Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Русак В.Н. Филиппова Н.К. - Задачи по математической физике и их решение

.pdf

Скачиваний:

215

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Простой прием позволяет свести данную задачу к уже исследованной

задаче (43)

(45). Действительно, и на этот раз полагая

u(x,t) = v(x,t) + w(x,t),

где v(x,t) новая неизвестная функция, перейдем к задаче

f (x, t),

(52

)

(t) w(0, t),

(t) w(l, t),

v /

(53

)

x 0

x l

v /

f (x),

(x).

(54

)

t 0

Мы не уточняем конкретные выражения функций

(x,t)	,	но ясно, что они находятся через	f (x,t), (x,t),

f(x,t), (x,t),

x , w x .

Возьмем теперь функцию w(x,t) такой, чтобы выполнялись соотношения

(t) w(0,t) 0,					(t) w(l,t) 0,	(55)
1				2		(55)
нам подойдут в частности
w(x,t) (t)	x	(		(t) (t)).
w(x,t) (t)		(	2	(t) (t)).
1	l		2		1
	l

При выполнении условий (55) штрихованная задача (52 ) (54 ) переходит в уже решенную задачу (43) (45).

174. Жестко закрепленный в точке х=0 стержень l находится в состоянии покоя. В момент t=0 к его концу x=l приложена сила Q, действующая вдоль стержня. Найти смещение точек стержня u(x,t) при t>0.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче

		2	u				2	u
		2					2
				a	2				0,
	t		2	a		x		2	0,
			2					2

								u
					0,			u		/				Q	,
u /			x 0		0,					/	x l				,
			x 0					x			x l			E
								x						E
								u
					0,			u		/			0,
u /			t 0		0,					/	t	0	0,
			t 0					t			t	0
								t

где Е – модуль упругости; и - площадь поперечного сечения стержня. Здесь нужно сделать замену

u(x,t) v(x,t) EQ x,

тогда неоднородность переместится в начальные условия и функция v(x,t) будет решением простейшей смешанной задачи

v /

x 0

x l

v /

t 0

Как и при решении задачи 145, найдем, что

1 a

v(x,t) sin k

Ak cos k

sin k

k 0

2 l

и подставляя ряд в первое начальное условие, будем иметь

A sin

x sin

E l

k 0

x cos

cos k

E l

(2k 1)

8Ql

( 1)

k 1

E (2k 1)

Из второго начального условия вытекает, что

k 0, ,

поэтому окончательный ответ

8Ql

( 1)

k 1

(2k 1) at

(2k 1) x

u(x,t)

cos

sin

(2k

175. Решите задачу о вынужденных продольных колебаниях стержня, закрепленного в конце х=0 и подверженного на другом конце x=l, дейст-

вию возмущающей силы, которая вызывает смещение

Asin wt, w	k a	,
	l

k1, .В момент времени t=0 смещение и скорости отсутствуют.

Ре ш е н и е. Отклонение точек стержня u(x,t) от положения равнове - сия будет решением смешанной задачи

	2		2	u2 0,
		u2 a2		u2 0,
	t		x
u / x 0			0,	ux l		Asin wt,
				u
			0,	u	/t 0		0.
u /t 0			0,	t	/t 0		0.

				42

Решение этой задачи нужно искать в виде суммы

	sin	wx
u x, t v x, t A sin wt		a
			wl ,
		sin
			a

и относительно новой неизвестной функции v(x,t) будем иметь простейшую смешанную задачу

		2	2v a 2		2	v2 0,
			2v a 2			v2 0,
	t			x		v
				0,		v	/		0,
v /			x 0	0,		x	/	x l	0,
			x 0			x		x l
						v
				0,		v	/ t 0		A sin wt	sin wxa	wl .
v / t 0				0,		t	/ t 0		A sin wt	sin	wl .
						t				sin	a

Ее решение будет представлено в виде ряда (см. решение задачи 144)

			k x		k at		k at
v(x,t)		sin		A cos		B sin		,

			l	k	l	k	l
	k 1

причем из первого начального условия вытекает, что Аk=0, а из второго начального условия следует

sin

k x

B sin

k 1

sin

2 Aw

k x

sin

k a

sin

2Aw 1 1

sin

k a

sin

2k a

Aw 1

sin

( 1)

k a

k a 2

sin

( 1)	k 1	2Awa			1			.
	k 1
		l			k a		2
							2
			w	2
			w			l
						l

Все коэффициенты найдены, и тогда ответ будет иметь вид

sin

( 1)k 1 sin

k at

sin

k x

2Awa

u(x,t) Asin wt

2 k a

sin

l k 1

176. Решите уравнение вынужденных колебаний

	u		u
2		2			x l x t
t		x			2
t	2	x		2
	2			2

при нулевых начальных и граничных условиях u /x Р е ш е н и е. Нужно решать смешанную задачу

0,	u /	x l
		x l

x l x t

u /

x 0

x l

u /

t 0

Решение ищем в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям:

k x

u(x,t) sin

uk (t).

k 1

Правую часть уравнения также раскладываем в ряд Фурье

k x

x(l x) t

(t)sin

fk (t) t

x(l x)sin

k 1

k x

3 , если k 2m 1

cos

(2m

если

k 2m.

Подставляем эти ряды в исходное дифференциальное уравнение:

k 1

	k x				k			2

sin		uk t					uk t
	l
				k 1	l				k 1
			k x 2
			t			uk t fk t ,
uk
			l

	fk t sin			k x
	fk t sin			l
				l

	k 1,

Из начальных условий для u(x,t) вытекает т.е. нужно теперь решить задачи Коши

u (0) 0, u		(0) 0,
k	k

(t) f

(t),

u (t)

(0) 0,

k 1, .

Если k=2m четное, то решением задачи Коши будет тривиальное

решение uk 0. Если же k=2m+1 нечетное, то дифференциальное урав-

нение

(t)

(2m 1)2 2

uk (t)

8l2t2

(2m 1)3 3

имеет частное решение в виде полинома

(2m 1)

(t) A t

A t

k ,

(2m 1)

16 l

(2m

В таком случае общее решение будет иметь вид

16l

(2m 1)

(t)

cos

t D sin

(2m 1)

Из условия uk(0)=0

вытекает, что

		16l6
				Ck 0 Ck
	(2m 1)7 7
Из второго условия		u	0 0		получим,
		k

Итак, при нечетных k решением задачи

uk	(t)	8l4t2			16l6
		(2m	1)5	5	(2m	1)7 7

16l6
(2m 1)7 7 .
что Dk=0.
Коши будет функция
16l6	(2m 1)
(2m 1)7 7 cos	l	t,

и соответственно решение рассматриваемой смешанной задачи примет вид

sin

(2k 1) x

sin

(2k 1) x

16l

u(x, t)

(2k 1)

k 0

sin

(2k 1) x

cos

(2k 1) t

16 l

(2k 1)

k 0

177. Решите задачу о продольных колебаниях u(x,t) стержня, подвешен - ного в концевой точке х=0, совершаемых под влиянием силы тяжести, если

u	/		0, u /		0,	u	/		0.
x		x l		t 0		t		t 0

Р е ш е н и е: Здесь нужно рассматривать смешанную задачу

u /

x 0

x l

u /

t 0

Вводим новую неизвестную функцию v(x,t), полагая u(x,t) = v(x,t) + w(x)

и выбирая w(x) такой, чтобы для функции v(x,t) получить однородное уравнение и однородные граничные условия. Для этого нужно потребовать

q w(x)

C x C

и далее выбрать константы из условий

w(0) 0,w (0) 0 C								0,C			ql		.
w(0) 0,w (0) 0 C								0,C				2	.
							2			1	a	2
											a
В итоге получим, что
w(x)	q		x	2	ql		x	ql		x(2l x),
				2
	2a	2			a	2		2a	2
		2				2			2

и для таким образом подобранной функции w(x) относительно v(x,t) найдем простейшую смешанную задачу

2v a 2

v2 0,

v /

x 0

x l

x 2l x ,

v / t 0

/ t 0

a 2

Ее решение (как и в задаче 174) отыскивается в виде ряда с неопределенными коэффициентами:

1 a

v(x,t)

sin

A cos

t B sin

k 0

/ t 0

0 следует

причем из условия

k 0, ,

а из первого

начального условия имеем

1 x

Ak sin

x(2l x)

k 0

2q l

2lx x2 sin

x dx

16ql2

3a2 2k 1

С учетом найденных коэффициентов Bk, Ak , и

w(x) ответ будет иметь

вид

16ql

(2k 1) at

(2k 1) x

u(x,t)

x(2l x)

cos

sin

(2k 1)

k 0

Решите следующие смешанные задачи.

178.u

bx, (0 x

l), u /

x 0

x l

0, u /

t 0

0, u

t 0

179.

utt

uxx

bx(l x)

(0 x l),

u / x 0

u / x l

u /t 0 0, ut

/t 0 0.

180.

a2u

b(l x)

(0 x l),

x 0

0, u /

x l

u /t 0 0, ut

/t 0 0.

181.

a2u

b(ex

1) (0 x l),

u /

x 0

u /

x l

0, u /

t 0

ut /t 0

182.

a2u

he t sin

(0 x l), u /

x 0

0, u /

x l

u /t 0 0, ut

/t 0 0.

183.

a2u

sin 2t

(0 x l), u

0, u

sin

sin 2t, u /

0, u

2 cos

184.

0 (0 x ), u /

t 2

u /

u /t 0

sin x,

ut /t 0 0.

185.

(0 x ), u /

x 0

e t , u /

u /t 0

sin x cos x, ut /t 0 1.

