Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Русак В.Н. Филиппова Н.К. - Задачи по математической физике и их решение

.pdf

Скачиваний:

214

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

И ИХ РЕШЕНИЕ

Пособие для студентов физического факультета специальности 1-31 04 01 «Физика»

МИНСК

2006

А в т о р ы – с о с т а в и т е л и : В. Н. Русак, Н. К. Филиппова

Рекомендовано Ученым советом физического факультета

28 июня 2005 г.протокол №11

Р е ц е н з е н т ы :

доктор физико-математических наук, профессор В.Т. Ерофеенко; доктор физико-математических наук, профессор А. А. Пекарский.

Задачи по математической физике и их решения: пособие для студентов физ. спец. 1=310401 «Физика»/ авт.=сост. В.Н. Русак, Н.К. Филиппова. - Мн.: БГУ, 2006 г.-93 с.

Для студентов 1-2 курсов физического факультета и факультета радиофизики и электроники БГУ.

Предисловие Преподавание математических дисциплин на физических факультетах

Белорусского государственного университета складывалось на основе опубликованного В.И. Смирновым пятитомного «Курса высшей математики» 1 и серии учебных пособий 2 6 , отражающих опыт преподавания в московских вузах. Что касается непосредственно математической физики, то на русском языке также имеется ряд учебных пособий и сборников задач 7 15 .

В 1998 г. В.Н. Русак издал краткий курс математической физики рассчитанный на 90 лекционных часов. При написании настоящего пособия авторы, в доходчивой форме изложили круг основных идей и методов применяемых при решении задач математической физики в рамках действующей программы. В нем по каждой теме приведены необходимые теоретические сведения, подробно разобраны решения типовых упражнений и предложены примеры для самостоятельной работы. Основной ак - цент делается на метод разделения переменных и применение цилиндри - ческих функций.

Пособие адресовано студентам физикоматематических специальностей которые изучают дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения.

§ 1. РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Если f(x) 2l– периодическая кусочно-гладкая функция раскладывается в ряд Фурье

k x

f (x 0) f (x 0)

cos

bk sin

k 1

k x

f (x) cos

f (x) sin

dx.

dx, b

на R, то она

x R,	(1)
	(2)

Бывает так, что функция f(x) задана и является кусочно-гладкой на отрезке -l, l и ее также можно разложить в ряд Фурье вида (1-2), и сумма этого ряда будет 2l – периодическим продолжением функции f(x). Добавим к сказанному, что в формулах (2) в силу 2l –периодичности можно вести интегрирование по любому отрезку длиной 2l.

Если f(x) четная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты bk=0, и соответственно

k x

f (x 0) f (x 0)

x R,

cos

k 1

2 l

k x

f (x) cos

dx.

(3)

(4)

Если f(x) нечетная 2l – периодическая кусочно-гладкая функция, то коэффициенты ak=0, и соответственно

	k x			f (x 0) f (x 0)
b sin	k x			f (x 0) f (x 0)			(5)
b sin
k	l				2
k 1	l				2
k 1
	2 l				k x
bk			f (x)sin			dx.	(6)
	l				l

		0

Если f(x) кусочно-гладкая функция на отрезке 0, l , то ее можно разложить в ряд Фурье (3), (4), так и в ряд Фурье (5), (6), осуществляя соответствующее продолжение функции f(x).

Если f(x) непрерывная 2l – периодическая функция и существует кусочно-непрерывная производная f(x), то ряд Фурье функции f(x) сходится к ней равномерно.

Для всякой кусочно-непрерывной на -l, l функции выполняется равенство Ляпунова-Стеклова

a0				l
a0	ak2 bk2	1			f 2 (x)dx.

2			l l			(7)
2	k 1		l l			(7)

Если f(x) кусочно-непрерывная функция на отрезке -l, l , то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно.

Предполагаем теперь, что f(x) определена на R, абсолютно интегрируема и является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке. Тогда справедлива интегральная формула Фурье

1			f (x 0)	f (x 0)
	d	f (t) cos (t x)dt			.
				2
	0

(8)

Разумеется, что в точках непрерывности правая часть соотношения (8) может быть заменена на f(x).

