III к. - Методы математической физики / Литература / Русак В.Н. Филиппова Н.К. - Задачи по математической физике и их решение
.pdf
276. |
|
|
u |
|
|
1 |
u |
|
|
u |
|
|
|
0 |
(0 r 1, |
0 z 1), u |
|
/ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
rr |
r |
r |
zz |
|
z |
z 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u / |
r 1 |
0, u / |
z 1 |
|
|
0, |
|
|
|
u / |
r 0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
277. |
|
|
u |
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
(0 r a, |
|
0 2 ), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
rr |
r |
r |
|
|
r |
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u / |
r a |
|
A (2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
278. |
|
|
u |
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u |
|
|
|
0 |
|
(0 r a, |
|
|
0 ), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
rr |
r |
r |
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u / |
0 |
|
|
0, u / |
|
|
0, u / |
r a |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
279. |
|
|
u |
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u |
|
|
|
0 |
|
(0 r a, |
|
|
0 ), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
rr |
r |
r |
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
u |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
u / |
|
|
|
sign |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
r a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
280. |
|
u |
|
|
|
1 |
u |
|
|
4r |
|
|
(0 r a), u / |
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
rr |
r |
|
r |
|
|
|
r a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
281. u |
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u |
|
|
|
|
r |
2 |
cos 2 (0 |
|
r a), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
rr |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
282. u |
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u |
|
|
|
|
12r |
2 |
cos 2 (1 r 2), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
rr |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u / |
r 1 |
|
0, |
|
u |
r |
/ |
r 2 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
283. |
u |
|
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
1 |
|
u |
|
|
|
|
0 |
(0 r 1), u / |
|
|
sin |
4 |
cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
rr |
r |
r |
|
|
|
|
2 |
|
|
r 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
284. |
u |
|
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
1 |
|
u |
|
|
|
|
0 |
|
(1 r 2), u / |
|
|
1 cos |
2 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
rr |
r |
r |
|
r |
2 |
|
|
|
|
r 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u / |
|
|
|
|
sin |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q,
4 |
. |
|
285. |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
1 |
|
u |
|
|
|
ctg |
u |
|
0, |
(0 r a), |
||||
rr |
r |
r |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u / |
r a |
cos 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
286. |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
1 |
|
u |
|
|
|
ctg |
u |
|
0 |
(1 r 2), |
||||
rr |
r |
r |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u / |
|
|
|
1 |
cos |
, |
u / |
|
|
|
1 |
cos 2 . |
|
|||||||||
r 1 |
2 |
r 2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
287. |
u |
|
|
2 |
u |
|
|
1 |
u |
|
|
ctg |
u |
|
0 |
(r 1), |
|||||
rr |
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
2 |
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u 24r / |
r |
1 |
sin2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
288. |
u 0 |
(0 r 1, |
0 , |
0 2 ), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u /r 1 (sin sin 2 ) sin |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
289.u 0 (0 r 1, 0 , 0 2 ), ur /r 1 sin9 sin 9 .
290.u 0 (0 r a, 0 , 0 2 ),
u / |
|
|
|
sin |
|
2 |
|
sin |
2 |
cos . |
|
|
|
|
||||
r a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
291. u 0 |
|
(r 1, |
0 , 0 2 ), |
|
|
|
|
|||||||||||
u |
|
/ |
|
sin |
|
|
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
||||
r |
r 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
292. |
u 0 |
(r a, 0 , 0 2 ), u / |
|
sin |
40 |
sin 40 .. |
||||||||||||
r a |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102
Литература
1.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1 5. М.: Физматгиз,
1958-1960.
2.Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.:
Наука, 1965.
3.Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука,
1965.
4.Свешников А. Г., Тихонов А. Н.Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967.
5.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.
6.Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
7.Арсенин В. Я. Математическая физика.- М.: Наука, 1966.
8.Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1967.
9.Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962.
10.Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.
11.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физиики. М.: Наука, 1966.
12.Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н . Сборник задач по математической физике. М.:Гостехиздат, 1956.
13.Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1968.
14. Сборник задач по уравнениям математической физике./ Под редакцией В.С.Владимирова. М.: Наука, 1974.
15.Бицадзе А. В., Колиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физике. М.: Наука, 1977.
16.Русак В.Н. Математическая физика. Мн.: Дизайн ПРО, 1998.
103
Содержание Предисловие..………………………………………………………………....3
§1.Ряды и преобразования Фурье…….……………………………………...4 §2.Операционное исчисление………………………………………………11 §3. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка……………………………….…..21 §4. Простейший вариант метода разделения переменных………………..27 §5. решение смешанной задачи с неоднородностями в уравнении или в граничных условиях……………………………………………………...…39
§6. Метод разделения переменных для параболических уравнений……49 §7. Цилиндрические функции и решение смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов………………………………60 §8. Метод разделения для уравнений эллиптического типа…………..…81
Литература………………………………………………………………….103
104
Учебное издание Задачи по математической
и их решения Авторы=составители: Русак Валентин Николаевич,
Филиппова Нелли Константиновна. В авторской редакции
Технический редактор Т. К. Раманович Корректор О. Н. Кохно Копьютерная верстка
Ответственный за выпуск Л. В. Рутковская
Подписано в печать 00.00.2006. Формат 6084 \16. |
Бумага офсетная. |
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч. изд. Л. 4,0. Тираж экз. Зак.
Белорусский государственный университет. Лицензия на осуществление издательской деятельности №02330/0056804 от 02.03.2004.
220050, Минск, проспект Независимости, 4. Отпечатано с оригинала=макета заказчика. Республиканское унитарное предприятие
«Издательский центр Белорусского государственного университета». Лицензия на осуществление полиграфической деятельности №02330/0056850 от 30.04.2004.
220050, Минск, ул. Красноармейская, 6.
105