Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Русак В.Н. Филиппова Н.К. - Задачи по математической физике и их решение

.pdf

Скачиваний:

215

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

cos

(2n 1)

4bA

(2n 1) x

u(x, y) A

(2n 1)

(2n

1) a

n 0

250. Найдите стационарное распределение температуры в прямоугольной

пластине (x, y) : 0 x a, 0 y b ,	если стороны х=а и у=b покрыты
тепловой изоляцией, стороны х=0 и	у=0 поддерживаются при нулевой

температуре, и в пластинке выделяется тепло с плотностью Q.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна следующей краевой задаче (k – коэффициент внутренней теплопроводности)

u /

x 0

x a

y 0

0,	u	/
0,	y	/	y b
			y b

Возьмем частное решение, зависящее только от у


			Q y		2
u		( y)	Q y			Cy,
u	0	( y)	k	2		Cy,
	0

выберем константу С так, чтобы

u0 /

0 Q b C 0 C

y b

( y)

y b

Полагая теперь

u(x, y) v(x, y) u

( y)

, придем к краевой задаче для

уравнения Лапласа относительного новой неизвестной функции v(x,y) :

2 v

(x, y) ,

v / x 0

y b

/ x a

v / y 0 0,

/ y b

Как обычно, полагаем теперь ренциальным уравнениям

		X

		X
Из граничных условий v / y 0	0,

v(x, y) X (x)Y ( y)				и приходим к диффе-

		Y	2 .
		Y

v	/ y b		0 находим, что Y (0) 0,

y					Y (b) 0.

Следовательно, нужно решать задачу Штурма Лиувилля:

	Y	Y 0		2n 1
		2				, Yn y sin	2n 1
							2n 1	y.

					2b		2b
Y 0 0, Y b 0					2b		2b

			91

Для функции Х(х) будем иметь уравнение						X

решение может быть записано в виде
X		(x) A ch	(2n 1)	x B sh	(2n 1)
	n
		n	2b	n		2b

Гармоническая в функция

(2n 1)		2	2
(2n 1)			X 0,
4b	2		X 0,
	2

и его

v(x, y)			(2n 1)	x B sh	(2n 1)			2n 1	y
		A ch				x	sin

		n	2b	n	2b			2b
	n 0

удовлетворяет условиям v / y 0	0,	v	/ y b	0,	и остается выбрать коэффи-
		y

циенты An и Bn так, чтобы выполнялись два других граничных условия

2n 1

2 Q

(2n 1)

A sin

sin

ydy

b k

n 0

(2n 1)

8bQ

(2n 1)

( y b) cos

ydy

sin

ydy

(2n 1)k

k(2n 1)

(2n 1) y

16b

cos

16b

;

k(2n 1)

(2n

(2n 1)

2n 1

An sh

a Bnch

sin

n 0

(2n 1) a

A sh

B ch

16b

k (2n

Подставляя найденные коэффициенты в ряд, найдем

16Qb

(2n 1) a

(2n 1)

v(x, y)

x ch

3 th

x sin

n 0

k (2n

Решение исходной задачи получится окончательно в форме

16Qb

(2n 1)

u(x, y)

x ch

x sin

y b

n 0 (2n 1)

251. Найдите стационарную температуру u(r,z) внутренних

точек ци-

линдра

(r, , z) :

0 r a,

0 2 ,

0 z h ,

если температура нижнего

основания и боковой поверхности равна нулю, а температура верхнего основания u(r,h)=f(r).

Р е ш е н и е. Здесь нужно решать уравнение Лапласа в , и поскольку

температура не зависит от , то

	u
2
		0.
	2

Стало быть краевая задача запи-

шется в форме

	1				u	2u		0,
				r		z	2
				r			2
r			r		r
				0, u /r a 0,
u / z 0				0, u /r a 0,

u /		z h		f (r),
		z h

и решать ее нужно методом Фурье, полагая u(r,z)=R(r)Z(z). После разделения переменных в дифференциальном уравнении получим

1			Z
rR	(rR )		Z

Из граничного условия на боковой поверхности u/r=a=0 следует, что R(a)=0, поэтому с учетом обращения в нуль коэффициента k(r)=r при r=0 придем к задаче Штурма Лиувилля:(rR ) rR 0,

R(0) , R(a) 0.

