- •8. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- •1. Умножение вектора на число:
- •2. Сумма двух векторов:
- •11. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- •12. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- •2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •19. Взаимное расположение прямых.
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •21. Эллипс.
- •22. Гипербола.
- •23. Парабола.
- •24. Эллипсоид.
- •25. Гиперболоид и конус.
- •26. Параболоид.
- •27. Цилиндрические поверхности.
- •35. Предел функции.
- •36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •37. Односторонние пределы.
- •38. Сравнение бесконечно малых.
- •39. Теоремы о пределах.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Непрерывность функции в точке.
24. Эллипсоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением:
Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:
z=h .
Исследуем поверхность:
А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостями z=h не существует.
Б) если ,линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскостиz = c, z = - c касается данной поверхности.
В) если , то уравнения можно переписать в виде:, как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 =,b1 = . При этом, чем меньшеh, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
h=0.
Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.
25. Гиперболоид и конус.
1. Исследуем поверхность . Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид
z=h. или z=h
полуоси: а1=b1=
полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. =>
х=0.
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.
2. -уравнение поверхности.
и - поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом.
3. Конус второй степени
Каноническое уравнение:
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
26. Параболоид.
1. -этоэллиптический параболоид.
Каноническое уравнение:
(р>0, q>0).
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.
Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.
2. -гиперболический параболоид.
Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
27. Цилиндрические поверхности.
Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.
Эллиптический цилиндр
Эллиптическое уравнение:
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x2 + y2 = R2. Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.
Уравнение: определяет в пространствегиперболический цилиндр.
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.
Предел последовательности.
Число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа Е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется равенство:
. В этом случае пишут и говорят, что последовательность {xn}имеет предел, равный числу а. говорят,что последовательность сходится к а.
Коротко определение предела: .
Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, неимеющая предела, называется расходящейся.
Если =0 =>последовательность бесконечно малая.
Если ==>бесконечно большая.
=> .
- окрестности точки а.