35. Предел функции.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

Определение ( по Коши): число А называется пределом функции в точке х₀ , если для любого положительного найдется такое положительное число, что для всех хх₀ , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство.

Коротко это определение:

.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М() >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Коротко:

36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называетсябесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число =(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, выполняется неравенство. Записывают. Коротко:

Функция называетсябесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство. Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция: Функция называется бесконечно малой при, если : для любого числа>0 найдется число>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<, выполняется неравенство.

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

37. Односторонние пределы.

число А называется пределом функции слева в точкеx₀, если для любого число >0 существует число=()>0 такое, что привыполняется неравенство.

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

38. Сравнение бесконечно малых.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:

1. если , тоиназываютсябесконечно малыми одного порядка.

2. если тоназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. если тоназываетсябесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. если не существует, тоиназываютсянесравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и.

Эквивалентные бесконечно малые:

Sinx	x, при	ex - 1	x,
tgx	x,	ax - 1	x*lna,
arcsinx	x,	ln(1+x)	x,
arctgx	x,	loga(1+x)	x*logae
1-cosx	,	(1+x)k - 1	k*x, k>0,