Собственные функции этой задачи образуют ортогональную систему с весом r на отрезке 0,а (см. теорему 2 из параграфа 3). Дифференциальное уравнение

	R	1
	R	r
		r

после введения новой переменной селя нулевого порядка:

R R
x	r

приводится к уравнению Бес-

d 2h	1 dR
		R 0 R C J	(x) C N	(x) C J	(	r) C N	(	r).
dx2
	x dx	1 0	2 0	1 0		2 0

Применяя граничные условия, будем иметь с учетом того, что J0(0)=1,

N0(0)= и (0)k

положительные нули функции J0(x) :

k 1

C 1 C

C J

( a) 0 C 1,

следовательно

(0)

R (r) J

(0)

Из дифференциального уравнения

(0)

Z 0

вытекает, что

(0)

Z (z)

A sh

z B ch

Составляем ряд

(0)r

u(r, z)

A sh

B ch

k 1

Из условия u/z=0=0 найдем, что

B J

(0)

0 B

0, k 1, .

k 1

Из граничного условия на верхнем основании (см. (81))

(0)

f (r)

A sh

k 1

(0)

rf (r)J

2 rf (r)J0

(0)

a J1

С учетом найденных значений коэффициентов придем к ответу:

252.

дра

(0)

u(r, z)

rf (r)J0

(0)

(

(0)

)

dr.

k 1

Найдите стационарную температуру u(r,z) внутренних точек цилин-(r, , z) : 0 r a, 0 2 , 0 z h , если температура верхнего

основания и боковой поверхности равна нулю, а к нижнему основанию подводится постоянный тепловой поток q.

Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна следующей краевой задаче (k– коэффициент теплопроводности) в

u /

z h

z 0

Как и в предыдущей задаче находится гармоническая в функция, равная нулю на боковой поверхности

(0)

(h z)

(0)

u(r, z)

A sh

B sh

n 1

здесь вместо линейной комбинации гиперболических синуса и косинуса взята линейная комбинация гиперболического синуса и его сдвига. Применяя условие u/z=h=0,

	(0)	h			(0)	r	0	A 0, n 1, .
	(0)				(0)
A sh	n		J		n
A sh			J	0
n	a			0	a			n
n 1	a				a

Из граничного условия на нижнем основании будем иметь

(0)

n 1

(0)

0 x n

rJ0

(0)

ak n

(0)

2qa

(x)dx

2qa

(0)

2aq

J1 n

(0)

k n

J1 n

С учетом значений коэффициентов Аn

и Bn придем к ответу

(0)

(h z)

2aq

u(r, z)

(0)

253. Найдите решение краевой задачи

1 u

1 2u

sin 2 ,

r a,

u /

r a

Р е ш е н и е. Сперва найдем частное решение уравнения Пуассона в виде u0(r, )=v(r)sin2 .

Тогда

sin 2

v sin 2

sin 2

0 r

v rv 4v

Очевидно, решение уравнения Эйлера нужно искать в виде v=cr4, и получим

						r	4						1			r	4
12cr	4	4cr	4	4cr	4	r		0 c					1	,	v	r		.
	4		4		4
						2							24			24
						2							24			24
Таким образом, частным решением будет функция
				u (r, )					r4	sin 2 .
				u (r, )						sin 2 .
				0				24
								24
Вводим новую неизвестную функцию w(r, ) , полагая
										r	4
			u(r, ) w(r, )							r		sin 2 .
			u(r, ) w(r, )							24		sin 2 .
										24

Тогда относительно w(r, ) нужно решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа

r a,

w /

sin 2 .

Согласно (93), решение этой задачи дается формулой

w(r, )

A cos n B sin n .

n 1

Подставляя ее в граничное условие, получим

an An cos n Bn sin n

sin 2 B2

n 1

0, n 2;

A 0,

n 0, ; w(r, )

a2r2

sin 2 .

Ответом в задаче будет функция

u(r, )

sin 2

sin 2 .

254. Найдите решение первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

v k				2	v 0,	r a
				2
	v /		f ( , ),
	v /	r a	f ( , ),
		r a

предполагая, что k не является собственным значением задачи

2	v 0, v /		0.
v k		r a

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в сферических координатах

1							2 u							1				u					1			u			2
																									2
r	2					r					r		2	sin		sin				r	2	sin		2			2		k v 0.
	2												2								2			2			2
			r					r
Беря u(r, R(r)Y( после разделения переменных придем к
дифференциальным уравнениям:																								1	Y
															1									1	Y
																									2
			(r	2					2	r	2	R			sin		sin						sin					2
				2					2		2																	2
					R )				k																				.
									R										Y										.
									R										Y
Функция		Y , будет решением уравнения (72), которое нужно решать

при условии ограниченности и 2 -периодичности по . В результате придем к сферическим функциям при n(n+1):

Y	(m)

n

( , )

n 0,1, 2,...; m 0, 1, 2,..., n.

Относительно радиальной функции R(r) нужно решать дифференциальное уравнение

R	2		2	n(n 1)
		R k			2	R 0.
	r			r

Выполняя в этом уравнении замену

	1			1	1		3
R Zr	2	,	R Z r	2	1	Zr	2	,
R Zr		,	R Z r			Zr		,

					2

придем к соотношению относительно новой функции Z(r):

		1		3	3			3		3				5				n2	n		1
Z r	2		Z r	2		Zr		2 2Z r		2 Zr				2		k 2				Zr	2 0
Z r	2		Z r	2	4	Zr		2 2Z r		2 Zr				2		k 2		r	2	Zr	2 0
					4													r
													1		2
							Z				n
											n
					Z				k 2				2				Z 0.
													2

								Z			r	2

Последнее уравнение в качестве ограниченных в окрестности нуля r=0 решений имеет бесселевы функции

Z	n	(r) J	n	1
	n			1
				2
				2

(kr),

n 0,1,2,...,

соответственно будем иметь набор радиальных функций

			(kr) r	1

J	n	1		2	,	n 0, .
		1

		2
		2

Умножая их на сферические функции, получим набор решений уравнения Гельмгольца:

	1
r	2	J
r		J

			n	1
			n	2
				2

(kr)	Y	(m)	( , ),	n 0, ,	m n, n.
		(m)
	n

Составляем ряд с числовыми коэффициентами

		n			1
v(r, , )			A	r	2 J			(kr)Y	(m)	( , )
									(m)
							1
			nm			n	1	n
	n 0 m n					n	2
	n 0 m n						2

(119)

и определяем коэффициенты так, чтобы выполнялась граничное условие при r=a

2 J

(ka)Y

(m)

( , ) f ( , )

n 0 m n

f ( , )Y

(m)

( , ) sin

1 (ka)

(m)

( , )

2n 1

f ( , )Y

(m)

( , ) sin d dy

(ka)

где = 4 при m = 0 и =2 при

m 1.

При найденных коэффициентах Anm ряд (119) будет решением рассматриваемой краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

255. Найдите такую гармоническую u(r, ) функцию внутри шарового слоя 1 < r < 2 , чтобы выполнялись условия

u /		3sin 2 sin	2	, u /		3cos .
	r 1				r 2

Р е ш е н и е. Согласно (80), (88) и замечанию 4 общий вид гармонической функции в шаровом слое

n		n	Bnmr	(n 1) (m)	( , )
u(r, , )	Anmr		Bnmr	Yn	( , )	(120)
n 0 m n

Поскольку	Y ( 2)	( , ) 3sin2	sin 2 , Y (0)	( , ) cos ,	то можно
	2		1
(120) все коэффициенты равными нулю,				кроме A2, 2	, B2, 2 , A10 , B10.

ные четыре коэффициента будут решениями уравнений

считать в Отмечен-

A2, 2	B2, 2 1					1		32
					A2, 2		, B2, 2		;
		1		0
						31		31
4A2, 2			B2, 2
		8

A	B			0
10		10					12			12
						A	12	, B		12	.
		1				A		, B	2		.
2A		1	B		3	10	7	2,	2	7
2A			B		3		7			7
10		4	10
		4

В итоге получим, что искомая гармоническая функция в шаровом слое имеет вид

	12		1			96		3		2
u(r, , )		(r			) cos				r
u(r, , )	7	(r	r	2	) cos	31r	3	31	r
	7		r			31r		31
					98

sin 2 sin2 .