186. u u

1 (0 x 1), u /

x 0

u /

x 1

u /

t 0

187.	u	u	xx	0 (0 x ), u /	x 0
	tt		xx		x 0

t, u	x	/	x

1, u /		sin	x	,
1, u /	t 0	sin	2	,
	t 0

u	t	/	t 0	1.
	t		t 0
188. u					u		u	//	(0	x 1), u
188. u					u	t	u	xx	(0	x 1), u
				tt		t		xx
u	t	/	t 0	1 x.
	t		t 0

189.utt uxx u (0 x 2), u

190.utt uxx u (0 x 1), u /

191. u			u	xx	x (0 x 1), u /	x
		tt		xx		x
u /	t 0	0.
	t 0

t, u /

x 1

0, u /

t 0

x 0

2t,

u /

x 2

0, u /

t 0

x 0

0, u /

x 1

u /

t 0

0, u

t 0

u /

x 1

0, u /

t 0

sin 2 x,

§ 6. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения с переменными коэффициентами:

0 x l, t 0,

(56)

k(x)

q(x)u (x)

u( x, t) /

t 0,

(57)

u(x, t) /

x 0

x l

(x),

0 x l.

(58)

u(x, t) /

t 0

Предполагаем, что функции

k(x), q(x), (x)

непрерывны на отрезке

0, l и выполнены неравенства

k(x) 0, (x) 0, q(x) 0, x 0, l .

Будем искать решение задачи (56 58) в форме

u(x, t) X (x)T (t).

(59)

и подставляя (59) в (56), после разделения переменных получим

(k(x) X ) q(x) X

(60)

(x) X

Из (57) и (59) вытекает, что функция Х(х) должна удовлетворять гранич-

ным условиям	X (0)	0, X (l) 0.	Присоединив эти граничные условия к

дифференциальному уравнению для Х(х) получим, так называемую, задачу Штурма Лиувилля:


			(61)
	k(x) X q(x) X (x) X 0,		(61)
		X (l) 0,
X (0)		X (l) 0,	(62)

где нужно определить значения параметра и соответствующие нетривиальные решения Х(х).

Определение. Те значения параметра , для которых задача (61 62) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями.

Ранее у нас встречалась задача Штурма Лиувилля (37 38) для уравнения с постоянными коэффициентами и нахождение ее собственных функций базировалось на возможности найти явно общее решение дифференциального уравнения. Теперь мы имеем такую ситуацию, когда уравнение (61), вообще говоря, не интегрируется в квадратурах и в

первую очередь возникает вопрос о существовании собственных значений и собственных функций и их свойствах.

Справедливы следующие три теоремы.

Теорема 1. Задача Штурма Лиувилля (61 62) имеет счетное множество положительных собственных значений

			n
1	1		n

отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны

друг другу с весом		x	на отрезке 0, l , т. е.
друг другу с весом			на отрезке 0, l , т. е.
			l
			(x) X n (x) X m (x)dx 0 .
			0
Теорема 3. Если f(x) имеет на 0, l непрерывные производные до вто-
рого порядка	включительно и удовлетворяет граничным условиям
f (0) f (l) 0,	то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящий-
ся ряд Фурье по собственным функциям задачи (61				62)

			f (x) f k X k (x),
			k 1

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

	1			l			l
fk	1			(x) f (x) X k (x)dx,	X k	2	2
fk	X		2	(x) f (x) X k (x)dx,	X k		(x) X k
	X	k		0			0
		k		0			0

(x)dx.

Считая задачу Штурма-Лиувилля решенной, (60) и решим дифференциальное уравнение

		T		T 0.
			k
Очевидно, что Tk (t) Ak e	t	. Теперь составляем ряд
Очевидно, что Tk (t) Ak e	k	. Теперь составляем ряд
	k
								k
		u(x, t)	k			t		k
		u(x, t)		A e	k		X		(x)
					k
			k 1

вернемся к равенству

(63)

и определяем Аk так, чтобы выполнялось начальное условие (58), т. е.

Ak X k (x) (x),

k 1

откуда в силу теорем 2 и 3 следует, что

(x) f (x) X

(x)dx,

(x) X

(x)dx.

(64)

Итак найдено , что решение задачи (56

58) дается формулами (63), (64).

Заметим, что теорема 2 об ортогональности будет иметь место и для других задач Штурма Лиувилля, если граничные условия (57) заменить

на X (0) 0,	X (l) 0 или, например,	X (0) 0,	X (l) 0. Более того,
	50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

		2	u				2	u
		2					2
				a	2				0,
	t		2	a		x		2	0,
			2					2

								u
					0,			u		/				Q	,
u /			x 0		0,					/	x l				,
			x 0					x			x l			E
								x						E
								u
					0,			u		/			0,
u /			t 0		0,					/	t	0	0,
			t 0					t			t	0
								t

		2	u				2	u
		2					2
				a	2				0,
	t		2	a		x		2	0,
			2					2

								u
					0,			u		/				Q	,
u /			x 0		0,					/	x l				,
			x 0					x			x l			E
								x						E
								u
					0,			u		/			0,
u /			t 0		0,					/	t	0	0,
			t 0					t			t	0
								t

		2	u				2	u
		2					2
				a	2				0,
	t		2	a		x		2	0,
			2					2

								u
					0,			u		/				Q	,
u /			x 0		0,					/	x l				,
			x 0					x			x l			E
								x						E
								u
					0,			u		/			0,
u /			t 0		0,					/	t	0	0,
			t 0					t			t	0
								t