Kр№2 (Заказ № 1113 - 2010)
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования «Брестский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации и варианты контрольной работы по разделам «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Числовые и функциональные ряды» общего курса дисциплины «Высшая математика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения (сокращенной)
Брест 2010
УДК 51(075.8)
В настоящей методической разработке приведены варианты контрольных заданий по разделам «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения» и «Числовые и функциональные ряды» общего курса дисциплины «Высшая математика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения (сокращенной). Даны методические рекомендации, полезные для успешного выполнения контрольной работы.
Составители: Гладкий И.И., доцент, Дерачиц Н.А., ассистент
Лебедь С.Ф., доцент, к.ф.-м.н.
Махнист Л.П., доцент, к.т.н.
Рецензент: Савчук В.Ф., зав. кафедрой информатики и прикладной математики УО «Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина», к.ф.-м.н., доцент.
© Учреждение образования «Брестский государственный технический университет», 2010
2
Организационно-методические указания
Вконтрольную работу по разделам «Функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения» и «Числовые и функциональные ряды» общего курса дисциплины «Высшая математика» включено восемь заданий. В нумерации задач первое число – номер задания (задачи), второе (после точки) – номер варианта.
Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии со своим вариантом. Номер варианта определяется по двум послед-
ним цифрам шифра (номера зачетной книжки студента).
При выполнении контрольной работы условия задач нужно запи-
сывать полностью. В случае, если задача имеет общую формулировку, ее условие следует переписывать, заменяя общие данные конкретными, соответствующими номеру варианта.
Решение всех задач приводить подробно и аккуратно, давать достаточные пояснения и делать необходимые рисунки и таблицы.
Вконце каждой задачи должен быть ответ.
Вопросы учебной программы
1.Понятие функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
2.Производная по направлению. Градиент.
3.Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия.
4.Метод наименьших квадратов.
5.Первообразная и неопределенный интеграл.
6.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
7.Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.
8.Задача о площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.
9.Свойства определенного интеграла.
10.Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
11.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
12.Приложения определенного интеграла в экономике.
13.Понятие несобственных интегралов первого и второго рода.
14.Понятие двойного интеграла, его свойства. Вычисление двойного интеграла по правильным областям.
15.Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Задача Коши. Теорема существования (формулировка).
16.ДУ с разделяющимися переменными.
3
17.Линейные ДУ первого порядка. Однородные ДУ первого порядка.
18.ДУ второго порядка. Задача Коши. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.
19.Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Свойства решений.
20.Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского.
21.Однородные ЛДУ второго порядка. Метод Эйлера.
22.Неоднородные ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
23.Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
24.Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
25.Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная сходимость.
26.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
27.Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
28.Свойства степенных рядов.
29.Разложение в степенные ряды функций ex , sin x, cos x, (1+ x)m.
30.Приложения степенных рядов.
Задания контрольной работы
Задание 1
Задана функция z = f (x,y ) . Требуется: а) найти частные производные функции z ;
б) найти градиент функции z в точке M0(x0;y0 );
в) вычислить производную функции z в точке M0 в направлении векто- |
||||
ра aG |
; |
|
|
|
г) вычислить эластичность функции z по x и по y в точке M0 ; |
|
|||
д) исследовать на экстремум. |
|
G |
|
|
1.1 |
z = x2 + xy + y2 −3x −6; |
M0 (1; 2) ; |
|
|
a = ( 3;4) . |
||||
1.2 |
z = 2x3 − xy2 +5x2 + y2 ; |
M0 (1; −1) ; |
G |
|
a = ( −3;4). |
||||
1.3 |
z = x2 + xy + y2 −6x −9y ; |
M0 (2;3); |
G |
−3) . |
a = ( 4; |
||||
1.4 |
z = −x2 − xy − y2 +3x + 6; |
M0 (2; −2); |
G |
|
a = ( − 4;−3). |
||||
1.5 |
z = x2 + xy + y2 −6x −9y ; |
M0 (−1; 2) ; |
G |
−8). |
a = ( 6; |
||||
1.6 |
z = x2 + xy + y2 −6x −9y ; |
M0 (3; −2); |
G |
|
a = ( −8;6) . |
||||
1.7 |
z = x2 + xy + y2 −6x −9y ; |
M0 (−2;2); |
G |
|
a = ( − 4;3). |
||||
1.8 |
z = x2 + 4xy + y2 −2y −1; |
M0 (−1; −1) ; |
G |
−8). |
a = ( 6; |
||||
4 |
|
|
|
|
1.9z = 6xy −9x2 −9y2 + 4x + 4y +3;
1.10z = 2x3 − y2 +2xy +2 ;
1.11z = y2 + 4xy + x2 −2x +1;
1.12z = x2 − xy + y2 − 4x + 2 ;
1.13z = x3 −6xy − y2 + 4 ;
1.14z = y3 +3yx2 −15y −12x +5 ;
1.15z = y3 +3yx2 −15y −12x +5 ;
1.16z = 3x2 − x3 +3y2 + 4y ;
1.17z = x2 +2x + y2 + 4y −6;
1.18z = x2 −6x + y2 + 4y +2;
1.19z =1+15x −2x2 − xy −2y2 ;
1.20z = x2 + xy + y2 − 4x −5y +3 ;
1.21z = 2xy −3x2 −2y2 +10;
1.22z = x2 − xy + y2 +3x −2y + 2;
1.23z = x2 −2xy + 4y2 +10;
1.24z = x2 + xy + y2 − 4x −5y +3 ;
1.25z = 3y2 − y3 +3x2 + 4x ;
1.26z = x2 + xy + y2 − 4x −5y +3 ;
1.27z = y3 −6xy − x2 +5;
1.28z = x3 +3xy2 −15x −12y ;
1.29z = x2 + y2 + xy −3y −6x +1;
1.30z = x2 + y2 + xy −3y −6x +1;
M0 (−1; −1) ; M0 (−1; −1) ; M0 (−2;2); M0 (1; − 4); M0 (2; −2); M0 (−1; −1) ; M0 (3; −2); M0 (2; 4);
M0 (4; −1); M0 (2; −1) ; M0 (2;3); M0 (2;−3); M0 (−2;−3) ; M0 (−1; −1) ; M0 (−2;−2) ; M0 (2;3); M0 (2;3); M0 (3; −2); M0 (1; −3) ; M0 (1; −1) ; M0 (1;−2); M0 (2;1);
G
aG = (12;5). aG = ( 6;−8). aG = (12;5). aG = ( −5;12) . aG = ( − 6;8). aG = (12;5). aG = ( 8;−6) . aG = ( 8;15) . aG = ( − 6;8) . aG = ( − 8;15) .
aG = ( − 8;−15) . aG = ( −15;8) . aG = ( − 8;−6) . aG = ( −15;−8) . aG = ( − 3;−4) . aG = ( 6;−8).
aG = ( − 3;−4) . aG = (−12;5). aG = ( −8;6). aG = ( − 6;8). aG = ( − 4;−3). a = ( 8;15) .
Задание 2 2.01-2.15 Приведены данные за определенный период по банкам кате-
гории B для сумм вклада от 50 тыс. до 500 тыс. долларов для юридических лиц. Найти зависимость вида y = a x +b величины средней банков-
ской ставки y по срочным валютным депозитам от срока вклада в меся-
цах x . Вычислить банковскую ставку для вкладов такого рода на срок i месяцев. На сколько в среднем увеличится процентная ставка при увеличении срока вклада на один месяц?
Срок вклада (мес.), x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
9 |
% годовых, y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
Необходимые числовые данные приведены в таблице 1:
5
Таблица 1
|
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
y6 |
y7 |
i |
2.01 |
9,56 |
10,94 |
12,00 |
11,74 |
12,14 |
13,14 |
14,17 |
7 |
2.02 |
9,26 |
10,64 |
11,70 |
11,34 |
11,84 |
12,84 |
13,87 |
8 |
2.03 |
9,82 |
10,63 |
11,98 |
11,85 |
12,36 |
13,47 |
14,39 |
10 |
2.04 |
9,94 |
11,34 |
12,40 |
12,14 |
12,54 |
13,54 |
14,57 |
11 |
2.05 |
10,56 |
11,93 |
13,02 |
12,70 |
13,12 |
14,14 |
15,18 |
13 |
2.06 |
8,55 |
9,93 |
11,99 |
10,73 |
11,13 |
12,15 |
13,16 |
12 |
2.07 |
8,61 |
9,81 |
11,97 |
10,76 |
11,25 |
12,30 |
13,41 |
13 |
2.08 |
9,76 |
10,53 |
11,65 |
11,93 |
12,74 |
13,51 |
14,50 |
11 |
2.09 |
10,46 |
11,83 |
12,92 |
12,61 |
13,02 |
14,18 |
13,78 |
10 |
2.10 |
9,62 |
10,03 |
11,38 |
11,25 |
11,76 |
12,87 |
13,79 |
8 |
2.11 |
8,85 |
10,23 |
12,29 |
11,03 |
11,43 |
12,45 |
13,46 |
7 |
2.12 |
10,35 |
11,73 |
12,82 |
12,51 |
12,83 |
13,85 |
14,98 |
11 |
2.13 |
11,05 |
12,44 |
13,52 |
13,23 |
13,54 |
14,76 |
15,63 |
10 |
2.14 |
9,70 |
10,52 |
11,86 |
11,52 |
12,22 |
13,24 |
14,01 |
8 |
2.15 |
9,62 |
10,82 |
11,96 |
12,70 |
11,50 |
12,22 |
13,02 |
7 |
2.16-2.30 Приведены данные о росте индекса Доу-Джонса и росте цены акций (долл.). Найти зависимость вида y = ax + b между ростом цены
акций y и ростом индекса x . Вычислить рост цены акции при росте индекса, равным x0 .
|
|
x |
|
|
2,0 |
|
2,5 |
|
3,0 |
|
3,1 |
3,5 |
|
|
3,7 |
|
4,3 |
||||
|
y (долл.) |
|
|
|
y1 |
|
y2 |
|
y3 |
|
y4 |
y5 |
|
y6 |
y7 |
||||||
Необходимые числовые данные приведены в таблице 2: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
|
y1 |
y2 |
|
y3 |
|
y4 |
|
|
y5 |
|
y6 |
|
y7 |
|
x0 |
|||||
|
2.16 |
4,4 |
4,5 |
|
4,6 |
|
4,6 |
|
|
4,7 |
|
4,8 |
|
|
4,9 |
|
2,6 |
||||
|
2.17 |
4,3 |
4,2 |
|
4,4 |
|
4,5 |
|
|
4,6 |
|
4,8 |
|
|
5,0 |
|
2,7 |
||||
|
2.18 |
4.5 |
4,6 |
|
4,7 |
|
4,8 |
|
|
4,7 |
|
4,9 |
|
|
5,1 |
|
2,8 |
||||
|
2.19 |
4,0 |
4,1 |
|
4,2 |
|
4,3 |
|
|
4,4 |
|
4,6 |
|
|
4,8 |
|
2,9 |
||||
|
2.20 |
4,7 |
4,8 |
|
4,9 |
|
5,0 |
|
|
4,9 |
|
5,1 |
|
|
5,2 |
|
3,2 |
||||
|
2.21 |
5,5 |
6,6 |
|
5,6 |
|
5,6 |
|
|
5,8 |
|
5,9 |
|
|
6,0 |
|
3,3 |
||||
|
2.22 |
4,5 |
5,1 |
|
5,2 |
|
5,4 |
|
|
5,3 |
|
5,2 |
|
|
6,2 |
|
3,4 |
||||
|
2.23 |
6,3 |
6,6 |
|
6,8 |
|
6,7 |
|
|
7,0 |
|
6,9 |
|
|
7,1 |
|
3,6 |
||||
|
2.24 |
2,3 |
4,4 |
|
3,4 |
|
3,2 |
|
|
3,6 |
|
3,7 |
|
|
4,2 |
|
3,8 |
||||
|
2.25 |
5,2 |
6,3 |
|
5,3 |
|
5,2 |
|
|
5,6 |
|
5,7 |
|
|
5,9 |
|
3,9 |
||||
|
2.26 |
2,4 |
2,6 |
|
2,7 |
|
2,8 |
|
|
2,9 |
|
3,0 |
|
|
3,4 |
|
4,0 |
||||
|
2.27 |
3,7 |
3,8 |
|
3,9 |
|
4,0 |
|
|
4,1 |
|
4,6 |
|
|
4,8 |
|
4,1 |
||||
|
2.28 |
6,0 |
6,3 |
|
6,5 |
|
6,1 |
|
|
6,6 |
|
6,8 |
|
|
7,3 |
|
4,2 |
||||
|
2.29 |
4,1 |
4,2 |
|
4,3 |
|
4,4 |
|
|
4,5 |
|
4,7 |
|
|
4,9 |
|
2,1 |
||||
|
2.30 |
4,8 |
4,9 |
|
5,0 |
|
5.1 |
|
|
5,2 |
|
5,4 |
|
|
5,7 |
|
2,3 |
6
Задание 3
Найти неопределённые интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
cos x dx |
|
|
∫(x +3)e−x dx ; |
∫ |
(x −1)dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3.01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 −sin2 x |
x (4 + |
x ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
sin x dx |
|
|
∫( |
2x −1)e2 x dx ; |
∫ |
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4 x (9 + |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
cos2 x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.03 |
∫x2 ex3 dx ; |
|
|
∫( |
4x + 2)sin2x dx ; |
∫ |
x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
x |
2 |
dx |
|
|
∫x sin x cos x dx ; |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.04 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
x (x + 4 |
|
|
x + 4). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x6 − 25 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.05 |
∫sin3 x cos x dx ; |
∫x2 ln x dx ; |
|
|
|
∫ |
x −1dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ex dx |
|
|
|
∫( |
x +1 cos3x dx ; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.06 |
∫4 + e2x ; |
|
|
x + 2 (x − 6 |
x + 2 +11) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.07 |
∫arctg1+ x2x dx ; |
|
|
∫x e−2x dx ; |
|
|
|
∫ |
x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x (2 − x ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.08 |
∫ |
|
|
|
sin x dx |
|
; |
∫(1−2x)e3x dx ; |
∫ |
x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
9 −cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.09 |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
; |
∫(4x −1)e |
−3x |
dx ; |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x ln2 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x −3 (x − 4) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.10 |
∫x 3 4 + x2dx ; |
∫(x + 2)cos |
|
x |
|
dx ; |
∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x (x + 3) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.11 |
∫ |
1 |
cos |
1 |
dx ; |
∫(1−3x)sin |
x |
dx ; |
∫ |
dx |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 x (x −9 3 x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.12 |
∫ |
|
|
|
2x dx |
; |
|
|
|
|
∫(2 − x)e−x dx ; |
∫ |
|
|
|
|
2dx |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 x −1(x −1+ 36 3 x −1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
sin x dx |
|
|
∫( |
2 −3x)sin2x dx ; |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
3 x2 (1+ 3 x ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
cos2 x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.14 |
∫cos4 x sin x dx ; |
∫(2 + 3x)e− 2 dx ; |
∫ |
x +1dx(x −3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x |
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.15 |
∫ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
∫(3x − 4)e |
3 dx ; |
|
3 x2 (4 + 3 x2 ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫sinlnx |
x dx ; |
|
|
|
∫(x + 2)ln x dx ; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x −1dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x −1)(x −2 x −1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x −1 dx |
|||||||||||||||||||||||
3.17 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
∫(x +5)sin 4x dx ; |
∫( |
|
x −)1 . |
||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
4 −tg2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
3 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.18 |
∫ |
x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
∫(3x −1)cos 4x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3(x + 43 x ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x3 + 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.19 |
∫ |
e |
|
dx ; |
|
|
|
∫(3x + 4)e3x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x (2 x −34 x ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.20 |
∫x 4 −ln2 x |
|
|
|
∫(3 − x)cos x dx ; |
∫ |
|
|
x −1 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
ex dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(x +3)sin 4x dx ; |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.21 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x ( x + 4 x ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
e2x −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
3 arcsin x +1 |
|
|
|
∫x ex+2 dx ; |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx |
|||||||||||||||||||||||||
3.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4 ( |
2x + 4 +7) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.23 |
∫x sin(1− x2 )dx ; |
∫x e2x−1 dx ; |
|
|
|
|
∫ |
|
2x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫cosx x dx ; |
|
|
|
∫(x +5)e−2x dx ; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
3.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1( x −1 + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
ctg x −1 |
|
|
|
|
|
∫(4 − x)cos5x dx ; |
∫ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.25 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.26 |
∫ |
x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
∫(1+5x)sin2x dx ; |
∫ |
|
|
x |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3x3 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.27 |
∫ |
|
arcsin x |
dx ; |
∫(7 −2x)cos |
x |
dx ; |
∫ |
x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− x2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x sin(2x +3)dx ; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||
3.28 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 − x4 |
|
|
|
|
|
|
|
x +1 + |
(x +1)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.29 |
∫ |
dx |
; |
∫(x + 2)e−3x dx ; |
∫ |
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x cos2 x |
(2 − x) + |
1− x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
|
|
в) |
|
3.30 |
∫ex cosex dx ; |
∫(x −1)cos(x −1)dx ; |
∫ |
dx |
. |
|
2 1+ x +1 |
||||||
|
|
|
( |
) |
|
Задание 4
Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков товара, законы спроса и предложения на которые определяются функциями:
D : p = a − x2 , S : p = b + c x2 ,
где x – количество товара, p – цена на этот товар.