256. Найдите решение краевой задачи в прямоугольнике

0, 0 x a, 0 y b

u /

Asin

, u /

x 0

u /

Bx(a x), u /

y b

257. Найдите стационарное распределение температуры внутри тонкой

прямоугольной пластинки

(x, y) : 0 x a,

0 y b ,

если к стороне

у=0 подводится постоянный тепловой поток q, а остальные три стороны поддерживаются при постоянной температуре u1.

258. Найдите потенциал электростатического поля u(x,y) внутри прямоугольника (x, y) : 0 x a, 0 y b , если вдоль стороны у=0 потенциал равен u1, а три другие стороны заземлены. Электрические заряды внутри отсутствуют.

259. Найдите стационарное распределение температуры u(x,y) в прямоугольной пластинке (x, y) : 0 x a, 0 y b , если стороны х=а и у=b покрыты тепловой изоляцией, две другие стороны поддерживаются при нулевой температуре, а в пластинке выделяется тепло с постоянной плотностью q.

260. Найдите решение уравнения Лапласа в полуполосе

(x, y) : 0 x a, 0 y b , удовлетворяющее краевым условиям

u(0,y)=0, u(a,y)=0,u(x,0)=A(a x), u(x, )=0.

261. Найдите решение уравнения Лапласа в полуполосе

(x, y) : 0 x a, 0 y b , удовлетворяющее краевым условиям

u(0,y)=0,

u	(x, b) 0,	u(0, y) f ( y),	y( , y) 0.
y

262. Найдите распределение потенциала электростатического поля u(x,y,z) внутри прямоугольного параллелепипеда 0 x a, 0 y b, 0 z c , если его боковые грани и верхнее основание заземлены, а нижнее основание заряжено до потенциала u1.

263.Найдите стационарную температуру u(r,z) внутренних точек цилиндра радиуса а и высотой h, если температура обоих оснований равна нулю

и на боковой поверхности u(r,z)/r=a=f(z).

264. Найдите стационарное распределение температуры в цилиндре0 r a, 0 2 , 0 z h , если нижнее основание имеет температуру u1, а на остальной поверхности температура равна нулю.

265. Нижнее основание цилиндра 0 r a, 0 2 , 0 z h , имеет нулевую температуру, верхнее теплоизолировано, а температура боковой поверхности равна 0. Найдите стационарное распределение температуры внутри цилиндра.

Решите следующие краевые задачи

266.

(0 x 1, 0 y 2), u /

x 0

Ay(2 y),

u /

x 1

0, u /

y 0

Bx(1 x), u /

y 2

267.

(0 x ,

0 y 2),

u /

x 0

u /

y 0

0, u /

y 2

0, u /

268.

(0 x 1,

0 y ), u /

y 0

Ax(1

u /

0, u /

x 1

0, u /

269.

(0 x a,

0 y b), u /

sin

x 0

u /

0, u /

sin

2 x

sin

5 x

, u /

y 0

y b

270.

(0 x 1,

0 y 1), u

x 0

x 1

0, u /

y 0

u /

y 1

Ax.

271. u

2(x

2x 2 y)

(0 x 1,

0 y

u /

0, u /

x 1

0, u /

y 0

sin x, u /

y 1

,
x),
sin	5 y	,
sin	b	,
	b

1),

272.

(0 r a, 0 z h),

u / z 0 0, u / z h 0, u /r a 0, u /r 0 .

273.

u /

(0 r a, 0 z h), u /

z 0

ur /r a 0, u / z h f (r),

u /r 0 .

274.

(0 r a, 0 z h), u /

u / z h 0, u /r a f (z),

u /r 0 .

275.

(0 r a, 0 z h), u

z 0

uz / z h 0, u /r a f (z) (0 r a, 0 z h), u /r 0 2.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература