Русак В.Н. Филиппова Н.К. - Задачи по математической физике и их решение

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лю, а начальное отклонение

.pdf

Скачиваний:

215

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

			x	n 2k
			x
1					(k 1)	(n k 1)
1	( 1)	k	2		(k 1)	(n k 1)	,	(69)
	( 1)						,	(69)
k 0			k!(k n)!		(k 1)	(n k 1)

из которого видно, что функция Вебера-Неймана не ности точки х=0. Вместо соотношения (66) при v=n нения (65) берется в виде

y(x) C J	(x) C N	n	(x).
1 n	2	n

ограничена в окрестобщее решение урав-

(70)

Цилиндрические функции Бесселя с соседними индексами и их производные связаны между собой рекуррентными соотношениями

(x) J

(x)

(x),

J (x) J

(x)

v 1

(x),

(x) J

(x).

(71)

v 1

Отметим важный частный случай второй из формул (71) при v=0

J	(x) J (x).
0	1

(72)

Третье из соотношений (72) может быть записано в интегральной форме

			x
x	v	Jv	(x) t	Jv 1	(t)dt.
x		Jv	(x) t	Jv 1	(t)dt.
			0

(73)

Наиболее часто употребляются цилиндрические функции с целыми индексами J0(x), J1(x), …, Jn(x), …, а также положительные нули этих функций. Всякое уравнение Jn(x)=0 имеет счетное множество положительных корней:

	(n)	(n)	...	(n)	...	,
	(n)	(n)		(n)
1		2		k

или, что то же самое, функция Jn(x) имеет счетное множество положительных нулей. Приведём вычисленные с точностью до четырех десятичных знаков значения первых шести нулей функции J0(x):

1(0) 2, 4048; (0)2 5,5201; 3(0) 8, 6537;(0)4 11, 7915; 5(0) 14,9309; (0)6 18, 0711.

Вспомним, что если коэффициент k(х) обращается в нуль при х=0, то появляется так называемый особый случай постановки задачи Штурма Лиувилля (сравните (61 62)):

(k(x) X ) q(x) X p(x)X 0,
		(74)
	, X (l) 0.	(74)
X 0	, X (l) 0.

Уравнение (65) может быть записано в эквивалентной форме:


	2
(xy )	x	y xy 0,
	x

(75)

и естественно, что оно соответствует особому случаю постановки краевых задач, когда k(x)=x, k(0)=0.

Простейшая краевая задача для уравнения Бесселя возникает при изучении собственных колебаний круглой мембраны:

rR 0,

0 r l,

(76)

R(0)

R(l) 0.

(77)

Здесь k(r)=r и весовая функция

p(r)=r. Чтобы ее решить, полагаем

x=λr, где x новая независимая переменная. Тогда

и уравнение (76) приводится к уравнению Бесселя

1 dR

R 0.

x dx

Общее решение этого уравнения представим формулой (70), а после возвращения к переменной r получим общее решение уравнения (76) в виде

R(r) C J	( r) C N	( r)
1 n	2 n

(78)

Из (77) и (79) ясно, что Jn(0)=0, Nn(0)=∞, поэтому выполнимость первого из граничных условий (77)

C	0 C
1	2

означает, что С2=0. Тогда полагаем С1=1, и со второго граничного условия находим собственные значения

		( l) 0 l (n) ,	(n)
J	n	( l) 0 l (n) ,	k .
	n	k	l
			l

Соответственно из (78) найдем собственные функции

		(n)
Rk	(r) Jn	k
		l

r , k 1, . (79)

Найденные собственные функции образуют ортогональную систему с весом r на отрезке [0,l], т.е. выполнено условие ортогональности

(n)

dr 0, k

и можно рассматривать ряды Фурье по системе (79):

(n)

f (r), f

rf (r)J

dr.

(r)

k 1

Квадрат нормы собственной функции вычисляется точно и имеет значение

(n)

Отметим также частный случай (см. (42))

l		(0)	r	2	l	2			.
								0
r J		k		dr			2
	0	l			2		J1	k
0

(80)

(81)

Довольно часто встречается и вторая краевая задача для уравнения Бесселя

d		dR	n	2				82
d		dR	n		2	rR 0,	0 r l,
	r		r		R	rR 0,	0 r l,
dr		dr	r
R(0)		,	R (l) 0.					83

И на этот раз общее решение уравнения (82) может быть записано в виде (78), снова получим С2=0 и С1=1, а собственные значения будут определяться из условия

где через

	k
	(n)
	(n)

		k 1

					(n)
J	( l) 0 l	(n)	,		k	,
J	( l) 0 l		,			,

n		k		l
				l

обозначены положительные нули производной

J (x). n

Собственные функции задачи (82 83) будут записаны в виде

				(n)
				(n)
R	(r) J			k	r	,	k 1, ;
				k
			l
k		n	l
k		n

они образуют ортогональную систему с весом

(kn)r

(n)

r J

r на [0, l], а квадрат нормы

n2
n2		2	n
		Jn	k	.
k	2	Jn	k	.
n

229. Решите задачу о свободных колебаниях однородной круглой мембраны радиуса l, закрепленной по краю, если начальная скорость равна ну-

Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу

, 0 r l,

u /

r l

r 0

u /

t 0

по методу Фурье, полагая u(r,t) T(t) R(r).

После подстановки в дифференциальное уравнение и разделения переменных придем к равенству

Из условия u случае R(0) ,

1 dR

a T

/r l 0

найдем R(l)=0, а второе условие как в особом

поэтому придем к задаче Штурма Лиувилля:

d		2	R		1 dR
d			R		1 dR	2	R 0,
						2
				2
dr				2	r dr
dr					r dr
	R(0) ,					R(l) 0.
	R(0) ,					R(l) 0.

Вводя новую переменную				x r,			будем иметь
Вводя новую переменную							будем иметь
d	2	R				1 dR
d		R				1 dR	R 0,
dx			2			x dx	R 0,
			2

и его общее решение (см.(35))
R C J					0	(x) C N		0	(x).
			1		0		2	0

Возвращаясь к переменной r, получим общий вид радиальной

функции:
R(r) C J		( r) C N		( r).
1	0	2	0

Из условия

тогда полагаем

(0) найдем

C1J0 (0) C2 N0 (0) C2 0,

1, J0 ( l) 0, откуда

l (0)	,	(0)
		k
k		l

, Rk (r) J0		(0)
, Rk (r) J0		k
		l

r , k 1, .

Для временной функции T(t) имеем дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

	(0)	2
T	k	a	T 0,
	l

и его решение есть линейная комбинация

Tk (t) Ak cos	(0) at	Bk		(0) at
	k		sin	k	.
	l			l

Умножая ее на собственную функцию и суммируя по всем k , получим ряд

(0)

u(r,t)

A cos

B sin

k 1

Из второго начального условия получим

(0)

0 B

1 J

0 B

k 1

Первое начальное условие приводит к равенству

		(0)	r	h	1	r	2
		(0)					2
A J		k						,
A J	0						2	,
k	0	l				l	2
k 1		l				l

откуда с учетом (81) найдем (см.также (73))

														2h						l				r		3								(0)		r
						A																	r						J					k				dr
						A						2		2		(0)							r		2				J	0								dr
							k					2		2		(0)									2					0
											l		J1 k							0				l										l
																												( 0 )
(0)k		r									l											2h					k					l			2				l2 x3
			x, dr											dx																					x								J0 (x)dx
			x, dr								(0)			dx						2		2	0									(0)			x					0	4		J0 (x)dx
										k										2		2																		0
	l									k									l		J1		k					0 k											k

																																			( 0 )
						2h								1																	1			k			x3 J0 (x)dx
						2h								1				(0)k				J1 ( (0)k )									1

				J1				0					k				2												k				4
				J1			k						k																k						0
					2									0																	0

							J1		k
											0												( 0 )
		2h															1					k																						2h
		2h															1						(x	3									2											2h
																									J
2			0						(0)								0				4				J		0	(x) x						J0 (x))dx									2	0
2								k									0																										2
	J1	k						k							k								0																			J1		k

		J					0							1																								( 0 )			( 0 )
				1			k							1							3										2								k		k				2
														0			x J							(x) x J											(x)			0					(3x J (x) 2xJ									(x))			dx
						(0)								0		4							1											0				0								0					0
						(0)					k					4							1											0												0					0
						k					k																														0
						k
								J
		2h						J						0					1											3													( 0 )								( 0 )
														0
										1				k													0											0							2
																						4 k									( J1 k												k								k
	1				0							(0)					k					4 k									( J1 k												3x dJ0				(x) 2						xJ0		(x)dx
	1				k												k
J 2												k							0																								0								0
												k																															0								0

																																	( 0 )
					2h																					( 0 )						k														8h										0
					2h										3x			2	J		(x)				k			4							xJ		(x)dx									8h							(0)	J		0
													4		3x				J	0	(x)							4							xJ	0	(x)dx													4			k	J	1	k
J1			k				k						4							0					0											0							J1		k			k		4			k		1	k
J1			k				k																										0										J1		k			k
	2				0				0																																			2		0			0
																													8h										.
																							k						3		J1				k				.
																										0			3						0
																										0									0
				Подставляя найденные коэффициенты в ряд, придем к ответу
																													1													(0)		r				(0)	at
									u(r,t) 8h													k							J1 k										J			k		cos				k		,
									u(r,t) 8h																			3											J	0			l	cos				l		,

																			k 1					0											0
																			k 1

где (0)k положительные корни уравнения J0(x)=0.

230 Решите задачу о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса l, закрепленной по краю и колеблющейся в среде, сопротивление которой

пропорционально скорости, если

u /		(r),	u	/		0.
u /	t 0	(r),	t	/	t 0	0.
	t 0				t 0

Р е ш е н и е. Здесь нужно решать смешанную задачу

1 u

2 2h

, u /r l

u /r 0

(r),

u /

t 0

методом Фурье, полагая u(r,t)=R(r)T(t). Тогда после разделения переменных в дифференциальном уравнении

		R	1	R
T	2hT
			r		2 .

	a2T	R

С учетом граничных условий придем к задаче Штурма радиальной функции

Лиувилля для

	R	1	2	R 0,
	R	r	R	R 0,
		r
R 0			, R(l) 0,

и ее собственные значения и собственные функции, как и в предыдущей задаче, соответственно равны

(0)

, R (r) J

, k

1, .

Дифференциальное уравнение для временной функции при малом h

(0)

T 2hT

T 0

имеет решение

(0)

A cos q t B sin q t ,

T (t) e

Составляем ряд

(0)

u(r,t)

A cos q t

B sin q t J

k 1

и подставляя его в начальное условие

u /

t 0

(r),

придем к равенству

(0)

J0 k

r (r)

k 1

r r J

0 r

(0)

r (r)J

dr.

(0)

( k )

Из второго граничного условия вытекает, что

(0)

/t 0 ( hAk qk

Bk )J0

r 0

k 1

hA q B

0, B

A .

В итоге придем к ответу

cos q

sin q

(0)

u(r,t)

r (r)J0

dr.

(0)

k 1

( k

)

231. Уравнение малых продольных колебаний нити, подвешенной в концевой точке x=l и колеблющейся под действием силы тяжести, имеет вид

Найдите u(x,t) при t>0 если

u(x,t) /

f (x),

t 0

Р е ш е н и е. Здесь возникает смешанная задача

2 u

x , 0 x l, t

, u / x l 0,

u / x 0

u /

t 0

f (x),

t 0

Полагая u(x,t)=X(x)T(t) придем к соотношению

(xX

)

a T

С учетом граничных условий, придем к задаче Штурма

xX X 2 X 0,

	, X (l) 0,
X 0	, X (l) 0,

Лиувилля

ее собственные функции ортогональны с единичным весом на [0, l]. Вве-

дя новую переменную

, найдем

d 2 X

dr 2 x ,

4x 4x3 /2

dr ,

соответственно преобразуется и задача Штурма Лиувилля

1 dX

4 2 X 0,

r dr

X /

r 0

, X /

r l

а ее собственные значения и собственные функции

соответственно бу-

дут

(0)

J0 k

0, k 1, .

;

(0)

Дифференциальное уравнение для временной функции

(0)

)

T 0 имеет решение

(0)

(t) A cos

B sin

поэтому составляем ряд

(0)

u(x,t)

A cos

B sin

k 1

Подставляя его в первое начальное условие, найдем

f x J0

(0)

A J

f (x) A

k 1

причем для интеграла, стоящего в знаменателе, верно равенство

(0)

x t, 0 t

x t

, dx 2tdt

(0)

2 t J0

dt lJ1

следовательно, окончательно имеем

(0)

f (x)J

dx.

lJ1

Из второго начального условия вытекает, что Bk=0, поэтому в ответе получим

(0)

a (0)k t

u(x,t)

cos

f (x)

2 l

k 1

232.Круглая однородная мембрана радиуса l закреплена по краю, находится в состоянии равновесия при натяжении Т0. Найдите отклонение мембраны u(r,t) от положения равновесия, если к ней прилагается равно-

мерно распределенная нагрузка

f	sin t.
	0
	69

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче

		u					u				1 u					T
	2	2	a			2		2					sin t,	a			.
		2	a		2			2					sin t,	a	2	0	.
					2										2	0
	t					r					r r					P
																0
				,					u /r l			0,
u /r 0				,					u /r l			0,
						u
	u /			0,		u				/		0.
		t 0					t				t 0

Найдем решение имеющегося дифференциального уравнения в виде v(r,t) v(r)sin t.

Относительно v( r ) будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение

d	2	v	1 dv		2		1
						v			0,
dr		2	r dr	a	2		a	2

частным решением которого будет, что нетрудно проверить, функция

		J0	r
	1	J0
	1		a

v(r)	2	J0	e	1	,
		J0
			a

и это частное решение удовлетворяет граничным условиям

v /	r l	0, v /	r 0	.
	r l		r 0

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы

		J0	r
	sin t	J0
u(r, t)	sin t		a		w(r, t),
	2		l
	2	J0	l	1
		J0
			a

и функция w(x,t) , будет уже решением однородной смешанной задачи

	w					w			1	w
	w					w			1	w
2		2 a			2		2				0,
		2 a		2			2				0,
				2
t					r				r	r
			,				w /r l			0,
w /r 0			,				w /r l			0,
														0	r
						w					1		J		r
			0,			w		/t 0			1	1	J			a	r		,
w /t 0			0,					/t 0				1				a	r		,
						t											J0	a


											70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература