По данным таблицы находим
u = 1n ∑niui = −0.01 50 = −0.5,
|
|
D(u) = 1 ∑niui2 |
− ( |
|
|
)2 = 0.01 274 − (−0.5)2 = 2.49. |
|||||||||||||||||
u |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
|
= 0.02 (−0.5) + 4.68 = 4.67, |
||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
σв2 = 0.022 2.49 = 0.001, |
|
σв = 0.032. |
|||||||||||||||||
Несмещенная точечная оценка для σ равна |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S = |
|
|
n |
|
σв2 |
= |
100 |
0.001 = 0.032. |
|||||||||||
|
n −1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|||||
а) По таблице распределения Стьюдента по доверительной |
|||||||||||||||||||||||
вероятности 1 −α = 0.95 |
и числу |
|
|
степеней |
свободы ν = n −1 =100 −1 = 99 |
||||||||||||||||||
находим квантиль распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tα;n−1 = t0.025;99 |
=1.984. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Предельная погрешность точечной оценки математического ожидания |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ε = tα |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
=1.984 0. |
032 |
= 0.006. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
;ν |
|
n −1 |
|
|
|
99 |
|
|||||||||||||||
Искомый доверительный интервал |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( |
|
−ε; |
|
+ ε )= (4.67 − 0.006; 4.67 + 0.006)= (4.664; 4.676). |
|||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||
б) Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения |
|||||||||||||||||||||||
имеет вид (*). По доверительной вероятности |
|
1 −α = 0.95 и числу степеней |
|||||||||||||||||||||
свободы ν = 99 случайной величины χ 2 |
по таблице находим [1, 3], или |
||||||||||||||||||||||
приложение 1: |
|
|
|
|
γ1 = 0.8775, |
γ 2 =1.160 . |
|||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0.032 0.8775 <σ < 0.032 1.160 или 0.028 <σ < 0.037.
Замечание. Построение доверительных интервалов для а и σ можно проводить так же по методике, изложенной в [ 2, 4 ].
Доверительный интервал для а найдем по формуле
|
|
|
|
|
|
− t |
|
S |
|
< a < |
|
|
+ t |
S |
. |
||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
γ |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При γ = 0.95 |
и n = 100 по таблице находим, что tγ =1.984. |
||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.67 −1.984 |
0.032 |
< a < 4.67 +1.984 |
0. |
032 |
|
|
или 4.664 < a < 4.676. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Доверительный интервал дляσ имеет вид
S(1 − q) <σ < S(1 + q),
40
где q = 0.143 находим по таблице при |
n = 100 и |
γ = 0.95. Искомый |
||||||||||||
доверительный интервал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0.032 (1 − 0.143) <σ < 0.032 (1 + 0.143) или |
0.027 <σ < 0.037. |
|||||||||||||
Задачи 5.21-5.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
2 |
|
9 |
16 |
21 |
34 |
19 |
10 |
|
6 |
|
3 |
|
|
ni' |
3 |
|
12 |
14 |
25 |
26 |
22 |
13 |
|
4 |
|
1 |
|
Требуется проверить нулевую гипотезу Н0 о том, что расхождение эмпирических и теоретических частот незначимо (случайно). В качестве статистики для проверки гипотезы Н0 используем случайную величину
χ2 = ∑i (ni −ni'ni' )2
которая, независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, при n → ∞ стремится к закону распределения χ 2
("хи"- квадрат) с ν = S − r −1 степенями свободы. Здесь S – число групп (частичных интервалов) выборки, r – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.
Для вычисления наблюдаемого значения статистики составим расчетную таблицу, в которой группы, имеющие частоты, меньшие 5, объединены с соседними.
N п/п |
ni |
ni′ |
ni |
− ni′ |
(n |
|
− n′)2 |
(n |
|
− n′)2 |
|
n2 |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
i |
ni′ |
i |
i |
ni′ |
1 |
11 |
15 |
|
-4 |
|
|
16 |
|
|
1.0667 |
|
121 |
8.0667 |
|
2 |
16 |
14 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
0.2857 |
|
256 |
18.2857 |
|
3 |
21 |
25 |
|
-4 |
|
|
16 |
|
|
0.6400 |
|
441 |
17.6400 |
|
4 |
34 |
26 |
|
8 |
|
|
64 |
|
|
2.4625 |
|
1156 |
44.4625 |
|
5 |
19 |
22 |
|
-3 |
|
|
9 |
|
|
0.4091 |
|
361 |
16.4091 |
|
6 |
10 |
13 |
|
-3 |
|
|
9 |
|
|
0.6923 |
|
100 |
7.6923 |
|
7 |
9 |
5 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
3.2000 |
|
81 |
16.2000 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.7553 |
|
|
128.7553 |
|
Из таблицы находим:
χнабл2 . =8.7553.
Контроль:
χнабл2 . = ∑nni2' − n =125.7553 −120 =8.7553.
i i
Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами а и σ , поэтому r=2, S=7, следовательно, ν = 7 − 2 −1 = 4.
41
По таблице распределенияχ 2 находим критическую точку при
α = 0.05 : χкр2 . = χ2 (4;0.05) = 9.5. Так как χнабл2 . < χкр2 . , то нет оснований для отклонения нулевой гипотезы. Иначе говоря, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
Задачи 5.26-5.30.
|
K |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
≥6 |
|
|
Nk |
|
435 |
|
240 |
|
77 |
|
24 |
|
2 |
|
|
1 |
|
0 |
|
Общее число обследованных экземпляров аппаратуры |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=435+240+77+24+2+1=779. |
|
|
||||||||||
Число наблюдаемых отказов равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 435 +1 240 + 2 77 + 3 24 + 4 2 + 5 1 = 479. |
|||||||||||||||
Рассмотрим случайную величину Х – число отказов аппаратуры за |
|||||||||||||||||
10000 часов работы. |
Среднее |
число |
отказов |
|
|
= 479 779 = 0.61. Нужно |
|||||||||||
|
x |
||||||||||||||||
проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона
|
pk |
= P(X = k) = |
λk e |
−λ |
к = 0,1,2,… |
при α = 0.01. |
||||||||
|
k! |
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим |
точечную оценку параметра λ : |
λ = |
|
= 0.61. Вычислим |
||||||||||
x |
||||||||||||||
теоретические частоты при условии, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0.61k e−0.61 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
pk = P(X |
= k) = |
|
|
|
|
; k = 0,1,2,... |
|||||
|
|
|
|
k! |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты вычислений приведены в следующей таблице: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Κ |
|
nk |
pk |
|
|
nk′ =n pk |
|
||||||
|
0 |
|
435 |
0.54335 |
|
|
432 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
240 |
0.33144 |
|
|
258 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
77 |
0.10109 |
|
|
79 |
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
24 |
0.02056 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
2 |
0.00313 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
1 |
0.00039 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
≥ 6 |
|
0 |
0.00004 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
779 |
1.00000 |
|
|
779 |
|
|
|
|
|||
Для проверки нулевой гипотезы воспользуемся статистикой
χ2 = ∑(nk − nk' )2 ,
ink'
которая имеет распределение χ 2 с ν = S − r −1 степенями свободы. Составим таблицу для вычисления χнабл2 .
42