от температуры можно построить графики двух видовR=R(T) и ln R=f(1/T). В первом случае получится график в виде экспоненты (рис.15), т.к. зависимость R(T) для полупроводника имеет вид:

, (16)

где W_a – энергия активации, k – постоянная Больцмана; а во втором случае – прямая (рис.16). Прологарифмируем выражение (16), получим

.

Учитывая, что R₀, W_a, k – величины постоянные, перепишем последнее соотношение в виде:

, (17)

т.е. lnR1/Т. Поэтому, отложив по осям координат величины lnR и 1/Т, получим график в виде прямой (рис.16).

Другой пример. Зависимость момента инерции вращающегося тела от расстояния центра масс до оси вращения имеет вид: I = I₀+mr², т.е. если откладывать по осям значение момента инерции I и расстояния r, то получится кривая второго порядка (рис.17). Если же по оси абсцисс отложить r², то зависимость I(r²) будет линейной (рис.18).

Рис.17

Рис.18

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Измерения физических величин; выбор единиц измерения; виды измерений.

2. Точность прямых и косвенных измерений. Цена деления шкалы измерительного прибора и предел измерения. Класс точности прибора.

3. Абсолютная и относительная погрешности измерений. Классификация погрешностей: грубые, систематические, инструментальные (приборные) и случайные погрешности. Причины их возникновения. Меры устранения или уменьшения ошибок.

4. Связь приборной и случайной погрешностей. Средняя квадратичная погрешность.

5. Закон распределения случайных величин (закон Гаусса), его характерные свойства.

6. Доверительная надежность и доверительный интервал. Стандартная квадратичная погрешность.

7. Формула случайной абсолютной погрешности (формула Стьюдента). Коэффициент Стьюдента.

8. Методика математической обработки случайных величин. Гистограмма.

9. Правила обработки прямых и косвенных измерений. Правила округления абсолютной погрешности и окончательного результата. Форма записи окончательного результата: Х=<Х>Х, ее физический смысл.

10. Абсолютная погрешность физических констант.

11. Представить окончательный результат в виде: Х=<Х>  Х

а) <>=284,46 м/с – скорость пули; =1,38 м/с

б) <g>=9,729 м/с² – ускорение силы тяжести; g=0,127 м/с²

в) <I>=0,03042 кгм² – момент инерции тела; I=0,0045 кгм²

г) <>=337,282 м/с – скорость звука; =17,618 м/с.

12. Указать, в каких примерах результат записан верно, а в каких – неверно. Последние запишите правильно.

а) 52,74  0,3; б) 4,740  0,007; в) 351  8; г) 9,78  0,03;

д) 4370  50; е) 350  38.

13. Назначение графиков в физическом эксперименте. Правила построения графиков. Использование графиков для математической обработки результатов измерения.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.:Высшая школа, 1989.

2. Лабораторные работы по физике./Под ред. Гольдина Л.Л. –М.:Наука, 1989.

3. Эссаулова И.А. и др. Руководство к лабораторным работам по физике. –М.:Высшая школа, 1983.

4. Механика. Акустика. Метод. указания к лабораторным работам./Составитель: Лесникова В.Г., Стреж В.В. – Красноярск, 1996.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Цель работы:а) измерение сопротивления резисторов с помощью омметра;

б) изучение закономерностей распределения случайных величин на примере измерения сопротивления резисторов;

в) изучение статистических методов обработки результатов измерений случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения.

Оборудование:набор резисторов одного номинала (не менее 20 штук); омметр.

Рис.19

Результат измерения величин зависит от многих факторов, влияние которых заранее учесть нельзя; поэтому значения, полученные в физическом эксперименте, являются случайными. Если число измерений одной и той же величины достаточно велико, то можно обнаружить некоторую закономерность в распределении случайных величин, что является целью данной лабораторной работы.

Рассмотрим методику работы со случайными величинами. Пусть в результате прямых измерений получили статистический ряд значений исследуемой величины:

Х₁, Х₂, …, Х_n. Далее поступаем согласно метода, рассмотренного выше (§4.6). 1) Статистический ряд значений записываем в упорядоченном виде (по мере возрастания от Х_minдо Х_max). Весь диапазон [Х_min, Х_max] разбиваем на несколько одинаковых интервалов шириной

Х’=(Х_max- Х_min)/К, где К – число интервалов. 3) Подсчитываем числоmпопаданий случайных величин в каждый из интервалов. 4) По полученным данным строим гистограмму (рис.19), принимая за основание прямоугольника ширину интервалаХ’, а за его высоту - числоmпопаданий случайных величин в каждый интервал.

Как показывает опыт, максимальное число попаданий обнаруживается в окрестности точки Х = <X> (где <X> - среднее арифметическое значение всех случайных величин) – на рис. 19 заштрихованная область.

Преобразовав формулу (8), нормальный закон распределения случайных величин (закон Гаусса) представим в виде:

, (1-1)

где функция f(Z_i) равна

; (1-2)

параметр Z_iсоответственно равен

(1-3)

Рис.20

ПараметрZ_iрассчитываем, исходя из полученных экспериментальных данных по формуле (1-3), а значение функцииf(Z_i) находим из табл.11. Затем по формуле (1-1) находим функцию распределенияf(X_i) для каждого опыта и строим кривую распределения (рис.20). При этом рекомендуется по оси абсцисс выбирать такой же масштаб, как и при построении гистограммы. Это позволит более детально сделать анализ полученных результатов. При этом обнаруживается, что максимум функции распределения приходится на значение Х_вер, называемое наиболее вероятным значением случайной величины, которое совпадает со средним значением: <X>Х_вер.

Изучение закона распределения случайных величин в данной работе предлагается провести на примере измерения сопротивлений большого числа резисторов одного номинала (не менее 20) с помощью омметра. Случайной величиной является сопротивление резистора.

Несмотря на то, что используются резисторы одного номинала, при измерениях обнаруживается некоторый разброс в значениях.

Для удобства работы все резисторы смонтированы на одной панели. Электрическая схема установки приведена на рис.21. Провод 1 соединяет концы всех резисторов, который подключают к омметру. Другой провод 2 подключен одним концом к омметру, а другой его конец можно подключать к каждому резистору поочередно.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запишите в табл.9 номинальное значение сопротивления резисторов (указано на обратной стороне панели).

2. Соберите электрическую цепь по схеме, приведенной на рис.21. Включите омметр в сеть и переведите тумблер «сеть» в положение «вкл.». Через 1-2 мин. можно проводить измерения.

3. Свободный конец провода 2 вставьте в гнездо первого резистора. На шкале омметра «высветится» значение сопротивления R₁. Результат измерения занесите в табл.9

4

Рис.21

. Повторите опыт по измерению сопротивления всех остальных резисторов, подключая провод 2 поочередно к каждому из них. Результаты всех измерений занесите в табл.9.

5. Опыты по измерению сопротивления резисторов (п.п. 3-4) повторите не менее трех раз. Результаты всех измерений занесите в табл.9 и найдите для каждого резистора среднее значение <R_i>.

6. Запишите статистический ряд полученных значений сопротивлений в упорядоченном виде, расположив все элементы ряда в порядке возрастания от R_minдоR_max. Найдите среднее значение <R> по всем измерениям.

7. Разбейте диапазон [R_min,R_max] на несколько интервалов ширинойR’=(R_max-R_min)/К (где К – число интервалов; например, К=7). Подсчитайте числоmпопаданий случайных величин из упорядоченного статистического ряда в каждый из интервалов. Результаты занесите в табл.10.

8. Постройте гистограмму, откладывая по оси абсцисс случайные величины <R_i> с шагомR’, а по оси ординат – число m попаданий.

9. Сравните полученную гистограмму с гистограммой, приведенной на рис.19. Отметьте на своей гистограмме значение <R> и «столбик», соответствующий максимальному числу попаданий, заштрихуйте. Сделайте вывод. Сравните <R_i> сR_ном. Сделайте вывод.

10. По формуле (1-3) рассчитайте параметр Z_iдля каждого опыта, определив предварительно среднюю квадратичную погрешностьпо формуле (9). Результаты занесите в табл.9. Значениезанесите в табл.10.

11. По формуле (1-1) рассчитайте значение функции распределения f(R) для каждого опыта, взяв значение f(Z_i) из табл.11. Результаты занесите в табл.9. По полученным данным постройте кривую распределения, откладывая по оси абсцисс значения <R_i> в том же масштабе, что и на гистограмме, а по оси ординат – значения функции f(<R_i>). Зафиксируйте на графике наиболее вероятное значение R_версопротивления и нанесите на график значение <R>. Сравните R_вери <R>. Сделайте выводы.

12. Сравните полученную кривую f(R) с гистограммой m(R). Сделайте вывод о соответствии установленного закона распределения случайных величин в данной работе с нормальным законом распределения Гаусса (рис.20).

13. Оцените случайную погрешность эксперимента по формуле Стьюдента (13) для одного из резисторов. Выберите такую строчку в табл.9, в которой просматривается разброс в значениях R_i. Сравните найденное значениеR_слсо средней квадратичной погрешностью(табл.10). Сделайте вывод.

14. Рассчитайте относительную погрешность эксперимента по формуле (4). Сделайте вывод о точности данного метода измерения сопротивления резисторов.

15. Запишите результат в виде: R=<R>R.

Таблица 9

№опыта					<Ri>,
№рези-стора	1	2	3	<Ri>, Ом	Ом упор.	Zi	f(Zi)	F(Ri)
1 2 3 . . . 20
Rном=….., Ом			<R>=		….,Ом	Rвер=…., Ом

Таблица 10

№ интервала	Границы интервалов от RiдоRi+R’i	Ширина интервала R’i, Ом	m	, Ом
1 2 3 4 5 6 7

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие величины называются случайными? Какие случайные величины изучаются в данной лабораторной работе? Чем обусловлен разброс в значениях R_i, хотя все резисторы одного номинала?

2. Соответствует ли закон распределения случайных величин, установленный экспериментально, нормальному закону распределения? По каким характерным особенностям это можно установить?

3. При каком значении функция распределения имеет максимальное значение? Почему в качестве оценки результата измерений используют среднее арифметическое из всех измерений?

4. Как установить закон распределения случайных величин при прямых измерениях? Как строится гистограмма? При каких условиях гистограмма может быть заменена кривой распределения?

5. Что означает запись вида: Х = <X>Х? Изобразите результат измерений на числовой оси и укажите доверительный интервал.

Примечание: Весь перечень вопросов см. на стр. 31-32.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

5. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.:Высшая школа, 1989.

6. Лабораторные работы по физике./Под ред. Гольдина Л.Л. –М.:Наука, 1989.

7. Эссаулова И.А. и др. Руководство к лабораторным работам по физике. –М.:Высшая школа, 1983.

8. Механика. Акустика. Метод. указания к лабораторным работам./Составитель: Лесникова В.Г., Стреж В.В. – Красноярск, 1996.

Таблица 11

Значение функции f(Z_i)

Zi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Zi
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973	0,0
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918	0,1
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825	0,2
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3695	0,3
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538	0,4
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352	0,5
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144	0,6
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920	0,7
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685	0,8
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444	0,9
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203	1,0
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1980	0,1965	1,1
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736	1,2
1,3	0,1724	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1535	0,1518	1,3
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315	1,4
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127	1,5
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957	1,6
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804	1,7
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669	1,8
1,9	0,0656	0,0647	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551	1,9

Таблица 11 (продолжение)

Значение функции f(Z_i)

Zi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Zi
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449	2,0
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0388	0,0379	0,0371	0,0368	2,1
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290	2,2
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	2,3
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180	2,4
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139	2,5
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107	2,6
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081	2,7
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061	2,8
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046	2,9
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034	3,0

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО

ПАДЕНИЯ И ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Цель работы: а) определение ускорения свободного падения тела по времени падения с данной высоты различными методами;

б) проверка закона сохранения механической энергии при падении тела в поле силы тяжести и при колебаниях маятника;

в) закрепление навыков статистической обработки результатов измерений в физическом эксперименте.

Система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной вследствие суточного вращения Земли вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью и действия на нее гравитационных полей Солнца, Луны и других планет. Уравнение относительного движения любой точки земной поверхности в лабораторной системе отсчета (т.е. в системе, связанной с Землей) имеет вид:

,

где - соответственно сила тяготения, действующая со стороны гравитационного поля Земли на данное тело; центробежная сила инерции, возникающая при суточном вращении Земли вокруг своей оси; сила Кориолиса, возникающая, при движении тела относительно вращающейся системы.

Гравитационная сила притяжения тела к Земле, по закону всемирного тяготения равна

, (2-1)

где масса m– масса тела,M– масса Земли,r- расстояние от центра масс тела до центра Земли, т.е.r=R+H(R– радиус Земли, Н – высота тела над поверхностью Земли).

Центробежная сила инерции всегда направлена по радиусу от центра вращения и определяется по формуле:

, (2-2)

где - радиус окружности, описываемой точкой А на широте(рис.22).

Сила Кориолиса зависит от относительной скорости тела во вращающейся системе, от угловой скорости вращения системы и от массы тела. Если тело не перемещается в неинерциальной системе, то эта сила равна нулю.

Рассмотрим неподвижное тело вблизи поверхности Земли. На него действуют две силы: сила тяготения (2-1) и центробежная сила

(2-2).

Результирующая сила, равная векторной сумме силы тяготения и центробежной силы, называется силой тяжести.

, (2-3)

С

Рис.22

ила тяжести, таким образом, обусловлена притяжением тела к Земле и суточным вращением Земли вокруг оси. Она пропорциональна массе тела и не зависит от скорости относительного движения.

Как видно из рис.22, сила тяжести, вообще говоря, не совпадает с силой тяготения ни по величине, ни по направлению.

По второму закону Ньютона сила тяжести может быть выражена по формуле:

, (2-4)

где g– ускорение силы тяжести, одинаковое для всех тел при заданном положении тела относительно Земли.

Зависит ускорение силы тяжести от высоты Н над поверхностью Земли. Это определяется силой тяготения, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния тела до центра Земли: F_тяг 1/r², гдеr=R+H.

С другой стороны, ускорение gзависит от широты местности, что обусловлено действием центробежной силы:F_цбcos, согласно формулы (2-2).

Сила тяжести совпадает и по модулю, и по направлению с силой тяготения на полюсе, где F_цб=0. На экваторе величина силы тяжести будет минимальной: Р =F_тяг-F_цби направлена по радиусу к центру (рис.22).

Так как F_тяг>>F_цб, то на любой широте приближенно можно считать, что РF_тяг, т.е.

.

Отсюда ускорение силы тяжести будет равно

, (2-5)

где масса Земли (М) и ее радиус (R) являются величинами постоянными; поэтому и ускорение у поверхности Землиg=const.

Если тело находится на высоте Н от поверхности земли, то

. (2-6)

В данной лабораторной работе предлагается три метода определения ускорения свободного падения: по времени падения шарика с заданной высоты, с помощью математического маятника и по углу поворота платформы за время падения шарика.

ЗАДАНИЕ 1Определение ускорения свободного падения по времени падения шарика с заданной высоты и проверка закона сохранения механической энергии

Оборудование: штатив с электромагнитом и «ловушкой» для шарика; шарик (диаметром 1-2 см); электронный секундомер; масштабная линейка.

Движение тела под действием силы тяжести называется свободным падением. Свободное падение - это движение прямолинейное равноускоренное с ускорением g=const. Поэтому можно записать, что высота, с которой тело падает, равна

. (2-7)

Выразим отсюда ускорение свободного падения.

(2-8)

Таким образом, если измерить время tпадения тела с заданной высоты Н, можно легко рассчитать ускорение силы тяжести. В этом и заключается метод определенияg, предлагаемый в данной работе.

Для проверки закона сохранения механической энергии при падении тела с заданной высоты необходимо сравнить энергию тела на максимальной высоте с его энергией в момент падения. Потенциальная энергия тела в верхней точке равна

W_п= mgh.(2-9)

Кинетическая энергия в момент падения на Землю определяется по формуле:

, (2-10)

где скорость шарика в момент падения можно определить по формуле:

=gt. (2-11)

Сравнивая эти энергии можно найти работу сил сопротивления при падении шарика.

А_с=W_п -W_к(2-12)

При падении тела с небольшой высоты (Н 1 м) работа сил сопротивления (А_с), т.е. потеря энергии, будет невелика (А_с<<W_п), так как сила сопротивления зависит от скорости (Fc), а скорость шарика при малых высотах мала (порядка нескольких м/с).

Рис.23

С увеличением высоты растет скорость движения шарика. Это приводит к росту силы сопротивления. Во время падения шарика в среде на него действуют силы: Р=mg=gV– сила тяжести (рис.23);F_a=_срgV– выталкивающая сила (сила Архимеда) иFc= 6r- сила сопротивления (сила Стокса), где_ср– плотность среды (воздуха), - плотность материала шарика,V– объем шарика,r- радиус шарика,- коэффициент вязкости среды (воздуха). По мере уменьшения высоты при падении тела сила сопротивления возрастает и в какой-то момент времени наступит равновесие сил:(рис.23). С этого момента шарик будет падать равномерно, и формула (2-7) окажется неприменимой.

Таким образом, точность измерения ускорения силы тяжести связана не только с точностью измерения времени, но с внешними условиями, в которых движется тело.

Возникает вопрос, можно ли в условиях данного эксперимента (Н 1 м) пренебречь силой сопротивления и считать, что закон сохранения механической энергии выполняется достаточно точно.

Так как плотность воздуха во много раз меньше плотности материала шарика (_в<<_ш), тоF_a<<mg(примерно в 6000 раз). Поэтому ее можно не учитывать.

Рис.24

Кроме того, в условиях эксперимента (Н1 м) сила сопротивленияF_c<<mg (примерно в 1000 раз) и ее можно тоже не учитывать. Поэтому можно считать, что шарик падает свободно с ускорениемg. Следовательно, закон сохранения механической энергии будет выполняться.

Экспериментальная установка (рис.24), используемая в данной работе, представляет собой стойку (штатив) 1 с укрепленным на ней электромагнитом 2 и приставкой, оснащенной нормально замкнутым контактом (НЗК), под которой помещена «ловушка» 3 для шарика.

Напряжение на электромагнит подается с клемм, расположенных на задней стенке электронного секундомера 4. Клеммы НЗК соединяются с клеммами «Вход» секундомера. Включение электромагнита осуществляется переводом тумблера на задней стенке секундомера в нижнее положение; секундомер при этом отключен. Переводя тумблер в верхнее положение, отключаем электромагнит и включаем секундомер одновременно. Металлический шарик, удерживаемый на заданной высоте с помощью электромагнита, при его отключении начинает падать. Ударившись о горизонтальную планку НЗК, он размыкает цепь и секундомер отключается. Отсчет времени производится по положению светящейся точки на шкале.

Электронный секундомер имеет три шкалы: слева – целые секунды (х1), средняя шкала – десятые доли секунды (х0,1) и правая шкала – сотые доли секунды (х0,01). В условиях нашего эксперимента (Н 1 м) в левом «окошке» шкалы должен высвечиваться всегда «0». Показания следует снимать только по средней и правой шкалам.

Чтобы вернуть установку в рабочее состояние (магнит включен, а секундомер отключен), после каждого опыта тумблер на задней стенке секундомера следует переводить в нижнее положение, контактную планку НЗК в горизонтальное положение; после чего шарик подносят к магниту и нажимают кнопку «Сброс».

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Установите электромагнит на нужной высоте Н от планки НЗК (лучше начинать с максимальной высоты). Включите секундомер в сеть (после проверки схемы преподавателем). Приведите планку НЗК в горизонтальное положение, обеспечив хороший контакт; тумблер на задней стенке прибора переведите в нижнее положение и поднесите шарик к магниту. Запишите в табл.12 значение Н, измерив ее с помощью масштабной линейки от нижней точки шарика до горизонтальной планки НЗК.

2. Нажмите кнопку «сброс» и переведите тумблер в верхнее положение, отключив тем самым магнит и включив секундомер. После удара шарика о планку НЗК секундомер отключается. Запишите в табл.12 показание секундомера (время t₁падения шарика с заданной высоты).

3. Приведите установку в рабочее состояние и повторите опыт по измерению времени падения шарика с заданной высоты не менее 10 раз. Результаты измерений занесите в табл.12. Найдите среднее значение <t>.

4. По формуле (2-8) рассчитайте ускорение свободного падения для каждого опыта. Найдите среднее значение <g₁>.

5. Повторите опыт (п.п. 1-4) с другими высотами, уменьшая Н не менее, чем на 20 см. Результаты занесите в табл.12.

6. Оцените случайную погрешность gпо формуле Стьюдента, найдите относительную погрешность=g/<g> (достаточно для одной высоты) и запишите результат в виде:g= <g>g.

7. Сравните результаты измерений на различных высотах и сделайте вывод. Сравните g_экспсg_табл= 9,81 м/с². Сделайте вывод.

Относительное отклонение должно быть одного порядка с относительной погрешностью. При этом условии можно говорить о хорошей надежности выбранного метода определения ускоренияg. В противном случае, когда>>, необходимо эксперимент повторить более тщательно и указать систематические погрешности (или другие факторы), которые повлияли на результат измерений.

8. По результатам табл.12 составьте табл.13 и постройте график зависимости времени падения от высоты, откладывая по оси ординат 2Н, а по оси абсцисс значение t²(рис.25).

9. Воспользовавшись полученным графиком, найдите ускорение свободного падения по формуле:

(2-13)

Рис.25

Для этого на графике выберите произвольно пару точек 1 и 2 (рис.25), из которых опустите перпендикуляры на координатные оси и определите значения(2Н)= 2Н₂– 2Н₁и(t²)=в выбранном масштабе. Результаты занесите в табл.13. По формуле (2-13) найдите ускорение свободного паденияg_гр.

10. Сравните среднее значение ускорения силы тяжести <g_э> (табл.12) сg_гр(табл.13). Сделайте вывод о преимуществе графического метода перед аналитическим.

11. Занесите в таб.14 значения массы шарика m(задана на установке), ускорение <g> (из табл.12 или 13, наиболее близкое по значению к g_табл= 9,81 м/с²) и высоты Н₁, Н₂и Н₃(из табл.12).

12. По формулам (2-11), (2-9) и

(2-10) рассчитайте скорость шарика и кинетическую энергию в момент падения на планку НЗК и потенциальную энергию в верхней точке. Результаты занесите в табл.14.

13. Сравните потенциальную энергию шарика в верхней точке (на высоте Н) с его кинетической энергией в момент падения. Для этого рассчитайте работу сил сопротивления по формуле (2-12) и найдите отношение А_с/W_п. Если это отношение много меньше единицы, т.е. А_с/W_п<<1, можно говорить о выполнении закона сохранения механической энергии и работой сил сопротивления можно пренебречь.

Если же соотношение А_с/W_ппревышает 10%, то работой сил сопротивления пренебрегать нельзя и в этом случае нужно говорить о законе изменения механической энергии.

14. Анализируя данные табл.14, сделайте вывод о наиболее оптимальных условиях для выполнения закона сохранения механической энергии и объясните причину этого.

Таблица 12

№ п/п	Н1=…. (м)		Н2=…. (м)		Н3=…. (м)
	t1,c	g1, с2	t2,c	g2, с2	t3,c	g3, с2
Ср. зн.

Таблица 13

№ п/п	1	2	3	Данные по графику
Н, м				(2Н) = .… (м)
2Н, м
t,c				(t2) = .… (c2)
t2, c2
				gгр­ = … (м/с2)

Таблица 14

№ п/п	m, кг	g, м/с2	Н, м	t, с	, м/с	Wк, Дж	Wп, Дж
Ас= … (Дж)				Ас/Wп= …

ЗАДАНИЕ 2Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника и проверка закона сохранения механической энергии при колебаниях маятника

Оборудование: математический маятник, секундомер, масштабная линейка, штатив.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной, тонкой и невесомой нити. На практике математическим маятником считают небольшой шарик на длинной тонкой нити (d<<). При этих условиях массой нити и размерами шарика можно пренебречь.

Рис.26

Рассмотрим движение маятника при малых углах отклонения нити от положения равновесия. При движении маятника на шарик действуют- сила тяжести,- сила натяжения нити. Результирующая сила(рис.26). Силасообщает маятнику колебательное движение и называется возвращающей силой. Как следует из рис.26 она равна

Знак «минус» показывает, что сила всегда направлена против смещения точки, т.е. к положению равновесия.

При малых амплитудах (угол мал) за величину смещения можно принять Х=АВ. Тогда изАОВ найдемsin= Х/. С учетом этого предыдущее выражение примет вид:

Таким образом, возвращающая сила Fпропорциональна смещению. Обозначим постоянный множитель для данной системы в последнем равенстве

(2-14)

Итак, колебания маятника совершаются под действием силы F=-КX, которая сообщает ему ускорение а =. Второй закон Ньютона в этом случае будет иметь вид:

Разделим обе части последнего уравнения на mи все члены перенесем в одну часть. Получим

Обозначим коэффициент при Х:

, (2-15)

где ₀– циклическая частота собственных колебаний маятника. Окончательно уравнение движения можно записать в виде:

(2-16)

Решением полученного дифференциального уравнения служит выражение:

Х=Х₀sin(₀t), (2-17)

т.е. при малых углах отклонения от положения равновесия маятник совершает гармонические колебания с частотой ₀. Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением:

(2-18)

Сравнивая выражения (2-15) и (2-18), с учетом (2-14) можно записать уравнение

(2-19)

Из последнего соотношения выразим ускорение свободного падения

, (2-20)

где Т – период колебания, который характеризует время одного полного колебания.

, (2-21)

где t– времяnполных колебаний.

Таким образом, измерив время t, в течение которого маятник совершаетnполных колебаний, и длину маятника, можно рассчитать ускорение свободного паденияg.

Для проверки закона сохранения механической энергии в процессе колебаний маятника необходимо сравнить потенциальную энергию при максимальном отклонении нити от вертикали и кинетическую энергию при прохождении маятником положения равновесия.

Потенциальная энергия системы, в которой действует упругая или квазиупругая сила (F= -КХ), определяется по формуле:

, (2-22)

где - см. ф. (2-14) и (2-15); Х₀– максимальное отклонение маятника от положения равновесия (амплитуда). С учетом значения коэффициента К, выражение потенциальной энергии примет вид:

(2-23)

Кинетическая энергия в момент прохождения положения равновесия равна

, (2-24)

где ₀ - максимальная скорость в момент прохождения положения равновесия. Эту скорость можно найти, продифференцировав уравнение (2-17) и положивcos(t)=1 .

₀=₀X₀ (2-25)

Учитывая соотношения (2-14) и (2-15), получим

(2-26)

Выражение кинетической энергии примет вид:

(2-27)

С

Рис.27

равнивая (2-23) и (2-27) , можно сделать вывод, что при гармонических колебаниях маятника с малой амплитудойW_п=W_k. Это и предстоит доказать при выполнении данной лабораторной работы.

Экспериментальная установка показана на рис.27. Смещая кольцо К вдоль стойки, можно менять длину маятника. Длина маятника измеряется от точки подвеса до центра шарика (по вертикали). Если длина больше предела измерения масштабной линейки (>1м), то следует измерить(по штативу от стола до точки подвеса) и(от стола до центра шарика). Тогда.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Смещая кольцо К (рис.27) по стойке штатива вверх (или вниз), установите максимальную длину маятника. При этом указатель, которым снабжен шарик, не должен касаться стола (зазор около 0,5 см). Измерьте длину от точки подвеса до центра шарика (рис. 27). Результат измерения занесите в табл. 15.

2. Под шариком расположите линейку так, чтобы колебания маятника происходили строго вдоль линейки (указатель не должен касаться линейки). Отведите нить от вертикали на малый угол (6). Соотношения между углами отклонения и амплитудами для маятника с длиной=1м приведены в табл. 17.

Отпустите маятник. После того, как он сделает несколько колебаний, включите секундомер и измерьте время десяти полных колебаний (n=10). Запишите в табл. 15 времяtи в табл. 18 максимальное отклонение маятника от положения равновесия (Х_о)

ПРИМЕЧАНИЕ: Если длина маятника1м, то значение Х_опри заданном углеотклонения определяется как произведение значения(из табл. 17) на длинумаятника. Например,=5будет соответствовать амплитуда Х₀=90,87 (см).

3. Опыт по измерению времени десяти полных колебаний повторите не менее 10 раз, отклоняя маятник на один и тот же угол (Х₀=const). Результаты измерений занесите в табл.15.

4. По формуле (2-21) рассчитайте для каждого опыта период колебаний и найдите среднее значение <Т>. Результаты измерений занесите в табл.15.

5. Опыты (п.п.2-4) повторите при других длинах маятника, смещая кольцо К (рис.27) по штативу вниз, например, на 20 см. Результаты измерений занесите в табл.15.

6. Рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (2-20) для каждого опыта и найдите средние значения <g_i> для каждой длины_iмаятника. Результаты измерений занесите в табл.15.

7. Оцените случайную погрешность gпо формуле Стьюдента и запишите результат в виде:g=<g>g. Найдите относительную погрешность эксперимента.

8. Сравните полученные значения <g_i> с табличным значением ускорения свободного падения (g_табл=9,81 м/с²). Сделайте вывод о наиболее оптимальных условиях проведения эксперимента по результатам своего эксперимента.

9. Рассчитайте периоды колебаний маятника при различных длинах по теоретической формуле:

Т_теор=(2-28)

Результаты расчетов занесите в табл.16. Сравните полученные значения Т_теорс экспериментальными значениями <Т_i> , которые также запишите в табл.16. Сделайте вывод о точности метода определения ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.

10. Занесите в табл.16. значения длин маятника; рассчитайте <Т>². Постройте график зависимости периода колебаний от длины маятника, откладывая по оси ординат <Т>², а по оси абсцисс – длину.Сделайте вывод о характере зависимости периода от длины маятника .

1

Рис.28

1. Выбрав на графике две произвольные точки 1 и 2 (рис.28) и отпустив перпендикуляры на оси координат, определитеи(<Т>²). Найдите отношение/(<Т>²). Подставив это отношение в формулу (2-20) , рассчитайте ускорение свободного паденияg_тр . Результаты занесите в табл.16.

12. Сравните полученное графическим методом значение g_трс <g_i> (табл.15) и сg_табл. Сделайте вывод о преимуществах и недостатках графического метода определения ускорения свободного падения.

Таблица 15

№ опыта	1 = ... м			2 = ... м			3= ... м
	t, с	T1 , c	g , m/c2	t , c	T2 , c	g , m/c2	t , c	T3 , c	g , m/c2
Среднее значение

Таблица 16

№ п/п	1	2	3	gтабл­= 9,81 м/с2
,м				по графику: = …, м (<T>2) = …, с /(<T>2) = …, м/с2 gгр= …, м/с2
<T>,с
<T>2, с2
Ттеор, с

Таблица 17

, см	9	10	12	14	16	17	26
, 0	5	6	7	8	9	10	15

13. Занесите в табл.18 значение mмассы маятника (указана на установке), три длины маятника (из табл.15) и среднее значение <g> (из табл.15) илиg_гр(из табл.16), выбрав то , которое наиболее близко по значению к табличному (g_табл­= 9,81 м/с²).

14. Рассчитайте циклическую частоту ₀, коэффициент К и скорость₀соответственно по формулам (2-18), (2-15) и (2-25). Результаты занесите в табл.18.

15. Рассчитайте потенциальную энергию (W_п) при максимальном отклонении маятника от положения равновесия по формуле (2-22) и кинетическую энергию (W_к) в момент прохождения маятником положения равновесия (2-24). Результаты занесите в табл.18. Сравните полученные значенияW_пиW_к. Для этого найдите разность (W_п–W_к), определив тем самым работу сил сопротивления. Сравните А_сс первоначальным запасом энергии, т.е. сW_п. Сделайте вывод.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если отношение А_с/W_п<<1, то можно говорить о выполнении закона сохранения механической энергии при малых колебаниях маятника.

Таблица 18

№ п/п	m, кг	, м	g, м/с2	Х0, м	0, с-1	К, кг/с2	0, м/с	Wп, Дж	Wк, Дж
Ас=W= … , Дж						Ас/Wп= …

ЗАДАНИЕ 3Определение ускорения свободного падения по углу поворота горизонтального диска за время падения тела с заданной высоты

Оборудование: горизонтальный диск, насаженный на вал мотора; тело обтекаемой формы; транспортир; масштабная линейка; лист белой бумаги

В предлагаемой работе время tпадения тела с заданной высоты Н определяется по углу поворота, на который успевает повернуться равномерно вращающийся горизонтальный диск.

Угловая скорость вращения диска постоянна и равна

(2-29)

С другой стороны, угловая скорость связана с частотой вращения соотношением:

(2-30)

Приравняв правые части последних двух выражений, получим выражение, из которого можно выразить время вращения диска до момента падения на него тела.

(2-31)

Подставим выражение (2-31) в формулу (2-8). Получим

, (2-32)

где - угол поворота (в радианах) диска за время падения тела с заданной высоты,- частота вращения диска (в об/с), Н – высота, с которой тело падает (в метрах).

Таким образом, зная частоту вращения () и измерив высоту Н, с которой падает тело, и угол, на который повернется диск, можно рассчитать ускорение свободного падения по формуле (2-32).

Экспериментальная установка представляет собой деревянный диск 1 (рис.29), покрытый белой бумагой, который насажен на ось равномерно вращающегося мотора (например, от проигрывателя). На кожух 2 мотора опирается штатив 3, к которому прикреплен электромагнит 4, удерживающий тело обтекаемой формы 5.

Электрическая цепь электромагнита состоит из последовательно включенного источника постоянного тока и однополюсного к

Рис.29

люча, кнопка 6 которого выведена на переднюю панель кожуха. При нажатии кнопки 6 прерывателя происходит размыкан

ие цепи электромагнита и тело падает.

Мотор, вращающий диск 1, питается током от сети с напряжением 220 В. Пуск и остановка мотора производится выключателем 7, а скорость его вращения изменяется с помощью регулятора 8.

Повышения точности измерения можно достичь за счет увеличения высоты Н, с которой тело падает, так как при заданной скорости вращения диска это приведет к увеличению угла поворота 

Рис.30

, а следовательно, к уменьшению относительной погрешности (=/).

Например, при = 2 об/с тело падает с высоты 1 м. Угол, на который повернется диск, составит около 320⁰. Если при повторении опыта тело падает на диск на расстоянии 10 см от его центра, но с отклонением от первоначального места падения наr= 0,6 см (рис.30), то ошибка измерения составит величину

.

Относительная погрешность определения угла будет равна

.

Если высоту уменьшить в 2 раза (Н = 0,5 м), то при тех же условиях (= 2 об/с;r= 10 см;r= 0,6 см) угол поворота диска составит около 220⁰. Относительная погрешность будет равна

,

а для Н = 0,2 м она составит величину 0,025.

При проведении опытов не рекомендуется поднимать тело на высоту H>1, так как при этом уголбудет превышать 360⁰(диск сделает больше одного оборота); во-вторых, могут быть нарушены условия, при которых справедлива формула (2-8), а следовательно, и формула (2-32).

Кроме того, следует отметить, что ошибка эксперимента определяется, главным образом, погрешностью определения угла .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Закрепите электромагнит 4 на высоте Н 60 см от поверхности диска. Включите двигатель в сеть. Кнопки 6 и 7 (рис.29) должны быть отжаты. Поднесите тело к магниту и нажмите кнопку 6, включив тем самым электромагнит. Измерьте высоту Н₁тела от поверхности диска (рис.29). Запишите значение Н₁в табл.19.

2. Поверните регулятор частоты на 1-2 деления (по указанию преподавателя), установив некоторую частоту ₁. Запишите ее значение в табл.19.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если регулятор частоты не откалиброван, то частоту следует определять в этом случае экспериментально. Для этого нажмите кнопку 7, запустив мотор, и включите одновременно секундомер. Измерьте время, например десяти полных оборотов диска. Тогда частоту определите по формуле:

 = 10/ (2-33)

К примечанию следует добавить следующее: счет можно вести визуально по положению начальной метки на диске относительно указателя или на слух, приблизив до соприкосновения с диском полоску бумаги.

Кроме этого, если частота определяется экспериментально (см. примечание), то секундомер следует ввести в список оборудования.

3. Разомкните цепь электромагнита, нажав кнопку 6. След, который оставит тело при падении на неподвижный диск, обведите кружочком. Повторите опыт не менее 5 раз. Проведите, так называемый, «нулевой» радиус, усреднив положения всех центров полученных кружочков (рис.31).

4

Рис.31

. Поднесите тело к магниту, включив его нажатием кнопки 6. Медленным прокручиванием от руки установите диск в положение, соответствующее «нулевому» уровню отсчета. Разомкните цепь электромагнита, одновременно включите мотор нажатием кнопки 7. После падения тела на диске отметьте его след кружочком. Опыт (п.4) повторите не менее 5 раз, соединяя центры кружочков с центром диска. Измерьте транспортиром уголв градусах и выразите его в радианах по формуле:

(2-34)

Результаты измерений и вычислений занесите в табл.19.

5. По формуле (2-32) рассчитайте ускорение свободного падения g.

6. Оцените погрешность измерений по формуле максимальной относительной ошибки (см. табл.6).

,

где Н примите равной половине цены деления линейки;_слрассчитайте по формуле Стьюдента и, если_слменьше цены деления транспортира, примите за половину цены деления его шкалы. Если же_слокажется одного порядка с ценой деления транспортира, то абсолютную погрешность измерения угла рассчитайте по формуле (7).

Рассчитайте абсолютную погрешность определения ускорения gпо формуле:g=<g> и запишите результат в виде:g= <g>g.

7. Повторите опыты (п.п.1-6) с другой частотой, но при той же высоте Н₁. Результаты занесите в табл.19. Сравните точность измерения ускорения свободного падения на разных частотах вращения диска (Н=const). Сделайте вывод.

8. Повторите опыты (п.п.1-7) с другой высотой Н₂>Н₁(по указанию преподавателя), но с теми же частотами₁и₂. Результаты занесите в табл.19.

9. Сравните точность измерения ускорения свободного падения на разных высотах (=const). Сделайте вывод.

Таблица 19

№ п/п	, об/с	Н1= … , м			Н2= … , м
		0	, рад	g, м/с2	0	, рад	g, м/с2
Среднее значение
Среднее значение

10. Сравните значение ускорения свободного падения, найденного экспериментальным путем, с табличным значением g_табл­= 9,81 м/с². Сделайте вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое движение называется свободным падением? Как записываются уравнение движения и формула скорости при свободном падении?

2. С каким ускорением тело свободно падает? От чего зависит ускорение свободного падения?

3. Как записывается закон всемирного тяготения?

4. Какова причина возникновения центробежной силы и от чего она зависит?

5. Что называется силой тяжести? Как она направлена? От чего зависит?

6. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью ₀, другое - вниз с такой же начальной скоростью и третье падает вниз без начальной скорости? Что можно сказать об ускорениях этих тел?

7. Почему формула (2-7) неприменима для больших высот (Н>>1)? Что можно сказать о влиянии сил сопротивления воздуха при падении тела с H 1 м?

8. Свободно падая с высоты h, тяжелый шарик на половине пути пробил стеклянную пластинку и потерял при этом половину своей энергии. Во сколько раз его скорость в момент удара о землю будет меньше скорости падения на землю другого (такого же) шарика, который на своем пути не встретил препятствия?

9. За последнюю секунду своего падения шарик прошел половину всего пути. Сколько времени и с какой высоты шарик свободно падал?

10. С какой высоты тело свободно упало, если последний метр своего пути оно прошло за 0,1 с?

11. Какие можно назвать систематические погрешности в данной работе при определении ускорения свободного падения; какое влияние они оказывают на результат определения g?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.:Высшая школа, 1989.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. –М.:Высшая школа, 1999.

3. Дубровский И.М. и др. Справочник по физике. –Киев:Наукова думка, 1986.

4. Механика. Акустика. Метод. указания к лаборат. работам./Составители: Лесникова В.Г., Стреж В.В. -–Красноярск, 1996.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3*

ИЗУЧЕНИЕ НЕПРУГОГО УДАРА НА ПРИМЕРЕ

ЗАБИВАНИЯ СВАИ НА МОДЕЛИ КОПРА

Цель работы: а) проверка закона сохранения импульса и механической энергии;

б) определение средней силы сопротивления грунта при забивании сваи на модели копра

Оборудование: модель копра; «свая»; контейнер с грунтом; масштабная линейка.

Рис.32

Подударомпонимаюткратковременное взаимодействиетел (при непосредственном взаимодействии или на расстоянии), в результате которого скорости тел меняются на конечную величину за бесконечно малое время. При этом в момент удара возникают ударные силы взаимодействия, во много раз превосходящие по величине внешние силы (например, силы трения). Поэтому систему соударяющихся тел можно считать изолированной. А для изолированной системы справедливы законы сохранения механической энергии и импульса.

Линия, совпадающая с общей нормалью к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар будетпрямым, если перед ударом скорости центров масс взаимодействующих тел лежат на линии удара. Если при этом центры масс тел лежат на линии удара, удар называетсяцентральным(рис.32).

В реальных условиях относительная скорость соударяющихся тел после удара не принимает прежнего значения. Поэтому для характеристики удара вводят понятие коэффициента восстановления. Отношение называется коэффициентом восстановления,- скорости взаимодействующих тел (второго и первого) до удара;- скорости тел после удара.

Ударназываетсяабсолютно упругим, если кинетическая энергия соударяющихся тел сохраняется неизменной. При этом коэффициент восстановления= 1.

Для абсолютно упругого удара справедливы законы сохранения импульса и механической энергии.

(3-1)

. (3-2)

Ударназываетсяабсолютно неупругим, если при взаимодействии тел кинетическая энергия (вся или ее часть) переходит в другие виды энергии (внутреннюю энергию, энергию деформации и т.п.). После неупругого ударатела движутся с одинаковой скоростью (как одно целое).

Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара имеет вид:

, (3-3)

где и- скорости соударяющихся тел до удара,- скорость тел после удара.

Изменение энергии при неупругом ударе равно разности кинетических энергий после удара и до удара. При этом W<0, так как кинетическая энергия тел уменьшается за счет того, что часть ее переходит в другие виды энергии.

(3-4)

Коэффициент восстановления при абсолютно неупругом ударе = 0. В реальных условия 0 << 1, т.е. абсолютно упругих тел и абсолютно упругих деформаций не существует. Например, коэффициенты восстановления тел, изготовленных из стали и слоновой кости, соответственно равны₁ = 0,6 и₂ = 0,9, а для свинцовых шариков

₃= 0.

Пусть груз массой m₁падает с некоторой высоты Н на тело В («сваю») массойm₂(рис.33).До ударапотенциальная энергия по мере падения переходит в кинетическую энергию. По закону сохранения энергии (силой сопротивления воздуха можно пренебречь) имеем

, (3-5)

где ₁– скорость тела А непосредственно перед ударом о сваю В. Из последнего соотношения эта скорость будет равна

(3-6)

В момент удараза счет кинетической энергии ударника А свая В придет в движение, получив импульс движения.

Скорость системы «свая-ударник» выразим из закона сохранения импульса (3-3) для неупругого удара (свая и груз А после удара движутся как одно целое; скорость до удара ₂= 0).

, (3-7)

где m₁и m₂– масса ударника и сваи соответственно.

Рис.33

В момент удара часть кинетической энергии груза А переходит в энергию деформации груза и сваи) и совершается работа по углублению сваи.(3-8)

Подставим в эту формулу значения скоростей ₁(3-6) и(3-7). Получим

(3-9)

Учитывая выражение (3-5), окончательно запишем

(3-10)

Знак «минус» указывает на то, что кинетическая энергия системы убывает при неупругом ударе.

После ударасистема «свая-ударник» будет двигаться до полной остановки равнозамедленно из-за большого «сопротивления» грунта. При этом свая углубится в грунт на расстояниеh(рис.33); при этом будет совершена работа по преодолению сил сопротивления.

, (3-11)

где –(m₁+m₂)gh– потенциальная энергия сваи, погруженной в грунт (относительно поверхности земли); первое слагаемое – кинетическая энергия системы в момент удара.

С другой стороны, работа против сил сопротивления равна

А_с = F_ch, (3-12)

где F_с– средняя сила сопротивления грунта;h= (₁ -₂) – величина заглубления сваи после удара (рис.33).

Приравнивая правые части выражений (3-11) и (3-12), получим

.

Отсюда сила сопротивления будет равна

.

После несложных преобразований с учетом формул (3-6) и

(3-7) окончательно получим

,

где h= (₁ -₂) =h₂–h₁(рис.33);h₂иh₁– соответственно высота груза А относительно сваи до и после удара. Учитывая, чтопоследнее выражение можно записать в виде

Учитывая, что в данном эксперименте, последнюю формулу можно упростить

(3-13)

Таким образом, чтобы определить силу сопротивления грунта, достаточно измерить время падения груза А на сваю (t) и величину заглубления сваи в результате удара (h). Масса сваи и ударника заданы

на установке как постоянные.

Средняя работа, пошедшая на углубление сваи за один удар равна

А_угл = (m₁ + m₂)g<h>;(3-14)

Потенциальная энергия ударника на высоте Н определяется по формуле

(3-15)

Результаты вычислений занесите в табл.21.

Тогда коэффициент полезного действия одного удара будет равен

, (3-16)

а средний кпд серии ударов равен

(3-17)

Рис.34

Экспериментальная установка (рис.34) состоит из контейнера 4 с «грунтом», сваи 3 и ударника 1, который может перемещаться по вертикальным направляющим 2. Свая 3 движется с большим трением при углублении в грунт после удара. В верхнем положении ударник 1 удерживается с помощью специального устройства. Высота груза до и после удара (заглубление сваи) находится как разностьh= (₁ -₂) (рис.33),₁ и₂ измеряют линейкой.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Поднимите груз А (рис.33) на максимальную высоту Н относительно основания установки, чтобы после его удара о сваю она углублялась бы частично. Зафиксируйте его на этой высоте. Измерьте высоту ₁сваи над крышкой контейнера до удара. Значение₁ занесите в табл.20. В эту же таблицу занесите значения массы сваи (m₁) и массы ударника (m₂) – эти значения указаны на установке.

2. Освободите груз. Измерьте время его падения на сваю. После удара его о сваю измерьте высоту сваи ₂. Найдите величину углубления сваи за один удар:h=₁ -₂. Результаты занесите в табл.20.

3. Опыты повторите 10 раз, поднимая груз каждый раз на одну и ту же высоту Н относительно платформы, на которой установлен контейнер с грузом. Результаты всех измерений занесите в табл.20. После каждого удара фиксируйте положение сваи до и после удара, т.е. измеряйте расстояния ₁ и₂, а также время падения грузаt.

4. По формуле (3-13) рассчитайте среднюю силу сопротивления грунта для каждого опыта. Найдите среднее значение <F_c>. Результаты занесите в табл.20.

5. Оцените погрешность эксперимента по определению силы сопротивления грунта по формуле Стьюдента и запишите результат в виде: F_c= <F_c>F_c; найдите относительную ошибку эксперимента.

В случае большого разброса в значениях F_cпроведите анализ полученных результатов и объясните причину его. Сделайте вывод.

6. Рассчитайте работу сил сопротивления по формуле (3-12) по среднему значению <F_c>. Результаты всех вычислений занесите в табл.20.

7. Рассчитайте среднее значение <h>, используя данные табл.20, и запишите его в табл.21. Рассчитайте среднюю работу, пошедшую на углубление сваи за один удар по формуле (3-14) и потенциальную энергию по формуле (3-15). Результаты вычислений занесите в табл.21. Сделайте вывод. Сравните.

8. Рассчитайте коэффициент полезного действия одного удара и серии ударов соответственно по формулам (3-16) и (3-17). Результаты вычислений занесите в табл.21.

Таблица 20

№ опыта	m1, кг	m2, кг	t,c	1, м	2, м	h, м	Fc, Н
				Среднее значение
Ас= … , Дж				Wп= … , Дж

Таблица 21

n	<h>, м	Ас, Дж	Аугл, Дж	Wп, Дж	1, %	n, %

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что в физике понимают под механическим ударом? Какой удар называют абсолютно упругим и абсолютно неупругим? По какому признаку классифицируют удар на упругий и неупругий?

2. Как записывается закон сохранения импульса для упругого и неупругого ударов? Почему систему соударяющихся тел можно считать изолированной?

3. Как записывается закон сохранения механической энергии для абсолютного упругого удара? Выполняется ли этот закон для абсолютно неупругого удара?

4. Как рассчитать потери энергии на деформацию при неупругом ударе груза о сваю? При каких условиях эти потери будут минимальны?

5. Зависит ли сила сопротивления грунта при движении сваи от высоты, с которой падает груз? Отличаются ли силы сопротивления друг от друга при первом и при последнем ударе?

6. От чего зависит КПД удара при забивании сваи? Как можно увеличить его?

7. Груз падает с высоты 200 м и углубляется в песок на 10 см. Определить силу сопротивления при движении в нем тела массой 0,5 кг, если скорость вхождения в песок равна 10 м/с.

8. Сваю массой 100 кг забивают в грунт бойком массой 300 кг, падающим с высоты 4 м. При каждом ударе свая погружается в грунт на

10 см. Найти силу сопротивления грунта, если считать удар бойка о сваю абсолютно неупругим?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. –М.:Высшая школа, 1989.

2. Дубровский И.М. и др. Справочник по физике. –Киев:Наукова думка, 1986.

3. Методические указания к лабораторным работам по физике./Составитель Калачникова Л.Я. -–Томск, 1973.

4. Механика. Акустика. Метод. указания к лаборат. работам. /Составители: Лесникова В.Г., Стреж В.В. -–Красноярск, 1996.

5. Механика. Методические указания к лабораторным работам./Составители: Лесникова В.Г., Зубакин А.М., Стреж В.В. –Красноярск, 1996.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы: а) определение момента инерции твердого тела различными методами;

б) проверка основных законов вращательного движения твердого тела (закона сохранения механической энергии, основного закона динамики вращательного движения, теоремы Штейнера).

Вращательное движение – это такое движение абсолютно твердого тела, при котором все его точки движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях с центрами на одной прямой, называемой осью вращения.

Рис.35

Кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела служат угловой путь (угловое смещение), угловая скоростьи угловое ускорение. К динамическим характеристикам относятся момент инерции, момент силы и момент импульса (I_z, М_z,L_z).

Моментом силы относительно точки вращения О (рис.35) называется векторная величина , равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из центра вращения О в точку А приложения силы, на вектор силы.

(4-1)

Модуль вектора момента силы относительно точки равен

М = Fr sin ,(4-2)

где - угол между радиус-вектором и вектором силы (рис.35). Величина, равнаяrsin= , называется плечом силы.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, содержащей векторыи, по правилу правого винта: если смотреть из конца вектора, то вращение радиус-векторапо направлению к векторупо кратчайшему пути должно происходить против часовой стрелки (рис.35).

Моментом силы относительно оси вращения Zназывается скалярная величина М_z, численно равная проекции вектораотносительно точки на выбранную ось вращенияZ. При равновесии твердого тела, имеющего ось вращения, алгебраическая сумма моментовM_zi, действующих на тело, относительно некоторой оси вращения равна нулю (правило моментов).

(4-3)

Инертные свойства вращающегося твердого тела относительно некоторой оси Zхарактеризуются моментом инерцииI_z, который зависит от формы и размеров тела, от распределения массы в теле, от расположения оси вращения относительно центра масс (прилож.3).

Момент инерции материальной точки – это скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния этой точки до оси вращения.

(4-4)

Если система состоит из нескольких (n) материальных точек, то в силу свойства аддитивности, момент инерции такой системы равен сумме моментов инерции всех материальных точек.

(4-5)

В случае абсолютно твердого тела материальные точки распределены в нем непрерывно, и момент инерции тела будет равен

(4-6)

Как следует из формул (4-4), (4-5), (4-6), момент инерции – величина сугубо положительная (I_z 0); момент инерции – величина скалярная. Расчеты и опыт показывают, что момент инерции любого тела относительно любой оси может быть представлен в виде:

I_z = KmR², (4-7)

где К – коэффициент пропорциональности, зависящий от выше перечисленных факторов: от размеров и формы тела, от распределения массы в теле и от расположения оси вращения относительно оси симметрии; R– линейные размеры тела;m– масса тела.

Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс, приведены в прилож. 3. Если ось вращения не проходит через центр масс, то его рассчитывают по теореме Штейнера, которая записывается следующим образом:

I_z = I_c + mr², (4-8)

г

Рис.36

деI_c– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;I_z– момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс и отстоящей от него на расстоянии r (рис.36).

Для вращательного движения абсолютно твердого тела справедливы законы механики: второй закон Ньютона, закон сохранения момента импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела имеет вид:

M_z = I_z, (4-9)

где - угловое ускорение вращения, характеризующее изменение угловой скорости за единицу времени. В дифференциальной форме это уравнение можно записать в виде:

, (4-10)

где L_z– момент импульса вращающегося тела относительно заданной оси.

Момент импульса тела относительно некоторой оси вращения равен

L_z = I_z, (4-11)

где - угловая скорость вращения.

Для замкнутой системы момент внешних сил M_внш= 0 и момент импульса системы не изменяется (закон сохранения момента импульса):

Вращающееся тело обладает кинетической энергией, которая выражается формулой

. (4-12)

В данной работе предлагается несколько вполне самостоятельных заданий, в которых ставится целью проверка одного или нескольких законов вращательного движения.

ЗАДАНИЕ 1. Определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний и проверка теоремы Штейнера и закона сохранения механической энергии

Оборудование: трифилярный подвес, секундомер, масштабная линейка, два одинаковых тела.

Рис.37

Определение момента инерции твердого тела в данной работе производится методом крутильных колебаний на трифилярном подвесе, который представляет собой подвижную платформу радиусаR(рис.37), соединенную с неподвижной платформой меньшего радиусаrс помощью трех симметричных длинных нитей. При этом радиус нижнего диска во много раз больше радиуса верхнего диска (R>>r).

Если повернуть нижнюю платформу вокруг вертикальной оси ОО’ на небольшой угол ₀относительно верхней платформы и отпустить ее, то возникнет вращательный момент, стремящийся вернуть ее в положение равновесия; платформа будет совершать гармонические крутильные колебания по закону

 = ₀sin ₀t, (4-13)

где ₀= 2/Т – циклическая частота собственных колебаний; Т – период колебаний.

В случае крутильных колебаний период Т зависит от момента инерции системы. В процессе колебаний центр масс нижней платформы перемещается вдоль оси вращения ОО’ (вверх – вниз). При этом изменяется ее потенциальная энергия на величину

W_п = mgh(4-14)

К моменту прохождения положения равновесия потенциальная энергия переходит в кинетическую:

(4-15)

Рис.38

Колебания платформы с малой амплитудой (< 10⁰) можно считать незатухающими и поэтому имеет место закон сохранения механической энергии.

(4-16)

Угловая скорость вращения (циклическая частота) равна первой производной от смещения (4-1) по времени.

Отсюда следует, что максимальная угловая скорость _maxравна

(4-17)

Подставим выражение (4-17) в формулу (4-16). Получим

Выразим отсюда момент инерции.

(4-18)

Высота, на которую поднимется нижняя платформа, равна

h=h₁–h₂(рис.38). Как видно из рис.38,- изАВС;- изАВС, где- длина нити трифилярного подвеса. Вычитая из первого соотношения второе и раскладывая разность квадратов на произведение (h₁+h₂)(h₁-h₂), найдем искомую величину.

Подставив в это выражение значения и, получим окончательно

При малых углах можно произвести замену: sin(₀/2)₀/2 иh₁+h₂2. Тогда окончательно найдем, что высота, на которую поднимается центр масс платформы, будет равна

(4-19)

Подставив значение h(4-19) в формулу (4-18), получим

(4-20)

Все величины, входящие в последнюю формулу, легко измерить. Выделим множитель, постоянный для данной установки:

(4-21)

С учетом последнего соотношения (4-21) формула для нахождения момента инерции (4-20) примет вид:

I_z = CmT². (4-22)

Из последней формулы видно, что период крутильных колебаний зависит от момента инерции и от постоянной установки (С).

Таким образом, рассчитав постоянную С по формуле (4-21) (где радиус верхней платформы rи длина нитейзадана на установке, а радиус верхней платформыRизмеряют линейкой), можно рассчитать момент инерции платформы, определив период колебаний по формуле:

, (4-23)

где t– времяnполных колебаний.

Методом крутильных колебаний можно определить момент инерции любого тела, поместив его на платформу, и воспользовавшись формулой (4-22), где m=m_пл+m_тело. Определив этим методом момент инерции «платформа-тело», исходя из свойства аддитивности, можно рассчитать момент инерции самого тела по формуле:

I_сист – I_пл = I_тело. (4-24)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Занесите в табл.22 значение длины нитей трифиляра, радиуса верхней платформы (r) и массы нижней платформы (m_пл). Все эти величины указаны на установке.

2. Для определения радиуса нижней платформы измерьте ее диаметр в нескольких направлениях, найдите среднее значение <D> и рассчитайте радиус нижней платформы по формуле:R= <D>/2. Запишите значениеRв табл.22. По формуле (4-21) рассчитайте коэффициент С и результат занесите в табл.22.

3. Повернув нижнюю платформу (рис.37) вокруг вертикальной оси на небольшой угол (< 10⁰) относительно верхней платформы, отпустите ее, предоставив возможность свободно совершать крутильные колебания. Выждав некоторое время, пока колебания платформы не установятся и не исчезнут поперечные колебания, включите секундомер и измерьте время десяти полных колебаний. Результат измерения занесите в табл.23. Опыты с пустой платформой повторите не менее 3 раз.

4. По формулам (4-23) и (4-22) рассчитайте соответственно период Т колебаний платформы (время одного полного колебания) и момент инерции пустой платформы (I_пл) для каждого опыта. Найдите средние значения <T> и <I_пл>. Результаты всех измерений занесите в табл.23.

5. Оцените случайную погрешность Iэксперимента по формуле Стьюдента и запишите результат в виде:I_пл= <I_пл>I. Найдите относительную погрешность.

6. Рассчитайте момент инерции пустой платформы, считая ее сплошным однородным диском, относительно оси, проходящей через ее центр масс, по теоретической формуле:

(4-25)

Результат занесите в табл.23. Сравните теоретическое и экспериментальное значения момента инерции пустой платформы. Сделайте вывод о надежности данного метода для определения момента инерции тела.

7. Для определения момента инерции исследуемого тела относительно оси, проходящей через его центр масс, поместите это тело в центр платформы. Запишите в табл.22 массу тела m_т(она указана на установке). В табл.24 запишите общую массу системыm=m_пл+m_т.

8. Повторите опыты по определению периода колебаний нагруженной платформы (п.п.3,4). Результаты измерений и вычислений занесите в табл.24. Число колебаний и угол ₀во всех опытах оставьте одинаковыми (n= 10;₀< 10⁰). Значение угла₀отклонения платформы от положения равновесия занесите в табл.26.

9. Рассчитайте момент инерции исследуемого тела относительно оси, проходящей через центр масс, по формуле (4-24).

1

Рис.39

0. Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, поместите на платформу два тела симметрично ее центра (на одном из диаметров нанесены метки). Измерьте расстояние между центрами масс этих тел (расстояние между метками на платформе) и, разделив его пополам, определите расстояние Х от центра масс до оси вращения (рис.39). Занесите значение Х в табл.25.

11. Повторите опыты по определению периода колебаний нагруженной платформы (п.п.3,4). При расчете момента инерции в формулу (4-22) подставляйте общую массу системы:

m=m_пл + 2m_т. Результаты занесите в табл.25.

12. Повторите опыты (п.п.3,4) при других положениях грузов на платформе относительно оси вращения, смещая их каждый раз на одно и то же расстояние (например, на 5 см). Результаты измерений и вычислений занесите в табл.25. Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения рассчитывайте по формуле:

(4-26)

13. По результатам табл.25 постройте график зависимости момента инерции от расстояния центра масс до оси вращения, откладывая по оси ординат значения I_т, а по оси абсцисс – квадрат расстояния Х². Сделайте вывод о характере зависимостиI_т(Х²). Продолжив прямую до пересечения с осью ординат, определите по графику значениеI₀и сравните с результатом, полученным в табл.24.

14. Рассчитайте моменты инерции тела для тех же расстояний по формуле Штейнера (4-8). Результаты занесите в табл.25. Постройте график зависимости I’(Х²) на том же чертеже, на котором был построен график по экспериментальным данным. Сравните их. Сделайте вывод о соответствии вашего эксперимента теореме Штейнера.

Таблица 22

r, м	R, м	, м	С, м2/с2	mпл, кг	mт, кг

Таблица 23

№ опыта	mпл, кг	n	t, с	Т, с	Iпл, кгм2	Iпл’, кгм2
Среднее значение

Таблица 24

№ опыта	m, кг	N	t, с	Т, с	Iпл, кгм2	I0, кгм2	I0’, кгм2
Среднее значение

Таблица 25

№ п/п	m, кг	n	Х, м	t, с	T, с	I, кгм2;	Iт, кгм2	Iт’, кгм2

15. Проверку закона сохранения механической энергии проведите для пустой платформы. Для этого рассчитайте высоту h, на которую поднимется центр платформы по формуле (4-19); максимальную угловую скорость _max – по формуле (4-17). Угол ₀, на который отклоняли платформу из состояния равновесия, выразите в радианах (1 рад  57⁰). Результаты занесите в табл.26. Момент инерции платформы (I_пл) возьмите из табл.23.

16. Рассчитайте потенциальную энергию платформы при наибольшем отклонении от положения равновесия и кинетическую энергию в момент прохождения равновесия по формулам (4-14) и (4-15) соответственно. Результаты занесите в табл. 26.

17. Сравните W_п иW_к. Сделайте вывод. Рассчитайте работу, совершаемую системой против сил сопротивления среды.

ПРИМЕЧАНИЕ: Можно считать, что закон сохранения механической энергии выполняется достаточно точно, если отношение А_с/W_п < 0,1.

18. Аналогичные расчеты проведите для нагруженной платформы (тело находится в центре платформы). Угол ₀ считать примерно одинаковым с предыдущим случаем. Момент инерции системы <I> возьмите из табл.24. Результат занесите в табл.26. Сравните результаты с п.17. Сделайте вывод.

Таблица 26

№ п/п	0 0	0­, рад	h, м	<T>, с	max, с-1	Wп, Дж	Wк, Дж
1 2
Пустая платформа: Ас = …. , Дж Ас/Wп = ……
Нагруженная платформа: Ас = …. , Дж Ас/Wп = ……

ЗАДАНИЕ 2.Изучение зависимости момента инерции от распределения массы в системе с помощью маятника Обербека и проверка закона сохранения механической энергии

Оборудование: маятник Обербека (крестообразный маятник), секундомер, штангенциркуль, масштабная линейка, набор грузов общей массой не менее 100 г.

Рис.40

Маятник Обербека – это крестообразный маятник, закрепленный на горизонтальной оси (рис.40). На стержни 1 маховика насажены одинаковые по размеру и по массе цилиндры 2, положение которых относительно оси вращения можно менять.

Рис.41

На одной оси с маховиком находятся два шкива 3 и 4 разного диаметра, на один из которых наматывают нить 6, перекинутую через блок. На свободный конец нити подвешивают чашку с грузом 7. Под действием этого грузика система приходит в движение: чашка опускается, двигаясь поступательно, а маховик с цилиндрами начинает вращаться. Масса грузиков подбирается так, чтобы во время движения скомпенсировать трение (в подшипниках) и сообщить ускорение системе.

Итак, намотав нить на один из шкивов, поднимают груз на некоторую высоту h от пола. Груз под действием силы тяжести опускается по мере разматывания нити. Возникает вращательный момент, действующий на маховик (рис.41).

Уравнение поступательного движения чашки с грузом имеет вид (рис.41):

mg - F_н = ma (4-27)

Уравнение вращательного движения маховика

М = I, (4-28)

где М – момент силы, действующий на маховик, I – момент инерции маховика,  - угловое ускорение вращения системы.

Момент силы по определению равен произведению модуля силы на плечо.

М = F_нr, (4-29)

где r = d/2 – плечо силы F_н (радиус шкива).

Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением соотношением:

.

Ускорение, которое приобретает груз при падении с высоты, равно

. (4-30)

С учетом этого предыдущее выражение можно переписать в виде

. (4-31)

Подставив значения М (4-29) и  (4-31) в формулу (4-28), получим уравнение

Силу натяжения нити выразим из уравнения (4-27); подставим в последнее выражение и найдем момент инерции. Получим

В силу того, что в условиях нашего эксперимента отношение (gt²)/(2h) >>1, последнюю формулу можно переписать в виде:

. (4-32)

Таким образом, измерив высоту h, с которой опускается чашка с грузом, время t падения с этой высоты и диаметр d шкива, на которую наматывают нить, можно рассчитать момент инерции маятника Обербека.

С другой стороны, момент инерции крестообразного маятника можно выразить, воспользовавшись свойством аддитивности: момент инерции системы равен сумме моментов инерции отдельных ее частей.

I = 2I_ст + 4I_цил + I_шк1 + I_шк2 + I_вал,

где (2I_ст + 4I_цил) >> (I_шк1 + I_шк2 + I_вал), то приближенно момент инерции будет равен

I = 2I_ст + 4I_цил,

где I_ст – момент инерции стержня (ось проходит через его середину) равен:

; (4-33)

I_цил - момент инерции цилиндра рассчитывается как для материальной точки:

I_цил = mr²; (4-34)

r – расстояние центра масс цилиндра до оси вращения.

Таким образом, момент инерции маятника Обербека будет равен

(4-35)

Из последней формулы видно, что момент инерции маятника Обербека зависит от положения цилиндров относительно оси вращения: I = I(r²). Если r = 0, момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс системы, равен

(4-36)

Эта величина постоянная, не зависящая от расстояния r.

Изучение зависимости I = I(r²) является главной целью нашей работы.

Кроме того, на данной установке можно проверить закон сохранения механической энергии. По мере падения чашки с грузом маховик раскручивается, и потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию поступательного движения груза и вращательного движения маховика. По закону сохранения энергии имеем

W_п = W_пост + W_вр,

где потенциальная энергия груза равна

Wп = mgh; (4-37)

кинетическая энергия поступательного движения груза –

; (4-38)

кинетическая энергия вращательного движения маховика –

. (4-39)

Если не учитывать сопротивление воздуха (трение в подшипниках скомпенсировано весом грузика), то закон сохранения механической энергии будет иметь вид:

(4-40)

Линейная скорость точек на поверхности шкива может быть найдена по формуле:

 = at,

где а – ускорение, с которым падает чашка с грузом. С учетом формулы (4-30) последняя формула примет вид:

(4-41)

Угловая скорость вращения маховика связана с линейной скоростью соотношением:

,

Подставим в эту формулу значение скорости (4-41). Получим

(4-42)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Штангенциркулем измерьте несколько раз диаметр шкива большего размера (d₁), поворачивая шкив вокруг оси. Найдите среднее значение <d₁>. Результаты запишите в табл. 27. Занесите в эту таблицу также массу груза m₁ и массу чашки m₂ (они указаны на установке). Рассчитайте общую массу чашки с грузом: m = m₁ + m₂.

2. Закрепите цилиндры на концах стержней крестообразного маятника. Измерьте расстояние центра масс цилиндра до оси вращения. Для этого измерьте расстояние между центрами двух цилиндров, расположенных на одном стержне (рис.42), и разделите пополам (r =₁/2). Результат занесите в табл.27.

3

Рис.42

. Намотайте нить на шкив диаметромd₁, подняв чашку с грузом на высоту h. Измерьте высоту h. Положите на чашку грузики общей массой не менее 100 г (по указанию преподавателя). Отпустите чашку и включите одновременно секундомер. Измерьте время падения чашки, выключив секундомер в момент касания дном чашки пола. Опыт повторите не менее трех раз. Результаты измерений занесите в табл.27.

4. По формуле (4-32) рассчитайте момент инерции маятника для каждого опыта. Найдите среднее значение <I₁>.

5. Оцените случайную погрешность I_сл эксперимента по формуле Стьюдента и запишите результат в виде:

I₁ = <I₁> I. Найдите относительную погрешность  = I/<I>.

6. Повторите опыт еще при двух положениях цилиндров на стержнях, смещая их ближе к оси вращения на одно и то же расстояние

(r 5 см), наматывая нить на шкив диаметром d₁. Результаты занесите в табл.27.

7. Рассчитайте моменты инерции системы по формуле (4-32) при новых положениях цилиндров. Результаты вычислений занесите в табл.27. Найдите средние значения <I₂> и <I₃>.

8. Постройте график зависимости момента инерции маховика от расстояния цилиндров относительно оси вращения: I_шк1 = I(r²), откладывая по оси ординат значения <I>, а по оси абсцисс – квадрат расстояния r². Продолжите полученную прямую до пересечения с осью «I» и определите момент инерции системы I₀’, относительно оси, проходящей через центр масс системы (r=0). Результат занесите в табл.28.

9. В табл.28 занесите значения массы стержня (m_ст указана на установке) и длину стержня _ст измерив ее линейкой (рис.42). Рассчитайте момент инерции I₀ стержня по формуле (4-36). Сравните I₀ с I₀’. Сделайте вывод.

10. Опыт (п.п. 1-8) повторите при тех же расстояниях r цилиндров от оси вращения, наматывая нить на шкив диаметром d₂, который предварительно измерьте штангенциркулем. Результаты всех измерений и вычислений занесите в табл.27.

График зависимости I_шк2 = I(r²) постройте на том же чертеже, что и первый график. Продолжив прямую до пересечения с осью «I». Определите I₀’’. Сравните с I₀. Сделайте вывод.

Таблица 27

№ опыта	m1, кг	m2, кг	m, кг	h, м	r, м	d1 = ….,м		d2 = ….,м
						t1,с	I1,кгм2	t2,с	I2,кгм2
Среднее значение
Среднее значение
Среднее значение

Таблица 28

mст, кг	ст, м	I0, кгм2	I0’, кгм2	I0’’, кгм2

11. Заполните табл. 29: из табл.27 перенесите значения t₁ и t₂ при раскручивании нити со шкива диаметром d₁ для двух положений цилиндра на стержне; t₁’ - время падения при крайних положениях цилиндров, но при раскручивании нити со шкива диаметром d₂; запишите соответствующие значения моментов инерции I₁ и I₂.

12. Рассчитайте ускорения ₁ и ₂, которые приобретает падающий груз при раскручивании нити со шкива d₁ (М₁ = const) по формуле (4-31) и найдите отношение этих ускорений ₁/₂. Результат занесите в табл.29.

13. Найдите отношение моментов инерции I₂/ I₁, соответствующее двум положениям цилиндров (нить намотана на шкив d₁). Сравните это отношение с отношением угловых ускорений (п.12) Сделайте вывод.

14. Рассчитайте ускорение ₁’, соответствующее крайнему положению цилиндров на стержне, но при разматывании нити со шкива d₂. Найдите отношение ₁/₁’. (при условии I = const). Результат занесите в табл.29.

15. Рассчитайте момент силы по приближенной формуле:

(4-43)

для двух случаев (нить наматывали на шкив d₁ и d₂), когда I = const (цилиндры сдвинуты на край стержней маятника). Результаты занесите в табл.29. Найдите отношение М₁/М₂ и сравните его с отношением ускорений ₁/₁’ (п.14). Сделайте вывод.

Таблица 29

шкив	t1,с	t2,с	t1’,с	1, с-2	2, с-2	1’, с-1	I1, кгм2	I2, кгм2	M1, Нм	M2, Нм
d1
d2
(M1 = const)					(I1 = const)

16. Для проверки закона сохранения механической энергии необходимо сравнить потенциальную энергию поднятой на высоту h чашки с грузом и общую кинетическую энергию поступательного движения груза и вращающегося маховика.

Рассчитайте линейную скорость  груза и угловую скорость  маховика по формулам (4-41) и (4-42) соответственно. Результаты занесите в табл.30.

17. Рассчитайте потенциальную энергию чашки с грузом на высоте h по формуле (4-37) и кинетическую энергию по формуле (4-38) при поступательном движении груза и по формуле (4-39) при вращательном движении маховика. Расчеты проведите для шкива диаметром d₁ и d₂ при крайних положениях цилиндров на стержне. Результаты вычислений занесите в табл.30.

18. Найдите суммарную кинетическую энергию системы W_к=W_пост+W_вр. Сравните эту энергию с потенциальной энергией. Рассчитайте работу сил сопротивления воздуха: А_с = (W_п – W_к) и найдите отношение А_с/W_п. Сделайте вывод.

Таблица 30

№ п/п	<t1>, с	, м/с	, с-1	h, м	Wп, Дж	Wпост, Дж	Wвр, Дж	Wк, Дж	Ас, Дж
1. 2.

ПРИМЕЧАНИЕ: Если отношение А_с/W_п < 0,1, то можно говорить о выполнении закона сохранения механической энергии; если же отношение А_с/W_п>0,1, - о законе изменения механической энергии.

ЗАДАНИЕ 3. Определение момента инерции маховика динамическим методом и проверка основных законов динамики вращательного движения твердого тела

Оборудование. маховик, насаженный на вал со шкивом; секундомер; штангенциркуль; масштабная линейка; набор тел различной массы

Рис.43

Экспериментальная установка (рис.43), используемая в данной работе, представляет собой маховик 1 на одном валу со шкивом 2, вращающийся вокруг горизонтальной оси, совпадающей с осью симметрии (перпендикулярно плоскости основания цилиндра). На шкив 2 наматывают нить, к свободному концу которой привязывают груз 4. При движении груза нить раскручивается, и маховик приходит во вращательное движение, уравнение которого имеет вид:

М – М_тр = I, (4-44)

где М и М_тр – соответственно момент действующей силы и момент сил трения;  - угловое ускорение маховика; I – его момент инерции.

По определению момент силы относительно оси вращения равен

М = Fr, (4-45)

где F – сила, сообщающая маховику вращательное движение; r – радиус основания шкива (плечо силы - рис.44).

С учетом выражения (4-45) формула (4-44) примет вид:

Fr – М_тр = I. (4-46)

Уравнение поступательного движения груза, падающего с ускорением а, согласно второго закона Ньютона, будет иметь вид:

mg - F_н = ma. (4-47)

Рис.44

СилаF, создающая вращательный момент, численно равна силе натяжения (рис.44) по 3 закону Ньютона. Поэтому, выразив F_н из (4-47) и подставив (4-46), получим

m(g – a)r – M_тр = I (4-48)

Линейное ускорение, с которым движется груз 4, можно определить по формуле (4-30).

Угловое ускорение связано с линейным (тангенциальным) ускорением соотношением:

С учетом (4-30) последнюю формулу перепишем в виде:

(4-49)

За время падения груза угловая скорость вращения маховика достигает значения

, (4-50)

где d = 2r – диаметр маховика.

Момент сил трения по второму закону Ньютона равен

, (4-51)

где ’ – угловое ускорение, возникающее под действием сил трения при торможении маховика. По определению

,

где ₀ – угловая скорость в момент начала торможения; t’ – время торможения маховика под действием сил трения до его полной остановки (=0). Поэтому угловое ускорение при торможении будет равно

(4-52)

С учетом формулы (4-50) выражение (4-52) примет вид:

(4-53)

Подставим значение ’ в формулу (4-51). Получим

(4-54)

С учетом последнего соотношения уравнение (4-48) примет вид:

Выразим отсюда момент инерции маховика.

После несложных преобразований получим рабочую формулу для определения момента инерции.

В условиях эксперимента в данной работе gt² >> 2h. Поэтому вторым слагаемым в последней формуле можно пренебречь. Окончательно формула для нахождения момента инерции будет иметь вид:

(4-55)

Согласно теории, момент инерции сплошного однородного цилиндра (маховика) относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости основания, равен

, (4-56)

где D = 2R – диаметр маховика, m_д – его масса.

Масса диска будет равна m_д = V, где  - плотность вещества; V – объем маховика, который равен

(-длина цилиндра). Тогда масса будет равна

(5-57)

В данной работе предлагается сравнить экспериментально найденное значение момента инерции (4-55) с теоретическим значением I_т (4-56).

Груз 4 (рис.43), поднятый на высоту h, обладает потенциальной энергией

W_п = mgh. (5-58)

По мере падения груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения груза и вращательного движения маховика, которые соответственно равны

; (5-59)

(5-60)

Изменение механической энергии идет на совершение работы против сил трения в подшипниках

А_тр = W_п – (W_пост + W_вр). (5-61)

С другой стороны, работа сил трения при вращении маховика будет равна

, (5-62)

где  - угловой путь точки на ободе шкива за время падения груза. За один оборот маховика нить раскручивается на величину =2r (r – радиус шкива). При падении груза на пол нить раскручивается на полную длину (=h) и маховик при этом совершает n оборотов.

Угол, на который повернется точка на ободе шкива за время падения груза, будет равен

(4-63)

(d = 2r – диаметр шкива; угол  выражен в радианах).

Тогда формула (4-62) примет вид:

,

где М_тр – момент сил трения можно рассчитать по формуле (4-54) и приближенно считать его величиной постоянной. Окончательно тогда получим выражение для работы сил трения (учетом формулы (4-56)):

(4-64)

Сравнивая (4-64) с (4-61) можно сделать вывод о точности предложенного метода в данной работе. Сравнивая работу А_тр с потенциальной энергией груза в начале падения, можно сделать вывод о степени выполнения закона сохранения механической энергии в условиях поставленного эксперимента.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте штангенциркулем диаметр d шкива (по желобу) несколько раз, поворачивая его вокруг оси. Найдите среднее значение диаметра <d>. Результаты измерений занесите в табл.31.

2. Вставьте в прорезь на ободе шкива узелок нити и, вращая его, намотайте нить на шкив, подняв груз на некоторую высоту h (от нижнего торца груза до поверхности пола). Измерьте высоту h. В табл.31 занесите значения высоты h и массы груза (m₁ указана на установке).

3. Отпустите маховик, включите одновременно секундомер и измерьте время падения груза на пол с высоты h, выключив его в момент касания грузом поверхности пола. Опыт повторите не менее 3 раз. Найдите среднее значение <t>. Результаты занесите в табл.31.

При проведении опытов следите, чтобы нить не проскальзывала, а постепенно разматывалась по мере опускания груза. В момент касания грузом пола нить должна «освободить» шкив.

4. Измерьте время торможения t’ маховика, включив секундомер в момент касания грузом пола и выключив в момент полной остановки маховика. Опыт повторите не менее 3 раз. Найдите среднее значение <t’> и результаты запишите в табл.31.

5. Опыты (п.п.2-4) повторите с другим грузом (массой m₂). Результаты занесите в табл.31.

6. Рассчитайте момент инерции по формуле (4-55) для каждого опыта. Найдите средние значения <I₁> и <I₂>. Результаты занесите в табл.31. Сравните <I₁> и <I₂>. Сделайте вывод.

7. Оцените случайную погрешность I по формуле Стьюдента и запишите результат в виде: I = <I>  I. Найдите относительную погрешность  = I/<I>.

8. Рассчитайте момент инерции маховика по формуле (4-56), измерив диаметр <D> маховика и его длину и рассчитав массу диска по формуле (4-57). Результат занесите в табл.32. Сравните экспериментальное и теоретическое значения моментов инерции. Сделайте вывод.

Таблица 31

№ опыта	d, м	h, м	m1 = …. кг			m2 = …. кг
			t1, с	t1’, с	I1, кгм2	t2, с	t2’, с	I2, кгм2
Среднее значение

Таблица 32

<D>, м	<>, м	, кг/м3	mд, кг	Iт, кгм2
		7,8103

9. По формуле (4-49) рассчитайте угловое ускорение ₁ и ₂ соответственно при падении грузов m₁ и m₂. Найдите отношение ₁/₂. Результаты занесите в табл.33.

10. Рассчитайте моменты сил M₁ и M₂ по приближенной формуле, которая получена после преобразований формул (4-45), (4-47) и (4-30)

(4-65)

Найдите отношение М₁/М₂. Результаты занесите в табл.33

11. Сравните отношения ускорений (п.9) и моментов сил (п.10). Сделайте вывод.

Таблица 33

№ п/п	m, кг	d, м	М, Нм	h, м	t, с	, с-2
1
2

11. По формулам (4-58), (4-59) и (4-60) рассчитайте потенциальную энергию, кинетическую энергию поступательного движения груза и кинетическую энергию вращающегося маховика, определив предварительно максимальную угловую скорость ₀ вращения маховика по формуле (4-50) и линейную скорость  груза в момент падения на пол – по формуле (4-41). Момент инерции возьмите из табл.31. Результаты занесите в табл.34.

12. Сравните потенциальную энергию W_п в начальный момент и суммарную кинетическую энергию (W_вр + W_пост) в момент падения на землю. Рассчитайте работу против сил трения А_тр по формуле (4-61). Результаты занесите в табл.34.

13. Рассчитайте работу против сил трения (А’_тр) по формуле (4-64). Сравните А_тр и А’_тр. Сделайте вывод. Оцените, какую долю от первоначальной энергии составляет работа против сил трения. Если отношение (А_тр/W_п)100% < 10%, то можно сделать вывод о выполнении закона сохранения энергии.

Таблица 34

№ п/п	m, кг	h, м	, м/с	0, с-1	I, кгм2	Wп, Дж	Wпост, Дж	Wвр, Дж	Wк, Дж
1
2
Атр­ = … , Дж			Атр’­ = … , Дж			(Атр­/Wп)100% = … ,%

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое движение твердого тела называется поступательным? Вращательным? В чем отличие уравнений поступательного и вращательного движения?

2. Что называется угловой скоростью, угловым ускорением и угловым путем? Какова связь угловых величин (, , ) с линейными (S, , а_)?

3. Что называется моментом инерции материальной точки, системы точек и твердого тела? От каких факторов зависит момент инерции, и какое свойство тела он характеризует? Как формулируется теорема Штейнера?

4. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения? Что называется моментом силы относительно точки и относительно оси вращения?

5. Что называется моментом импульса относительно оси вращения? В чем смысл закона сохранения момента импульса? При каких условиях он выполняется?

6. Как рассчитать кинетическую энергию вращающегося тела относительно неподвижной оси и тела, катящегося без скольжения?

7. В каком случае скорость у основания наклонной плоскости будет больше: а) тело скатывается с нее без скольжения; б) тело соскальзывает с плоскости? Почему? Запишите закон сохранения механической энергии для того и другого случая.

8. Почему колебания трифилярного подвеса (задание 1) должны быть строго крутильными и почему нельзя допускать поперечных колебаний? Какой вид имеет закон сохранения механической энергии в случае крутильных колебаний трифиляра?

9. Какая сила сообщает вращательное движение маховику (задание 2 и 3)? Как записываются уравнения движения тел (задание 2 и 3)? Как записывается закон сохранения механической энергии в том и другом случае?

10. Какие законы вращательного движения проверяются в данной работе? Как это осуществляется на практике?

11. С двух наклонных плоскостей длиной каждая с высотыh скатываются без скольжения диск и шар одинаковой массы. Какое из этих тел быстрее достигнет основания наклонной плоскости? Будет ли зависеть результат от массы и диаметра этих тел?

12. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью _о, равна 100 Дж. Как изменится момент импульса вала, если увеличить угловую скорость в 2 раза? Во сколько раз увеличится кинетическая энергия вала?

13. На вал 1 (рис.45а) и шкив 2 (рис.45б) одинаковой массы М, намотаны нити, к свободному концу которых привязаны грузы одинаковой массы m. Какой из грузов (а или б) движется с большим ускорением? Какое из вращающихся тел (вал или шкив) обладают большей кинетической энергией в один и тот же момент времени?

14. Вал, диаметр которого d и длина , свободно вращается без трения в подшипниках (рис.46а) с угловой скоростью₀. С какой скоростью будет вращаться вал, если на него надеть муфту из того же материала длиной и внешним диаметромd₁ = 3d (рис. 46б)?

Рис.45

Рис.46

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Детлаф А. А., Яворский Б.М. Курс физики. – М: Высшая школа, 1989

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М: Высшая школа 1999

3. Дубровский И.М. и др. Справочник по физике. – Киев: Наукова думка,1986

4. Лабораторные работы по физике. /Под ред. Гольдина Л.Л.. – М.: Наука, 1983

5. Сена Л.А. Сборник вопросов и задач по физике. – М: Высшая школа, 1981

6. Механика. Метод. указ. к лабораторным работам./Составители: Зубакин А.М. Лесникова В.Г. –Красноярск, 1996.

7. Механика. Акустика. Метод. указания к лаборат. работам./Составители: Лесникова В.Г., Стреж В.В. -–Красноярск, 1996.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ ГАРМНИЧЕСКИХ

И ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: а) изучение свободных гармонических колебаний с помощью математического и физического маятника;

б) изучение затухающих колебаний с помощью математического маятника;

в) определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника.

Процессы, сопровождающиеся взаимным превращением одного вида энергии в другой и повторяющиеся во времени, называются колебаниями. Колебания, повторяющиеся через равные промежутки времени, называютсяпериодическими. Периодические колебания, совершающиеся по закону синуса (или косинуса),называются гармоническими. Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

Х = Х₀sin(₀t + ₀), (5-1)

где Х – смещение точки от положения равновесия в данный момент времени; Х₀– максимальное отклонение от положения равновесия в начальный момент времени (амплитуда); (₀t+₀) – фаза колебаний в данный момент времени;₀– фаза колебаний в начальный момент времени (t= 0);₀- циклическая частота собственных колебаний, связанная с периодом Т колебаний соотношением:

, (5-2)

Период колебаний - время одного полного колебания.

Колебания, совершающиеся в системе, предоставленной самой себе, за счет первоначально сообщенной энергии, называются свободными (или собственными). Свободные колебания являются незатухающими.

Продифференцировав уравнение (5-1) дважды по времени, получим основное уравнение гармонических колебаний.

(5-3)

Полная энергия собственных колебаний равна сумме потенциальной и кинетической энергии в любой момент времени; для данной системы она зависит только от амплитуды колебаний.

(5-4)

Можно показать, что коэффициент пропорциональности в последней формуле (5-4) равен

(5-5)

В реальной системе энергия колеблющейся точки убывает, так как часть ее расходуется на преодоление сил сопротивления среды. Как видно из формулы (5-4), уменьшение энергии влечет за собой уменьшение амплитуды колебаний (K=const). Таким образом, колебания в реальной системе будут затухающими. Уравнение затухающих колебаний имеет вид:

(5-6)

Решением этого уравнения является выражение

, (5-7)

где амплитуда затухающих колебаний в любой момент времени равна

; (5-8)

частота затухающих колебаний –

; (5-9)

₀– частота собственных колебаний;- коэффициент затухания.

Кроме коэффициента затухания , колебания в реальной системе характеризуются логарифмическим декрементом затуханияи добротностью системыQ.

(5-10)

, (5-11)

где Х_0tиX_(t+T)- - амплитуды колебаний в моменты времени соответственноtи (t+T), т.е. через один период;W_tиW_t+T– энергия системы в момент времениtи через период - (t+T).

При малых затуханиях (0 и<<1) добротность приближенно равна

(5-12)

Логарифмический декремент связан с коэффициентом затухания соотношением:

(5-13)

Время , в течение которого амплитуда уменьшается в е раз (X_0t/X_0(t+T)=e2,73), называется временем релаксации.

(5-14)

За время релаксации система совершает N_eполных колебаний:

(5-15)

ЗАДАНИЕ 1. Изучение собственных колебаний с помощью математического маятника

Оборудование: математический маятник; секундомер; масштабная линейка

Рис.47

Простейшей колебательной системой является математический маятник, представляющий материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити. На практике математическим маятником считают небольшой шарик (рис.47) на длинной нити (>>R); при этом полагают, что масса сосредоточена в центре шарика (массой нити пренебрегают).

Можно показать, что при малых колебаниях (угол отклонения нити от вертикали мал: 10⁰), колебания маятника будут гармоническими.

При отклонении маятника от вертикали на малый угол (рис.47) возникает возвращающая сила. Из треугольника сил видно, что

F_в = - mg sin(5-16)

Знак «минус» показывает, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. против смещения Х.

При малых углах можно произвести замену: считать, что смещение Х приближенно равно хорде АА’. Тогда из ОВА’ получим

(5-17)

С учетом этого выражения возвращающая сила будет равна

,

где К – коэффициент пропорциональности равен

. (5-18)

Сила, неупругая по своей природе, но изменяющаяся по закону F= -KX, называется квазиупругой силой.

Согласно второго закона Ньютона уравнение собственных колебаний маятника будет иметь вид:

После несложных преобразований получим

(5-19)

где - частота собственных колебаний. Уравнение

(5-19) совпадает с уравнением (5-3).

Таким образом, колебания математического маятника с малой амплитудой являются гармоническими. Циклическая частота собственных колебаний математического маятника будет равна

(5-20)

Сравнивая формулы (5-20) и (5-2), найдем выражение периода колебаний математического маятника.

. (5-21)

Из последнего соотношения видно, что период колебаний математического маятника зависит только от длины нити: Т.

Экспериментальная установка показана на рис.48. Чтобы обеспечить колебания маятника строго в одной плоскости шарик подвешивают так, как показано на рис.48. Длину нити можно изменять, смещая вдоль стойки штатива кольцо К, к которому привязан один конец нити. При этом за длину маятника принимается расстояние от центра шарика до точки подвеса по вертикали. Методика измерения длины понятна из рис.48: .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Смещая кольцо К (рис.48) вниз по стойке штатива до упора, установите минимальную длину маятника (0,5 м). Измерив, результат занесите в табл.35.

2

Рис.48

. Отклоните маятник от положения равновесия, слегка подтолкнув его в направлении, перпендикулярном плоскости, образованной нитями (угол<10⁰). Примерное соотношение между углом отклонения маятника (= 1 м) и смещением от положения равновесия приведено в табл.17. Выждав некоторое время, пока колебания не установятся (через 3-4 полных колебания), включите секундомер в момент максимального отклонения от положения равновесия и измерьте время нескольких полных колебаний (по указанию преподавателя). Опыт повторите не менее 3 раз. Результаты занесите в табл.35. Найдите среднее значение <t>.

3. Для каждого опыта рассчитайте период колебаний по формуле:

(5-22)

и найдите среднее значение периода <T>.

4. Рассчитайте циклическую частоту _особственных колебаний маятника по формуле (5-2) по среднему значению периода ипо формуле (5-20). Сравните значения_о (экспериментальное) и(теоретическое) между собой. Циклическую частоту считайте до третьего десятичного знака.

5. Измените длину нити маятника, сместив кольцо К примерно на середину стойки; повторите опыты по определению периода колебаний (п.п.1-4). Результаты занесите в табл.35.

6. Повторите опыты с максимальной длиной маятника, сместив кольцо К вверх по стойке, пока указатель, которым снабжен шарик, не достигнет поверхности стола, оставив при этом зазор 3-5 мм. Результаты занесите в табл.35.

7. Оцените погрешность измерения периода Т (для максимальной длины). Запишите результат в виде: Т = <T>Tи рассчитайте относительную погрешность эксперимента.

8. Заполните табл.36, воспользовавшись данными табл.35. Постройте график зависимости периода колебаний математического маятника от его длины, откладывая по оси ординат период Т, а по оси абсцисс - . Сделайте вывод о характере зависимости Т(), полученной экспериментально.

9. Рассчитайте период Т’ по теоретической формуле (5-21) для тех же длин маятника. Результат занесите а табл.36. Постройте теоретический график на том же чертеже. Оцените погрешность эксперимента графическим способом. Сделайте вывод.

Таблица 35

№ опыта	n	1= …. м			2= …. м			3= …. м
		t1,с	Т1,с	01, с-1	t2,с	Т2,с	02, с-1	t3,с	Т3,с	03, с-1
Среднее значение
с-1 (теорет.)

Таблица 36

№ п/п	, м	, м1/2	<T>, с (экспер.)	Т’, с (теор.)

ЗАДАНИЕ 2. Изучение затухающих колебаний математического маятника

Оборудование: математический маятник, секундомер, масштабная линейка

1. Установите максимальную длину маятника, сместив кольцо К (рис.48) по стойке штатива; расположите линейку так, чтобы указатель, которым снабжен шарик, двигался бы строго вдоль края линейки. Подведите под указатель в положении равновесия какое-либо деление линейки (например, «50»).

2

Рис.49

. Отклоните маятник от положения равновесия на расстояние Х₀₁=20см (рис. 49). Отпустив маятник, включите сразу секундомер. Измерьте время, в течение которого амплитуда уменьшится в 2 раза и станет равной Х₀₂=10 см, считая при этом число колебанийN, которое сделает маятник за измеренный промежуток времени.

Опыты повторите не менее 3 раз. Результаты всех измерений занесите в табл.37. Найдите среднее время <t>.

3. Рассчитайте период колебания маятника для каждого опыта и найдите среднее значение <T>.

4. Рассчитайте логарифмический декремент затухания по формуле

(5-23) для каждого опыта и найдите <>.

(5-23)

Результаты занесите в табл.37. Оцените погрешность эксперимента по формуле Стьюдента и запишите результат в виде:= <>. Найдите относительную погрешность.

5. Рассчитайте коэффициент затухания , время релаксациии добротностьQсистемы соответственно по формулам (5-13), (5-14) и

(5-12) по средним значениям <> и <T>. Результаты занесите в табл.37.

6. Рассчитайте циклическую частоту <> затухающих колебаний по формуле (5-2) с точностью до третьего десятичного знака.

7. Выразите из формулы (5-9) циклическую частоту собственных колебаний и рассчитайте ее. Сравните частоты собственных и затухающих колебаний, полученных в эксперименте. Результаты занесите в табл.37.

8. По формуле (5-15) найдите число колебаний N_е, после которых амплитуда уменьшится в е раз, т.е. в 2,73 раза. СравнитеN_ес числом полных колебанийNза время уменьшения амплитуды в 2 раза. Сделайте вывод.

9. Повторите опыты при двух других значениях начальных амплитуд (10 см и 30 см) по одному опыту. Результаты занесите в табл.37.

10. Проанализировав полученные данные, сделайте выводы, как влияют внешние условия на колебания маятника.

Таблица 37

№ опыта

Х01, см

Х02, см

t, с

N

T, с



, с-1

, с

Q

, с-1

0, с-1

Nе

10

5

Среднее значение

20

10

30

15

ЗАДАНИЕ 3. Изучение зависимости периода собственных колебаний физического маятника от расстояния точки подвеса до центра масс и определение ускорения свободного падения

Реальное тело, способное совершать колебания около неподвижной оси, не проходящей через центр масс, называется физическим маятником.

Можно показать, что при малых амплитудах колебания физического маятника будут гармоническими, которые подчиняются уравнению вида (5-3). При отклонении маятника от положения равновесия на малый угол (рис.50) возникает возвращающая сила, которая создает вращательный момент.

М = -F_вL,

где L– плечо силыF_в(расстояние от центра масс до точки подвеса рис.50). Знак минус показывает, что возвращающая сила всегда направлена против смещения к положению равновесия. Как следует из рис.50, возвращающая силаF_вравна

F_в = mg sin. (5-24)

При малых углах отклонения sinи тогда момент силы с учетом формулы (5-24) примет вид

М  mg L(5-25)

Рис.50

Основное уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид:

,

где - угловое ускорение,I– момент инерции тела относительно оси вращения.

Преобразовав последнее уравнение, получим выражение, которое идентично уравнению

(5-3).

,

где циклическая частота собственных колебаний физического маятника равна

(5-26)

Сравнивая выражение (5-26) с (5-2), получим формулу для периода колебаний физического маятника.

(5-27)

Последнее выражение Т_фаналогично формуле (5-21) для периода колебаний математического маятника Т_м. Таким образом, если подобрать длину математического маятника так, чтобы Т_ф= Т_м, (эта длина будет называться приведенной длиной физического маятника), то можно найти приведенную длину по формуле:

(5-28)

Период колебаний физического маятника при этом будет равен

(5-29)

Выразив момент инерции по теореме Штейнера и подставив в формулу (5-28), получим

, (5-30)

где I₀– момент инерции тела относительно оси, совпадающей с центром масс. Из последней формулы видно, что приведенная длина больше расстояния оси вращения (точки подвеса) до центра масс:.

Точка О’, лежащая на прямой СО (рис.50) на расстоянии, равном от точки подвеса О, называется точкой качания. Если поменять местами точку качания и точку подвеса, т.е. закрепить тело в точке О’, то период колебаний физического маятника останется прежним. Таким образом, всегда можно найти две точки, относительно которых период колебаний будет одинаковым.

Рис.51

Следовательно, измеряя расстояниеLточки подвеса до центра масс, можно рассчитать приведенные длиныLи соответствующие им периоды колебаний Т_ф; таким образом, можно установить характер зависимости Т_ф(L).

В данной лабораторной работе в качестве физического маятника используется прямой однородный стержень длиной около 1 м (рис.51). С помощью трехгранной призмы стрежень укреплен на кронштейне (на рис.51 не показан). Призму можно смещать вдоль стрежня, меняя тем самым расстояние Lцентра масс до точки подвеса. По мере приближения ребра призмы (точки подвеса) к середине стрежня период колебаний будет меняться (рис.52). Он сначала убывает постепенно. ПриL=L₀период колебаний физического маятника достигает минимального значения, после чего он начинает возрастать сначала плавно и медленно, а затем при некотором расстоянииL₁он резко взрастает и приL0 период Т.

Рис.52

РасстояниеL₀, при котором период Т = Т_min, можно найти, взяв первую производную от периода (5-27) поLи приравняв ее к нулю. Решив полученное уравнение относительноL, найдем для однородного стержня выражение:(5-31)

Минимальное значение периода колебаний при этом будет равно

, (5-32)

где приведенная длина маятника при

L=L₀равна

(5-33)

Преобразуем выражение (5-30). Получим квадратное уравнение относительно L

,

которое будет иметь два вещественных корня L₁иL₂, когда период колебаний имеет одно и то же значение. Как было указано выше, таким свойством обладают две точки, отстоящие друг от друга на расстоянии(рис.47) – точка качания и точка подвеса, т.е. можно записать

(5-34)

Таким образом, построив график зависимости T=T(L), можно найти приведенную длину физического маятника (рис.51) по формуле (5-34), определивL₁иL₂при заданном значении периода Т_i.

Зная приведенную длину и соответствующий ей период колебаний, можно рассчитать ускорение свободного падения, воспользовавшись формулой (5-29).

(5-35)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте длину стержня (рис.51). Запишите ее значение в табл.38. Закрепите призму на конце стержня. Отметьте мелом середину стержня (точка С) и через 3-5 см (по указанию преподавателя) нанесите метки до точки С (их должно быть не менее 10-12). Установите призму на кронштейн, поместив ее ребро в имеющуюся прорезь.

2. Определите расстояние Lот ребра призмы до центра масс:, гдеh– высота призмы (рис.51). Запишите результат в табл.38.

3. Отклоните маятник от положения равновесия на небольшой угол <10⁰. Отпустите его, включив одновременно секундомер. Измерьте время 10 полных колебаний (не менее 3 раз). Результаты занесите в табл.38.

4. Рассчитайте период колебаний стержня по формуле (5-22). Результаты занесите в табл.38. Найдите среднее значение <T>.

5. Смещая призму по стержню вниз по нанесенным меткам (через 3-5 см) повторите опыты по измерению времени 10 полных колебаний и периода T_i(для каждого положения не менее 3 раз). РасстояниеLпри этом будет уменьшаться на 3-5 см.

6. Постройте график зависимости <T> = Т(L). При этом обратите особое внимание на выбор масштаба вдоль оси «Т»: при неудачно выбранном масштабе не получиться ярко выраженной «ямы» на графике и определение расстоянийL₁иL₂будет затруднено (рис.52).

7. Найдите из графика величину L₀, когда период имеет минимальное значение Т_min. ЗапишитеL₀и Т_minв табл.39. РассчитайтеL’₀по формуле (5-31) и минимальный период Т’_minпо формуле (5-32). СравнитеL₀и Т_min(полученные из графика) сL’₀и Т’_min(по формуле). Сделайте вывод. Рассчитайте, соответствующую Т_minпо формуле (5-33). Результат запишите в табл.39.

8. Воспользовавшись графиком зависимости Т = Т(L), для трех произвольных значений Т_iнайдите расстоянияL_1iиL_2iи рассчитайте приведенную длину, соответствующую каждому значениюT_i. Периоды следует выбирать в той части графика, где горизонтальные прямые пересекают его в двух точках. Результаты занесите в табл.40.

9. По формуле (5-35) рассчитайте ускорение свободного падения для каждого случая. Найдите среднее значение <g>. Результаты занесите в табл.40.

10. Оцените случайную погрешность gпо формуле Стьюдента и запишите результат в виде:g= <g>g. Найдите относительную ошибку эксперимента.

Таблица 38

№ точки	,м	h, м	L, м	№ опыта	t, с	Т, с	<T>, с
1				1. 2. 3.
2				1. 2. 3.
3 и т.д.				1. 2. 3.
Не менее 10 точек

Таблица 39

L0, см	Тmin, с	L0’, см	Тmin’, с	, см

Таблица 40

№ п/п	Т, с	L1, м	L2, м	, м	g, м/с2	gтабл, м/с2
						9,81
Среднее значение

ЗАДАНИЕ 4 (дополнительное). Определение момента инерции стержня относительно произвольной оси вращения

1. Определите момент инерции стержня относительно произвольной оси, выразив его из формулы (5-28), для трех расстояний Lточки подвеса до центра масс.

, (5-36)

где m- масса стержня (указана на установке). ЗначенияLивозьмите из табл.40, выбрав из шести значений три:L_max,L_minи промежуточное значениеL. Результаты занесите в табл.41.

2. Постройте график зависимости I=I(L²). Продолжив график до пересечения с осью «I», определите момент инерцииI₀стержня относительно оси, проходящей через центр масс. Результат занесите в табл.41.

3. Рассчитайте моменты инерции I’ стержня по теореме Штейнера для тех же расстоянийL.Результаты занесите в табл.41. Постройте график зависимостиI’(L²) на том же чертеже, что и графикI(L²). Сделайте вывод.

4. Рассчитайте момент инерции I’₀относительно оси, проходящей через центр масс стержня, по формуле:

(5-37)

Результат занесите в табл.41. Сравните I₀cI’₀. Сделайте вывод, объяснив небольшое расхождение экспериментальных и теоретических результатов.

Таблица 41

№ п/п	mст, кг	, м	L, м	, м	I, кгм2	I’, кгм2	L2, м2
I0=				I’0=

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие колебания называются гармоническими? Какой вид имеет уравнение гармонических колебаний? Какая сила сообщает телу гармонические колебания?

2. Что называется амплитудой, частотой, периодом и фазой колебания?

3. Как определить скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания?

4. Чему равны потенциальная, кинетическая и полная энергии при гармонических колебаниях?

5. Какие колебания называются затухающими? Какой вид имеет уравнение затухающих колебаний? По какому закону убывает амплитуда затухающих колебаний?

6. Что называется временем релаксации, коэффициентом затухания, логарифмическим декрементом и добротностью системы? Какова связь между этими характеристиками?

7. Что представляет собой математический маятник? Что принимают на практике за математический маятник? От чего зависит период колебаний математического маятника?

8. Что называется физическим маятником? При каких условиях колебания физического маятника будут гармоническими? От чего зависит период колебаний физического маятника?

9. Что называется приведенной длиной физического маятника? Как на практике можно определить приведенную длину?

10. В чем суть метода определения ускорения свободного падения с помощью физического маятника и математического маятника?