Интегральная формула Фурье равносильна выполнению двух преобразований: прямого преобразования Фурье

	1
F ( )	1	f (t)e	i t	dt
			i t

	2

и обратного преобразования Фурье

	1
f (x)	1	f ( )e	i x	dx,
			i x

	2

(9)

(10)

где х точка непрерывности и интеграл в (10) понимается в смысле главного значения по Коши.

1. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) cos ax,	a	k	,	x ( l,l).
		l

Р е ш е н и е. Учитывая четность f(x), применяем формулу (4) и получим при k 1

k x

xdx

cos ax cos

cos

sin a

cos

al k

sin(al k )

1 k

2sin al

al.

al k

(al)

(k )

Если же k=0, то

2sin al

cos axdx

Cледовательно, на интервале

cos ax 2al sin al

k 1

l	выполнено равенство

	( 1)k	cos	k x	sin al	.
(al)2 (k )2			l	al

2.Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =arсsin(sin x), x R. Р е ш е н и е. Поскольку:

f x arcsin sin x arcsin sin x arcsin sin x f x ,

то f(x) нечетная функция на R, а период функции равен 2 . В качестве основного отрезка можно брать отрезок - , и применять формулу (6). Предварительно нужно учесть, что

					f (x) arcsin(sin x) x,	x	0,		.
					f (x) arcsin(sin x) x,	x	0,		.

								2
Если же	x		,	,	то sin x=sin ( -x) и тогда
	x		,	,


		2

f(x)=arcsin (sin( -x))= -x.

Следовательно для коэффициентов Фурье будем иметь по формулам

(6)



	2	2
bk		x sin kxdx ( x) sin kxdx
bk		x sin kxdx ( x) sin kxdx
		0
			2



2			2
2		2
	x cos kx		cos kxdx ( x) cos kx		cos kxdx
k	x cos kx	0	cos kxdx ( x) cos kx		cos kxdx
k			0	2
					2

2		cos k		sin kx
		cos k
k	2		2	k

	cos k		sin kx
2		2	k

										k				0,				если k 2m,
	2		sin k		sin k			4	2 sin	k			4( 1)
		2	sin k		sin k				2 sin				4( 1)		m
															m
	k			2		2	k			2					1)	2	,	если k 2m 1.
											(2m				1)
Следовательно для всех x R имеет разложение в ряд
								4		( 1)	m
			arcsin(sin x)					4		( 1)			sin(2m 1)x.
			arcsin(sin x)									2	sin(2m 1)x.
							m 0 (2m				1)
3. Проверьте, что при 0<x< выполнено равенство
					sin x	sin 3x			sin 5x					x( x).
					3	3			3				8	x( x).
					3	3			3
					1	3			5
									6

Р е ш е н и е. Продолжим функцию

f (x)		x( x)
	8

нечетным образом на (- ,0) и разложим в ряд Фурье (5),(6). Будем иметь

			2											1				2


	k						( x x			2	) sin kxdx						x x					( 2x) cos kxdx
	k																x x
	b				8									4k
				0	8									4k						0	0
			1	0									1								0
			1										1

				2		( 2x)d sin kx									2	( 2x)								2		sin kxdx
		4k		2									4k		2				sin kx
		4k			0								4k										0		0
																							0
1								1									0,			если k 2m
1								1				( 1)k 1 1					1
		cos kx
	2k3	cos kx							2k3											, если k 2m 1,							m 0, .
							0
							0									(2m 1)			3
																(2m 1)

Итак, мы проверили, что

b	1		,
		3
2m 1	(2m 1)

b	0,
2m

и тем самым устано-

вили нужное равенство.

4. Разложите в ряд Фурье функцию

f (x)	a sin x		,	a 1.
f (x)	1 2a cos x a	2	,	a 1.
		2

Р е ш е н и е. Поскольку f(x) определена на R, нечетная, имеет период 2 и является гладкой, то она разлагается в ряд (5),(6), однако коэффициенты будем находить не по формулам (6). Воспользуемся известным степенным рядом

2ix

inx

1 ae

Левую часть равенства в числителе и знаменателе домножим на тогда будем иметь

1 ae			ix
1 ae				a	n	(cos nx i sin nx),
					n
1 a	2	2a cos x
1 a		2a cos x		n 0
				n 0

и если в этом соотношении отделить слева и справа мнимые получим

	a sin x
	a sin x		1 a	n	sin nx.
				n
1 a	2	2a cos x
1 a		2a cos x	n 1
			n 1
5. Найдите преобразование Фурье для функции					f (x)		1	,

						a2	x2
						a2	x2

	ix	,
1 ae

части, то

a 0.

Р е ш е н и е. Пользуясь формулой (9) и леммой Жордана будем иметь при >0

i t

F ( )

2 i

Re s

t ai

i t

2 i lim

2 i

2ai

t ai

Если же <0, то интеграл считается через вычет в точке ai и получим

i t

F ( )

2 i Re s

2 i lim

t ai

2 i

2ai

Объединяя обе формулы, найдем

F ( )

Разложите в ряды Фурье в указанных интервалах:

6.f(x)=x в интервале (-l, l).

7.f(x)= signx в интервале (-l, l).

8.f(x)=cos4x, x (- , ).

9.f(x)=|x|, x (-l, l).

10.f(x)=l2-x2 в интервале (-l, l) .

11. f(x)=x2 в интервале (- , ).

		2x,	если	x 0 .
12.	f x

	3x, если			0 x

13.f(x)= |sinx|, x (- , ).

14.f(x)= |cosx|, x (- , ).

15.f(x)=sign(cosx) , x (- , ).

16.f(x)=arcsin(cosx) , x (- , ).

17.f(x)=x- x , x (- , ).

18.Функцию f(x)=x2 разложить в ряд Фурье

а) по косинусам		cos		k x			,	k 0, ,
		cos			l		,	k 0, ,


б) по синусам	sin		k x		,	k		1, ,
	sin		l		,	k		1, ,

в) в интервале (0,2l).

Используя эти разложения, найти суммы числовых рядов

	1				( 1)		k 1			1
			,					,			2 .
	k	2			k	2				(2k 1)
k 1				k 1					k 1

19. Отправляясь от разложения

					sin	k x
					sin
	2l								,
x			( 1)	k 1		l	,	l x l	,
				k 1		l
						k
		k 1				k
		k 1

найти интегрированием разложения в ряд Фурье на интервале функций х2, х3, х4.

20. Напишите равенство Ляпунова для функции

0,	если x ,

f (x)	если x .
1,	если x .

21. Вычислить с помощью равенства Ляпунова интеграл

l, l


(cos x cos 2x ... cos nx)	2	dx.
(cos x cos 2x ... cos nx)		dx.

Найдите разложения в ряды Фурье с помощью степенных рядов для следующих 2 -периодических функций:

22. 23. 24.

	1 a
	2
f (x)	1 2a cos x a	2	, a 1,
		2

f (x)	1 a cos x		,		a 1,
	1 2a cos x a	2


f (x) ln 1 2a cos x a				2	,	a

x( , ).

1, x ( , ).

Докажите равенства:

cos nx

25.ln

sin

ln 2

x ( , ).

n 1

( 1)

n 1

26.ln

cos

ln 2

cos nx, x

( , ).

n 1

cos 2x

cos 4x

cos 6x

27.

4 sin x

...; x (0, ).

1 3

3 5

5 7

28. Как нужно продолжить функцию f(x) с интервала

на интервале

(- , ), чтобы выполнялось равенство f (x) bn sin(2n 1)x ?

n 1

29. Как нужно продолжить функцию f(x) с интервала

на интервал

(- , ), чтобы выполнялась равенство

f(x) an cos(2n 1)x. n 1

Найдите преобразования Фурье от следующих функций:

	1,						если						x	1,
	1,						если						x	1,

30.	f (x)														1.
	0,							если					x		1.

	sgn x,										если						x a,
31.
31.	f (x)		0,								если						x a.
			0,								если						x a.

32. f (x) sgn( x 1) sgn( x 2).
	1							x		, если							x		1,
	1							x		, если							x		1,

33.	f (x)		0,								если						x		1.
			0,								если						x		1.

	sin x,										если					x		,
	sin x,										если					x		,

34.	f (x)		0,								если					x		.
			0,								если					x		.



	cos wt, если																t				,
	cos wt, если																t			2a	,
35.	f (x)
	0,				если							t							.


															2w


36.	f (x) e	2		x		,					x ( , ).
		2		x


37.	f (x) xe		a x						,		a 0, x ( , ).
	f (x) xe								,		a 0, x ( , ).

38. Найдите четное и нечетное преобразование Фурье для функции

f (x) e	x	,	x (0, ),	продолжая ее четным или нечетным способом.

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература