2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(Хо,Уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к.

Уравнение с различными значениями к называют также уравнениеми пучка прямых с центром в точке М(Хо,Уо).

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

, уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х1, у₁) и М₂(х₂,у₂)

4. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1(а,0), а ось Оу – в точке М2(0, b)

В этом случае уравнение примет вид:

1. уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

- уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

5. нормальное уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

Расстояние от точки до прямой:

. Плоскость в пространстве.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

Точка Мо(Хо, Уо), вектор

2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

3. Нормальное уравнение плоскости: .

4. Угол между двумя плоскостями:

5. расстояние от точки до плоскости:

6. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Прямая в пространстве.

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:

.

где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

.

3. Общие уравнения прямой:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

4. Векторное уравнение прямой:

5. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:

6. угол между прямыми:

18. взаимное расположение плоскостей.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

.

Если плоскости перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е. . Но тогда,т.е.

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали. Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: . Это и естьусловие параллельности двух плоскостей.

19. Взаимное расположение прямых.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S₁ и S₂.

Для нахождения острого угла между прямыми L₁ и L₂ числитель правой части формулы следует взять по модулю.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos=0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. =0.

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то параллельны их направляющие векторы S₁ и S₂. следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:

=0.

При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.