11. Как на практике можно определить момент инерции тела относительно неподвижной оси, не проходящей через центр масс, не используя теорему Штейнера?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Детлаф А. А., Яворский Б.М. Курс физики. – М: Высшая школа, 1989

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М: Высшая школа 1999

3. Механика. Акустика. Метод. указания к лаборат. работам./Составители: Лесникова В.Г., Стреж В.В. -–Красноярск, 1996.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6*

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА

МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН

Цель работы: а) изучение стоячих волн, возникающих в акустической трубе;

б) определение скорости звука методом стоячих волн

Оборудование: акустическая труба, звуковой генератор, наушник, масштабная линейка, комнатный термометр

Рис.53

Колеблющееся тело периодически воздействует на прилегающие к нему частицы среды, в результате чего они начинают совершать вынужденные колебания. При этом среда вблизи колеблющегося тела деформируется и в ней возникают упругие силы. Эти силы действуют как на прилегающие частицы, стремясь вернуть их в исходное состояние, так и на более удаленные частицы, выводя их из положения равновесия. Эти частицы, в свою очередь, взаимодействуют с соседними частицами и, таким образом, постепенно в колебательное движение вовлекаются все более удаленные частицы.

Любое нарушение стационарного состояния упругой среды в какой-либо точке приводит к появлению механических (или упругих) волн. Тела, которые, воздействуя на упругую среду, вызывают эти возмущения, называются источниками волн.

Волна, распространяющаяся от источника, называется бегущей волной. Расстояние, на которое распространяется волна вдоль некоторого направления за один период, называется длиной волны  (рис.53).

, (6-1)

где  - скорость волны в данной среде, Т – период волны,  - ее частота.

Из определения волны вытекает, что точки волны, отстоящие друг от друга на расстоянии , колеблются в одинаковой фазе (рис.53); а точки, отстоящие друг от друга на расстояние /2, колеблются в противофазе.

Из последней формулы следует, что скорость волны равна

. (6-2)

Т

Рис.54

аким образом, зная частоту колебаний () и измеряя длину волны (), можно рассчитать скорость звука по формуле (6-2).

При распространении двух волн с одинаковой амплитудой и частотой вдоль одного направления, но навстречу друг другу, происходит их наложение, в результате которого возникает стоячая волна. Такая волна образуется, например, при наложении бегущей и отраженной волн (рис.54).

В стоячей волне наблюдаются узлы (точки, в которых колебаний нет и амплитуда А=0) и пучности (точки, в которых амплитуда колебаний максимальная и равна 2А). При этом все точки среды между двумя соседними узлами колеблются в одинаковой фазе; при переходе через узел фаза колебаний меняется скачком на противоположную.

Уравнение бегущей волны имеет вид:

.

Уравнение отраженной волны –

,

где k = 2/ - волновое число.

Уравнение стоячей волны, образующейся при наложении бегущей и отраженной волны, можно найти как сумму ₁(x,k) + ₂(x,k).

(6-3)

В стоячей волне скорость колебательного движения частиц среды равна

. (6-4)

Относительная деформация среды в стоячей волне равна

(6-5)

Таким образом, в стоячей волне относительная деформация среды опережает колебательную скорость ее частиц по фазе на /2, т.е. в те моменты, когда _кол максимальна, деформация  = 0 и наоборот. Причем в пучностях стоячей волны располагаются пучности колебательной скорости и узлы относительной деформации; в узлах волны – пучности деформации и узлы _кол. Это объясняется тем, что максимальная колебательная скорость и максимальная деформация зависят от координаты точки (х) по-разному. Это следует из формул (6-4) и

(6-5).

Характерным свойством волнового движения является перенос энергии (но не вещества!) в пространстве. В стоячей волне энергия периодически преобразуется из потенциальной (она локализована вблизи пучности деформации) в кинетическую, которая локализована вблизи пучности колебательной скорости и наоборот. Поэтому энергия периодически переносится от узлов к пучностям стоячей волны и от пучностей к узлам. В узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю, так как среднее значение энергии за период равно нулю (бегущая и отраженная волны переносят энергию навстречу друг другу). В силу этого стоячая волна и получила свое название.

Звуковые волны – это слабые механические возмущения упругой среды, способные воздействовать на орган слуха человека, вызывая слуховые ощущения, если частота  соответствующих им колебаний лежит в интервале от 20 Гц до 20 кГц. Звуковые волны в указанном диапазоне частот называются слышимыми звуками.

Упругие волны с частотой  < 20 Гц и  > 20 кГц, называются соответственно инфразвуками и ультразвуками.

Источниками звука могут быть любые тела, способные совершать колебания с частотами, указанными выше (например, струна, колокольчик, голосовые связки человека и т.д.). В настоящее время при изучении звуковых колебаний используется специальное радиотехническое устройство, называемое звуковым генератором (ГЗ).

Звук распространяется от источника с конечной скоростью _зв, величина которой зависит от состояния среды и ее упругих свойств. Например, в газообразной среде скорость звука равна

, (6-6)

где  = С_р/С_v – отношение теплоемкостей при постоянном давлении (С_р) и постоянном объеме (С_v), которое называется показателем адиабаты (для воздуха   1,33), R = 8,3 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная,  - молярная масса газа (для воздуха

 = 2910^-3 кг/моль).

С учетом значений , R,  получим формулу для скорости звука в воздухе.

(6-7)

Таким образом, чтобы определить скорость звука в воздухе, достаточно измерить температуру, выразив ее по термодинамической шкале в кельвинах.

При 0⁰С скорость звука ₀  330,5 м/с. При 20⁰С она уже составляет около 340 м/с. В воде звук распространяется со скоростью в 4,25 раза быстрее, чем в воздухе; в металлах она составляет величину порядка 10³, т.е. несколько тысяч м/с.

В данной работе предлагается определить скорость звука методом стоячих волн. Их можно получить в цилиндрической трубе с открытым концом. При колебаниях столба воздуха в трубе у закрытого конца наблюдается пучность звукового давления, а у открытого конца – его узел. Если на длине трубы () укладывается целое число полуволн (/2), то положение пучностей можно определить из соотношения:. Отсюда длина волны равна

, (6-8)

где m = 0,1,2,3, … - целые числа.

Рис.55

С помощью звукового генератора (ГЗ) в наушнике (Т) возбуждаются звуковые колебания определенной частоты, которые распространяются вдоль трубы (рис.55). От поршня Р волна отражается и, накладываясь на бегущую волну, образует стоячую волну: у открытого конца образуется узел звукового давления. При перемещении поршня в трубе через каждые/2 узлы будут повторяться. Между узлами стоячей волны располагаются пучности, которые будут повторяться через /2. Первый максимум звукового давления, считая от открытого конца трубы (от наушника Т), образуется на расстоянии ; второй, третий, четвертый и т.д. максимумы образуются на расстояниях:,,и т.д. Эти данные подтверждаются формулой (6-8), если в нее подставлять числаm = 0,1,2,3 и т.д.

Таким образом, измерив расстояния , зафиксировав тем самым положения первых четырех максимумов, можно рассчитать длину волны по формуле (6-8), а затем - скорость звука по формуле (6-2) по заданному значению частоты.

На практике измеряют не длину воздушного столба (труба непрозрачна), а выступающую часть штока поршня (рис.55). При прохождении поршнем пучности звукового давления на слух улавливается резкое усиление звука.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. По заданию преподавателя установите на звуковом генераторе определенную частоту ₁. Подключите наушник к выходу ГЗ. Включите генератор в сеть. Переведите тумблер «сеть» в положение «вкл». Прогрейте генератор в течение 1-2 мин (до появления звука). Вдоль трубы у противоположного конца (рис.55) расположите линейку, с помощью которой будете измерять длину выступающей части штока при определенном положении поршня.

2. После появления звукового сигнала медленно и равномерно выдвигайте поршень до появления первого максимума (резкого усиления звука). Измерьте выступающую часть штока . Занесите значения₁ и в табл.42.При проведении эксперимента студент должен находиться лицом к источнику, не меняя положения головы.

3. Продолжая выдвигать поршень из трубы, зафиксируйте положения еще трех максимумов, измерив длины . Результаты занесите в табл.42.

4. Опыт повторите в обратном порядке, вдвигая поршень в трубу и фиксируя положения 4-го, 3-го, 2-го, и 1-го максимумов (). Результаты занесите в табл.42. Найдите среднее значения <> по формуле:

, (6-9)

где i = 1,2,3,4 – номер максимума.

5. Рассчитайте по формуле (6-8) длины волн _i для каждого значения <> Результат занесите в табл.42. Найдите среднее значение длины волны <>. Результат занесите в табл.43.

6. Повторите опыты (п.п.2-5) еще для двух частот ₂ и ₃ (по заданию преподавателя). Результаты всех измерений занесите в табл.42, а значение <> - в табл.43.

7. Сделайте выводы, проанализировав табл.42.

Таблица 42

, Гц	№ резонанса	1	2	3	4
	, см
	, см
	<>, см
	, см
	, см
	, см
	<>, см
	, см
	, см
	, см
	<>, см
	, см

ПРИМЕЧАНИЕ: - длина штока при увеличении столба воздуха в трубе;- длина штока при его уменьшении

8. Рассчитайте скорость звука по формуле (6-2). Найдите среднее значение <_зв>. Результаты занесите в табл.43.

9. Оцените случайную погрешность _зв эксперимента по формуле Стьюдента и запишите результат в виде: _зв = <_зв>_зв. Найдите относительную погрешность.

10. С помощью комнатного термометра измерьте температуру в помещении и рассчитайте скорость звука по приближенной формуле (6-7). Результат запишите в табл.43. Сравните _{зв(эксп)} с _{зв(теор)} и сделайте вывод.

Таблица 43

№ п/п	, Гц	<>, Гц	зв(эксп), м/с	t0С		Т, К	зв(теор), м/с
1. 2. 3.
Среднее значение

11. Запишите в табл.44 значения <_i> из табл.43. Выдвиньте шток поршня на длину, равную . Вращая ручку настройки ГЗ, подберите частоту, при которой наступит резкое усиление звука. Запишите в табл.44 значенияи₁’. Опыт повторите с длиной не менее 3 раз.

Таблица 44

<>, см	, см	№ опыта	’, Гц	, Гц
		1. 2. 3.
Среднее значение
		1. 2. 3.
Среднее значение
		1. 2. 3.
Среднее значение

12. Повторите опыты (п.11) с другими значениями :и

.

13. Сравните полученные частоты ’ c частотами , с которыми выполнялся эксперимент (табл.42). Сделайте вывод о точности предложенного метода по определению скорости звука.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие волны называются звуковыми? Что называется звуковым полем? Звуковым давлением? Что понимают под колебательной скоростью звуковой волны?

2.Что называется длиной волны и волновым числом? Как они связаны со скоростью волн? Что принимают за скорость звука? От чего она зависит?

3. При каких условиях образуется стоячая волна? Чему равна длина стоячей волны? Какие точки стоячей волны называются пучностями и узлами? В каких фазах колеблются точки между двумя соседними узлами и по разные стороны от узла?

4. Объяснить, почему стоячая волна не переносит энергию в пространстве?

5. Как можно получить стоячую звуковую волну на практике? Где располагаются пучности и узлы звукового давления при распространении в цилиндрической трубе, открытой с одного конца?

6. Как в данной работе определяется длина волны? Как зависит длина волны звука от его частоты (табл. 42)? Зависит ли скорость звука от длины волны (табл. 43)?

7. Как согласуются экспериментальные и теоретические результаты в данной работе? В чем причина небольшого расхождения в этих данных?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Детлаф А. А., Яворский Б.М. Курс физики. – М: Высшая школа, 1989

2. Гусев Н.М. Основы строительной физики. –М:Стройиздат, 1975

3. Дубровский И.М. и др. Справочник по физике. –Киев:Наукова думка, 1986.

4. Механика. Акустика. Метод. указания к лаборат. работам./Составители: Лесникова В.Г., Стреж В.В. -–Красноярск, 1996.

5. Основы строительной акустики и климатологии. Конспекты лекций/Составитель: Лесникова В.Г. –Абакан, 2000

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7*

ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ УРОВНЯ

ШУМА ОТ ЧАСТОТЫ

Цель работы: а) знакомство с акустическими приборами (шумомером, звуковым генератором, акустическим фильтром) и измерение уровня шума с помощью шумомера;

б) изучение эффективности снижения уровня шума от толщины «стенки» при =constи зависимости уровня шума от частоты

Оборудование: шумомер; источник звука (звуковой генератор); модель помещения; штангенциркуль; набор из трех стеклянных пластинок одинаковой толщины

В современных городах и зданиях имеется большое число самых разнообразных источников шума: транспорт; производственное, инженерное и сантехническое оборудование; бытовые электрические и электроакустические приборы. Поэтому одной из важнейших и актуальнейших проблем является проблема защиты человека от шума.

С физической точки зрения шум представляет собой беспорядочное наложение различных по частоте и интенсивности колебаний; а с физиологической точки зрения шум – это звуковой процесс, который в той или иной мере неприятен человеку. С бытовой точки зрения шум – это все то, что нарушает тишину.

Под действием источника звука происходит непрерывное колебание давления в воздухе. Разность между мгновенным значением давления Р_iв звуковом поле и средним атмосферным давлением Р_атмв среде в условиях абсолютной тишины называется звуковым давлением Р_зв. Звуковое давление характеризует переменную часть давления, возникающего при распространении звуковых волн в среде.

Р_зв = Р_i - Р_атм

В технической акустике принято оценивать звуковое давление (и интенсивность) по относительной логарифмической шкале в децибелах (дБ).

Уровень интенсивности звука по относительной логарифмической шкале оценивается по формуле:

; (7-1)

а уровень звукового давления по формуле

, (7-2)

где I₀и Р₀– интенсивность и звуковое давление на пороге слышимости;Iи Р – интенсивность и звуковое давление исследуемого звука на данной частоте. Например, на стандартной частоте₀= 1000 Гц порогу слышимости соответствуют значения:I₀= 10^-12Вт/м² и Р₀= 210^-5Па.

Рис.56

Введение уровня звукового давления и уровня интенсивности позволило преобразовать очень широкий диапазон значений интенсивностей и звуковых давлений (от 0 до) в сравнительно узкий интервал (от 0 до 130 дБ). Кроме того, преимущество логарифмической шкалы состоит в том, что изменение уровня шума наL= 1дБ соответствует минимальному, едва ощутимому человеком изменению громкости звука.

Измерение уровня звукового давления производят с помощью шумомера, а его частотный анализ – с помощью специальных анализаторов, состоящих из набора электрических фильтров, каждый из которых выделяет в исследуемом шуме определенную полосу частот (от _minдо_max) (рис.56). Обычно для каждого фильтра отношение_max/_min=const.

Если _max/_min= 2, то полоса частот называется октавой. Анализ шума проводится в октавных полосах частот, каждая из которых характеризуется среднегеометрической частотой.

(7-3)

В табл. 45 приведены октавные полосы и соответствующие им среднегеометрические частоты . Здесь же приведены значения снижения уровня шума (уровня звукового давления)Lна октавных частотах на каждые 100 м от источника, предусмотренные санитарными нормами.

Большое влияние на снижение уровня шума оказывает температура и влажность воздуха, а также скорость его движения (ветер). На рис.57 приведен график, иллюстрирующий снижение уровня шума на каждые 100 м расстояния от источника в зависимости от влажности воздуха на разных частотах.

Приборы, служащие для измерения уровня шума (уровня звукового давления) на различных октавных частотах, называются шумомерами. Принцип работы шумомера состоит в том, что мембрана микрофона, воспринимающая звуковые колебания, создает переменное электрическое напряжение, величина которого пропорциональна уровню звукового давления. Это напряжение подается на вход специального усилителя, который увеличивает его в определенное число раз. После выпрямления напряжение измеряют с помощью стрелочного вольтметра, шкала которого проградуирована в децибелах. На рис.58 изображена лицевая панель управления шумомера.

Т

Рис.57

аблица 45

Октавная полоса частот от (minдоmax), Гц	, Гц	L, дБ
40 – 100 100 – 156 156 – 400 400 – 625 625 – 1600 1600 – 2500 2500 – 6400 6400 – 10000	63 125 250 500 1000 2000 4000 8000	0 0,07 0,15 0,30 0,60 1,20 2,40 4,80

В корпус шумомера вмонтирован фильтр, позволяющий произвести частотный анализ звука по восьми октавным диапазонам, переключение которых производится с помощью переключателя 1 (рис.58). Отсчет показаний шумомера (L, дБ) производится суммированием показанийL_IиL_IIпо шкалам делителейIиIIиL_инд– по шкале индикатора 5.

L = L_I + L_II + L_инд (7-4)

Рис.58

Например, если ручка «делительI» находится в положении «60» (L_I= 60 дБ), ручка «делительII» - в положении «10» (L_II= 10 дБ), а стрелка индикатора указывает цифру «6» (L_инд= 6 дБ), то уровень интенсивности будет равенL= 60 + 10 + 6 = 76 дБ.

На рис. 59 приведен измерительный тракт экспериментальной установки для измерения уровня шума.

Рис.59

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

ЗАДАНИЕ 1. Подготовка шумомера к работе

1. Соберите измерительный тракт экспериментальной установки по рис.59. Подключите микрофон к шумомеру. Откройте крышку модели помещения и удалите все перегородки. Закройте крышку.

2. Включите шумомер в сеть (220 В). Переведите тумблер 2 (рис.58) в положение «контроль питания» (при этом стрелка индикатора 5 должна находиться правее нуля и не зашкаливать). Установите переключатель 6 в положение «медленно». Установите режим работы шумомера, повернув переключатель 4 в положение «фильтр». Ручку «1» переключателя частот поверните в положение «63»; ручку «делитель I» поставьте в положение «60», а «делительII» – в положение «10». При этом следите за стрелкой индикатора: если она зашкаливает, то «делительII» поверните влево, если же стрелка уходит в отрицательную область, «делительII» поверните вправо.

3

Рис.60

. Подготовьте к работе звуковой генератор ГЗ (рис.60). Для этого включите его в сеть (220 В). Затем подключите динамик к ГЗ (гнездо «5 Ом»). Установите ручку «множитель» в положение «1»; ручку «ослабление» переведите в положение «1». С помощью ручек 1, 2, 3 трехдекадного переключающего устройства установите частоту 63 Гц (рис.60). При этом появится характерный звук.

ЗАДАНИЕ 2. Измерение уровня шума на различных частотах

1. Поворачивая ручку «делитель II» (рис.58), добейтесь, чтобы стрелка индикатора не зашкаливала и не уходила в отрицательную область. Запишите показания прибора в табл. 46.: L_I(шкале «дел.I»),L_II(по шкале «дел.II») иL_инд(по шкале индикатора) в децибелах. Рассчитайте уровень шума на частоте₁= 63 дБ по формуле (7-4).

2. С помощью переключателя частот на шумомере установите частоту ₂= 125 дБ. Такую же частоту установите на звуковом генераторе, поворачивая ручки 1, 2, 3 на ГЗ (рис.60). Повторите опыт по определению уровня шума на частоте₂. Результаты измерений занесите в табл.46.

3. Повторите опыты по измерению уровня шума на остальных октавных частотах. При 1000 Гц ручку «множитель» на ГЗ переведите в положение «10». Результаты всех измерений занесите в табл.46.

4. Повторите все опыты еще дважды. Для каждой частоты рассчитайте средние значения уровня шума <L₀>. Результаты занесите в табл.46.

5. Постройте график зависимости уровня шума от частоты: <L₀>=L(). Сделайте вывод.

Таблица 46

Октавные частоты , Гц	№ опыта	L0I, дБ	L0II, дБ	Lинд, дБ	L0, дБ	<L0>, дБ
63	1. 2. 3.
125	1. 2. 3.
250	1. 2. 3.
500	1. 2. 3.
1000	1. 2. 3.
2000	1. 2. 3.
4000	1. 2. 3.

ЗАДАНИЕ 3. Изучение влияния толщины «ограждения» на снижение уровня шума

1. Измерьте штангенциркулем толщину стеклянных пластинок и убедитесь в том, что они примерно одинаковые. Сложите вместе 3 пластинки и измерьте их толщину в нескольких направлениях. Рассчитайте среднее значение толщины <d> одной пластинки, разделив полученное число на 3. Результаты занесите в табл.47.

2. Откройте крышку «модели помещения». Установите в одну из прорезей стеклянную пластинку толщиной d₁= <d>. Закройте крышку. Проведите измерение шума при наличии перегородки в «помещении» на двух частотах (по указанию преподавателя). Результаты измерений занесите в табл.47.

3. Повторите измерение уровня шума, увеличивая толщину перегородки, вставляя в ту же прорезь дополнительно оставшиеся пластинки (без воздушной прослойки). Измерения проведите с перегородками толщиной d₂= 2<d> иd₃= 3<d> на тех же частотах. Результаты занесите в табл.47.

4. Рассчитайте снижение уровня шума после прохождения звуковой волны сквозь перегородки: L = <L₀> - L_i, где <L₀> - среднее значение уровня шума без перегородки на заданных частотах (табл.46).

5. Постройте на одном чертеже графики зависимости снижения уровня шума от толщины перегородки: L =L(d). Сделайте вывод.

Таблица 47

Уровень шума, дБ	1= ….., Гц			2= ….., Гц
	d1, мм	d2, мм	d3, мм	d1, мм	d2, мм	d3, мм
LI LII Lинд L <L0>
L

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие волны называются звуковыми? Что называется звуковым давлением? Дайте определения основных характеристик звуковых волн.

2. Что представляет собой шум с физической и физиологической точек зрения? Какой тип спектров характерен для шума? Что такое октава? Сколько октавных полос выделяют в «белом» шуме?

3. Что называется уровнем интенсивности и уровнем звукового давления? В каких единицах они выражаются?

4. Что называется порогом слышимости? Какие значения интенсивности и звукового давления соответствуют порогу слышимости на стандартной частоте?

5. Как определить уровень шума при одновременном звучании нескольких источников: а) одинаковой мощности; б) различной мощности?

6. Как зависит уровень шума от расстояния до источника?

7. Какое влияние оказывают температура и влажность воздуха на снижение уровня шума?

8. Как влияет толщина ограждения на снижение уровня шума?

9. На каком принципе работает шумомер? Каково назначение акустических фильтров?

10. Какое воздействие оказывает шум на человека? Какие меры борьбы с шумами предусмотрены в строительной практике?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гусев Н.М. Основы строительной физики. –М.: Стройиздат, 1975.

2. Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике. –М.: Высшая школа, 1989.

3. Объедков и др. Лабораторный практикум по строительной физике.

–М.: Высшая школа, 1979.

4. Основы строительной акустики и климатологии. Консп. лекций./Составитель: Лесникова В.Г. – Абакан, 2000.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8*

ИЗУЧЕНИЕ ЗВУКОПОГЛОЩАЮЩИХ СВОЙСТВ

СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ И

ОКОННОГО ОСТЕКЛЕНИЯ

Цель работы: а) изучение эффективности звукопоглощения различными строительными материалами;

б) изучение эффективности снижения уровня шума на модели оконного остекления

Оборудование: шумомер; набор образцов строительных материалов; модель помещения

С физической точки зрения шум представляет собой беспорядочное наложение большого числа звуковых волн различной частоты и интенсивности. С физиологической точки зрения шум – это звуковые волны, нарушающие тишину и мешающие работе и отдыху человека.

В современных городах и зданиях существует большое число источников шума: транспорт, производственное, инженерное и сантехническое оборудование, бытовые и электроакустические приборы и т.д. Поэтому одной из важнейших и актуальнейших проблем является защита человека от шума, разработка методов борьбы с шумами.

Шум распространяется не только через конструкцию, но и в обход ограждения (через окна, двери, вентиляционную систему и т.п.). В зависимости от характера прохождения звука через конструкцию здания делят на акустически однородные ограждения и акустически неоднородные ограждения.

К акустически однородным конструкциям относятся однослойные конструкции, а также конструкции, состоящие из двух и более слоев из твердых материалов (бетон, кирпич, дерево и т.п.), жестко связанных друг с другом по всей площади ограждения. Акустически однородные ограждения совершают колебания как одно целое.

К акустически неоднородным конструкциям относятся те, которые состоят из двух или более слоев твердых материалов, разделенных воздушными или звукоизолирующими прослойками, а также однослойные конструкции с большими пустотами. Отдельные слои таких конструкций могут совершать колебания, отличающиеся как по фазе, так и по амплитуде. Кроме того, в отдельных слоях некоторая доля звуковой энергии передается воздушной прослойке.

Передача звука между соседними помещениями при использовании акустически неоднородных конструкций отличается большей сложностью, чем через акустически однородные ограждения.

Переменное давление, создаваемое звуковыми волнами на поверхности ограждающей конструкции, вызывает их колебания. Интенсивность колебаний однородной конструкции оценивается уровнем виброскорости ее поверхности. Колебания поверхности ограждения передаются частицам воздушной среды соседнего помещения, в результате чего происходит излучение в него звуковой волны. Если конструкция неоднородна по площади, т.е. имеются участки с различными звукопоглощающими свойствами, то прямая передача энергии звуковой волны происходит через отдельные участки с неодинаковой интенсивностью.

При прохождении через ограждающую конструкцию здания энергия звуковой волны постепенно уменьшается из-за многократных отражений. Это явление носит название звукопоглощения.

Способность помещения поглощать звуковую энергию расположенной в нем мебелью, ограждениями и т.п. характеризуется эквивалентной площадью звукопоглощения, т.е. площадью поверхности, поглощающей такое же количество звуковой энергии, что и данная поверхность S.

S_экв = S, (8-1)

где  - коэффициент звукопоглощения данной поверхности S.

Коэффициент  характеризует свойство поверхности поглощать различное количество звуковой энергии. Он показывает, какая доля падающей энергии поглощается.

, (8-2)

где I_погл и I_пад – соответственно интенсивность поглощенной и падающей волны.

Коэффициент звукопоглощения зависит от структуры материалов и от конструкции отделочного слоя. Кроме того, он зависит от частоты звука () и от угла падения волны на поверхность (), т.е.

 = (, ).

Так как различные поверхности поглощают звук по-разному в зависимости от угла падения, от конструкции и вида отделки поверхности, то при акустических расчетах обычно используют среднее значение коэффициента звукопоглощения, численное значение которого выражается формулой:

, (8-3)

где S_i и _i S_i соответственно площадь звукопоглощающей i-ой поверхности и ее эквивалентная площадь; и-общая площадь звукопоглощения всех поверхностей помещения и общая эквивалентная площадь; _i – коэффициент звукопоглощения i-ой поверхности; i = 1, 2, 3, … - целые числа.

Важнейшим фактором в формировании звуковой среды в помещении является использование звукопоглощающих материалов и конструкций. Эта мера оказывается очень эффективной в борьбе с шумами.

Рис.61

По механизму звукопоглощения выделяют несколько видов строительных материалов и конструкций: а) пористые, интенсивно поглощающие звуки высокой частоты; б) колебательные панели, обладающие наибольшим звукопоглощением в диапазоне низких частот; в) конструкции с перфорированным слоем, звукопоглощающие свойства которых можно менять при расчетах и проектировании.

На рис.61 приведены частотные характеристики звукопоглощения для перфорированной древесно-волокнистой плиты и гладкой плиты, соответственно (кривая 1) и (кривая 2).

Механизм звукопоглощения в конструкциях с перфорированным облицовочным листом основан на использовании резонатора Гельмгольца, принцип действия которого рассмотрен в сборнике конспектов лекций «Основы строительной акустики и климатологии» (§1.17).

Резонатор Гельмгольца, помещенный в звуковое поле, сильно поглощает звук, частота которого близка к его собственной частоте. Это используется при создании резонансных звукопоглотителей в архитектурной акустике.

Кроме того, одним из эффективных способов борьбы с шумами является применение звукопоглощающих покрытий, изготовленных из специальной резины, имеющей воздушные полости разных размеров.

В данной лабораторной работе предлагается провести изучение эффективности звукопоглощения различными строительными материалами. Для этого необходимо измерить уровень шума без перегородки и при ее наличии. Разность между этими уровнями есть снижение уровня шума после прохождения звуковой волны через перегородку.

Измерительный тракт, используемый в данной работе, показан на рис.59. Уровень шума измеряют с помощью шумомера, принцип действия которого описан в лабораторной работе №7. Лицевая панель управления приведена на рис.58.

ЗАДАНИЕ 1. Изучение звукопоглощающих свойств различных строительных материалов на октавных частотах

1. Подготовьте шумомер и звуковой генератор к работе (см.п.п.1-3, задание 1, лабор. работа №7).

2. Поворачивая ручку «делитель II» (рис.58), добейтесь, чтобы стрелка индикатора не зашкаливала и не отклонялась в область отрицательных значений. Запишите в табл.48 показания прибора: L_I («делитель I»), L_II («делитель II») и L_инд (шкала индикатора). Рассчитайте уровень шума L₀ по формуле (7-4) на частоте ₁ = 63 Гц.

3. Установите частоту ₂ = 125 Гц, поворачивая ручку 1 (рис.58) переключателя. Такую же частоту установите на звуковом генераторе, вращая ручки 1, 2, 3 (рис.60). Повторите опыт по измерению уровня шума с новой частотой ₂. Результаты занесите в табл.48.

4. Повторите опыты на остальных октавных частотах (до ₇ = 4000 Гц). Результаты всех измерений занесите в табл.48. При установке частоты   1000 Гц на звуковом генераторе ручку «множитель» переведите в положение «10» (рис.60)

5. Повторите опыты по определению уровня шума (L) на всех октавных частотах, поместив в «помещение» одну из перегородок. Результаты измерений занесите в табл.48. Рассчитайте снижение уровня шума по формуле: L = L₀ – L.

6. Повторите опыты (п.5) с другими образцами.

7. Постройте на одном чертеже графики зависимости L от частоты . Сравните эффективность звукопоглощения различных строительных материалов. Сделайте выводы.

8. Оцените коэффициент звукопоглощения  на всех частотах для каждого образца по формуле:

, (8-4)

где L – снижение уровня шума при прохождении через ограждение. Результаты всех измерений занесите в табл.48.

Таким образом, разделив значение L, найденное в эксперименте, на 10, получим значение lg(1-). Затем по таблице антилогарифмов (табл.Брадиса) или с помощью калькулятора найдем величину (1-). После этого окончательно получим выражение для определения коэффициента звукопоглощения:  = 1-А (где А = 1-).

9. Постройте на одном чертеже графики зависимости  = (). Сравните и сделайте выводы.

10. Сравните полученные значения коэффициента звукопоглощения _эксп с табличными значениями _табл (прилож.4). Сделайте вывод.

ПРИМЕЧАНИЕ: Получить формулу (8-4) можно из следующих соображений. Снижение уровня шума L = -(L₁ – L₂). Воспользовавшись формулой (7-1), можно записать

где I₁ и L₁ – соответственно интенсивность и уровень интенсивности падающей звуковой волны; I₂ и L₂ – интенсивность и уровень интенсивности прошедшей волны через перегородку; I – потеря интенсивности в результате звукопоглощения; отношение I/I₁=  - коэффициент звукопоглощения.

Из последнего соотношения получим выражение (8-4).

ЗАДАНИЕ 2.Изучение эффективности звукопоглощения на модели оконного остекления

1. Установите внутри модели помещения стеклянную перегородку (модель одинарного остекления). Проведите опыты по измерению уровня шума на двух частотах (по указанию преподавателя). Результаты всех измерений занесите в табл.49. Рассчитайте снижение уровня шума L (значение L₀ возьмите из табл.48).

2. Установив в «помещение» еще одну стеклянную пластинку с воздушной прослойкой (модель двойного остекления), проведите опыты на тех же частотах с этой моделью. Результаты занесите в табл.49.

3. Повторите опыты по измерению уровня шума на модели тройного остекления, установив внутри модели помещения еще одну стеклянную перегородку с воздушной прослойкой. Результаты занесите в табл.49.

4. Повторите опыт по измерению уровня шума при тех же частотах на модели тройного остекления, но без воздушных прослоек, вставив три пластинки в один паз. Результаты занесите в табл.50.

5. Проанализировав полученные результаты, сделайте выводы об эффективности звукопоглощения одинарного, двойного и тройного остекления; с воздушными прослойками и без них.

Таблица 48

	L, ДБ	Октавные частоты , Гц
		63	125	250	500	1000	2000	4000
Без перегородки	L0I L0II L0инд L0
Образец 1 …	LI LII Lинд L1 L1 1
Образец 2 …	LI LII Lинд L2 L2 2
Образец 3 …	LI LII Lинд L3 L3 3

Таблица 49

Модель остекления	Одинарное		Двойное		Тройное
	1=..., Гц	2=..., Гц	1=..., Гц	2=..., Гц	1=..., Гц	2=..., Гц
LI­, дб LII, дБ Lинд­, дБ L, дБ L0, дБ L, дБ

Таблица 50

Частота , Гц	LI­, дб	LII, дБ	Lинд­, дБ	L, дБ	L0, дБ	L, дБ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие волны называются звуковыми? Какой диапазон частот соответствует слышимым звукам?

2. Какие звуки относятся к шумам? Какой тип спектров соответствует шуму? Что называется октавой? Что называется средней геометрической частотой?

3. Какое влияние оказывает шум на человека? Какие меры борьбы с шумами разработаны в строительной практике?

4. На каком принципе работает шумомер? Каково назначение акустических фильтров в шумомере?

5. Что называется звукопоглощением и как можно объяснить это явление? Что называется коэффициентом звукопоглощения и от чего он зависит?

6. Какие конструкции ограждения относятся к акустически однородным и акустически неоднородным?

7. Что понимают под эффективной площадью звукопоглощения? Что называется средним коэффициентом звукопоглощения?

8. На какие типы делят строительные материалы и конструкции по механизму звукопоглощения?

9. На каком принципе работает резонатор Гельмгольца и как это свойство используется в строительной практике?

10. Как в данной работе оценивается коэффициент звукопоглощения?

11. Как зависит коэффициент звукопоглощения различных строительных материалов от частоты? Какой из предложенных образцов наиболее эффективен по отношению к звукопоглощению?

13. Какое влияние оказывает коэффициент звукопоглощения на время реверберации в помещении? Как можно уменьшить время реверберации?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гусев Н.М. Основы строительной физики. –М.:Стройиздат, 1975.

2. Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике. –М.:Высшая школа, 1989.

3. Объедков и др. Лабораторный практикум по строительной физике.

–М.:Высшая школа, 1979.

4. Основы строительной акустики и климатологии. Консп. лекций./Составитель: Лесникова В.Г. – Абакан, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

«Образец бланка отчета по лабораторной работе»

1. Лицевая сторона (титульный лист) отчета

Сверху отступить ХТИ – филиал КГТУ

1,5 см Кафедра физики

Группа (подгруппа)

Ф.И.О. студента

В центре

страницы

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №__

_____________________________________________

(название работы)

_____________________________________________

Снизу отступить

3 см Дата выполнения___________

Работу принял__________________

(подпись преподавателя)

ПРИМЕЧАНИЕ 1: Без подписи преподавателя отчет на проверку не принимается