Данные к задаче взять из таблицы 3.
Таблица 3
|
4.01 |
4.02 |
4.03 |
4.04 |
4.05 |
4.06 |
4.07 |
4.08 |
4.09 |
4.10 |
a |
18 |
35,6 |
49 |
38 |
100 |
88 |
22 |
23,3 |
34 |
32 |
b |
6 |
14,8 |
13 |
32 |
46 |
13 |
12 |
17,7 |
10 |
12 |
c |
2 |
0,3 |
3 |
0,5 |
5 |
2 |
1,5 |
0,4 |
0,5 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11 |
4.12 |
4.13 |
4.14 |
4.15 |
4.16 |
4.17 |
4.18 |
4.19 |
4.20 |
a |
13,2 |
47 |
43 |
16 |
52 |
75 |
50 |
48 |
60 |
83 |
b |
2,4 |
15 |
15 |
7 |
17 |
19 |
27,5 |
30 |
12 |
23 |
c |
0,2 |
1 |
6 |
1,25 |
0,4 |
2,5 |
1,5 |
0,125 |
2 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.21 |
4.22 |
4.23 |
4.24 |
4.25 |
4.26 |
4.27 |
4.28 |
4.29 |
4.30 |
a |
150 |
78 |
70 |
66 |
43 |
19 |
51 |
52 |
55 |
70 |
b |
40 |
46 |
15 |
21 |
13 |
6 |
27 |
7 |
10 |
54 |
c |
0,1 |
7 |
1,2 |
4 |
0,2 |
2,25 |
5 |
4 |
0,25 |
3 |
Задание 5
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
5.01y′ + sin x y = (2x −1)ecos x .
5.03x y′ + y = ex .
5.05x y′− y = 2x ln x .
5.07y′ + tg x y = (6x2 +1)cos x .
5.09cos x y′−sin x y = e−x .
5.11x y′+3y =12 (1+ x).
5.13x ln x y′− y = 3x3 ln2 x .
5.15 y′− |
2y |
|
(x +1)2 |
|
|
|
= |
cos2 x . |
|
x +1 |
5.02y′+ 2x y = 3x2 + 4x + 2 .
5.04x2 y′ − 2x y = 3 .
5.06x y′ + y = 3 x2 .
5.08x y′ − 2y = 2x4 .
5.10y′+cos x y = cos x .
5.12x y′ − 2y = x3 cos x .
5.14 |
(x +1)y′− y = ex (x +1)2 . |
||||
5.16 |
y′+ |
2xy |
= |
2sin2x . |
|
1+ x2 |
|||||
|
|
|
1+ x2 |
9
5.17 |
y′−ctgx y = 2x sin x . |
5.18 |
x y′+ y = −2ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.19 |
y′+ 2x y = 2x e−x2 . |
5.20 |
(x2 +1)y′+ 4xy = 3 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5.21 |
y′−3x2y = 3x2ex3 . |
5.22 |
(x +1)y′+ y = x3 + x2 . |
||||||||||||||||||||||||||
5.23 |
x2y′ + x y = −1. |
5.24 |
y′+2y = e−x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.25 |
y′− 2x y = 3x |
x ex2 . |
5.26 |
cos x y′−sin x y = 2x . |
|||||||||||||||||||||||||
5.27 |
y′ −tgx y |
= |
|
2 |
. |
5.28 |
y′− |
|
2 |
|
y = 4(x −2)3 . |
||||||||||||||||||
|
|
x |
−2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.29 |
y′−cos x y = (2x +cos x)esin x . 5.30 |
(x +1)2 y′+(x +1)y = 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||
а) Решить задачу Коши. |
Задание 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.01 |
а) y |
′′ |
−2y |
′ |
+5y = 0 , |
y(0) = 5 , |
′ |
= 7 ; |
|
б) y |
′′ |
− 4y |
′ |
|
−21y = 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.02 |
а) y |
′′ |
− y |
′ |
−2y = 0 , |
y(0) = 3 , |
′ |
= 3 ; |
|
б) y |
′′ |
+10y |
′ |
+ 25y = 0 . |
|||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.03 |
а) y |
′′ |
+5y |
′ |
+ 6y = 0 , |
y(0) =1, |
′ |
= −4 ; |
|
б) y |
′′ |
−6y |
′ |
+10y = 0 . |
|||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6.04 |
а) y |
′′ |
+ 4y |
′ |
−5y = 0 , |
y(0) = −4 , |
′ |
= 2 ; |
|
б) y |
′′ |
+ 4y |
′ |
|
+8y = 0. |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.05 |
а) y |
′′ |
+ 4y |
′ |
+ 4y = 0 , |
y(0) =1, |
′ |
= −1; |
|
б) y |
′′ |
+ 6y |
′ |
|
= 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.06 |
а) y |
′′ |
−3y |
′ |
+ 2y = 0 , |
y(0) = 2 , |
′ |
=1; |
|
|
б) 4y |
′′ |
−12y |
′ |
+9y = 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.07 |
а) y |
′′ |
+9y = 0 , |
|
|
y(0) = −1, |
′ |
= 3 ; |
|
б) y |
′′ |
−7y |
′ |
+12y = 0. |
|||||||||||||||
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.08 |
а) y |
′′ |
+ 2y |
′ |
−8y = 0 , |
y(0) = −2 , |
′ |
= −2 ; |
|
б) y |
′′ |
+3y = 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6.09 |
а) y |
′′ |
+ 2y |
′ |
+17y = 0 , |
y(0) = −1, |
′ |
= 5 ; |
|
б) y |
′′ |
−6y |
′ |
|
−7y = 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.10 |
а) y |
′′ |
−5y |
′ |
+ 6y = 0 , |
y(0) =1, |
′ |
= 4 ; |
|
б) y |
′′ |
− 4y |
′ |
|
+13y = 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.11 |
а) y |
′′ |
−7y |
′ |
+10y = 0 , |
y(0) = −1, |
′ |
= 2 ; |
|
б) y |
′′ |
+9y = 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6.12 |
а) y |
′′ |
−6y |
′ |
+10y = 0 , |
y(0) = 0 , |
′ |
=1; |
|
|
б) y |
′′ |
+7y |
′ |
|
+ 6y = 0 . |
|||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6.13 |
а) y |
′′ |
+ y |
′ |
−2y = 0 , |
y(0) =1, |
′ |
= 4 ; |
|
б) y |
′′ |
+ y |
′ |
= 0 . |
|||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6.14 |
а) y |
′′ |
−7y |
′ |
+ 6y = 0 , |
y(0) = −3 , |
′ |
= 2 ; |
|
б) y |
′′ |
−6y |
′ |
|
+ 25y = 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.15 |
а) y |
′′ |
−3y |
′ |
= 0, |
|
|
y(0) = 2 , |
′ |
= 3 ; |
|
б) y |
′′ |
− 4y |
′ |
|
+ 20y = 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.16 |
а) y |
′′ |
+10y |
′ |
+ 25y = 0 , |
y(0) =1, |
′ |
= −1; |
|
б) y |
′′ |
+ 2y = 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6.17 |
а) y |
′′ |
−2y |
′ |
−3y = 0, |
y(0) = 2 , |
′ |
= 0 ; |
|
б) 4y |
′′ |
+ 4y |
′ |
|
+ y = 0 . |
||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.18 |
а) y |
′′ |
+ 4y = 0 , |
|
|
y(0) = −1, |
′ |
= 2 ; |
|
б) y |
′′ |
+ 2y |
′ |
−15y = 0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.19 |
а) y |
′′ |
+8y |
′ |
+ 25y = 0 , |
y(0) = 0 , |
′ |
= 4 ; |
|
б) y |
′′ |
−11y |
′ |
+10y = 0 . |
|||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6.20 |
а) y |
′′ |
−7y |
′ |
−8y = 0, |
y(0) = 3 , |
′ |
= 3 ; |
|
б) y |
′′ |
+5y = 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|