Аналогично, внутренняя мера множества A – точная верхняя грань мер всевозможных элементарных множеств, содержащихся в A:
sup (B) где B – элементарные множества,
B A |
лежащие в множестве A |
|
Множество называется измеримым по Жордану, если равны его внутренняя и внешняя мера. Общее значение этих мер называется мерой Жордана данного измеримого множества.
Тогда все элементарные множества измеримы (почему?).
Из семейства всех множеств, лежащих в X, мы выделяем набор измеримых множеств.
Можно доказать (сделаем это позже в более общем случае), что семейство измеримых множеств образует кольцо.
А если изначально мера была задана на алгебре, то алгебру.
Упр. 6. Пусть X=R. Докажите, что точка измерима (по Жордану) и имеет меру нуль.
Из упр.6 следует, что отрезок, интервал и полуинтервал вида ]a,b] измеримы. Почему?
(измеримые множества образуют кольцо)
С другой стороны, многие множества оказываются неизмеримыми по Жордану .
Например, рассмотрим все рациональные точки, лежащие на отрезке [0,1[.
(Это множество точек разрыва функции Римана).
Докажем, что внешняя мера Жордана множества Q [0,1[
равна 1, а внутренняя – равна 0, то есть это множество неизмеримо.
Пусть все рациональные точки полуинтервала [0,1[ покрыты элементарным множеством, то есть конечным набором непересекающихся
полуинтервалов n
[ i , i [
i 1
Применим к набору такой алгоритм: каждую пару лежащих подряд (без просвета) полуинтервалов вида
[ , [ [ , [
заменяем одним полуинтервалом [ , [ не меняя общую длину всех полуинтервалов.
Процесс будет завершен за конечное число шагов. В результате получим набор непересекающихся полуинтервалов, причем без лежащих подряд полуинтервалов.
Если это не единственный полуинтервал [0,1[ , то найдутся просветы между полуинтервалами – и там будут непокрытые рациональные точки.
Значит, внешняя мера множества =1.
Легко видеть, что внутренняя мера данного множества =0 (почему?)
Итак, класс множеств, измеримых по Жордану, оказывается слишком узким.
Определение. Кольцо множеств называется σ-кольцом, если оно замкнуто относительно операции счетного объединения множеств.
1. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством N всех натуральных чисел и множеством T всех четных целых чисел.
2. Существует ли функция вида
f (x) a0 a1x ... an xn b0 b1x ... bm xm
(где коэффициенты a0, …, an, b0, …, bm – целые числа), обладающая следующим свойством: для любого рационального числа r найдется целое число k, такое,
что f(k)=r?
3. Найти взаимно однозначное отображение интервала ]0, 1[ на всю числовую прямую.
4. Найти взаимно однозначное соответствие между промежутком [0, 1[ и лучом [0, + [.
5. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на всю числовую прямую.
6. Установить взаимно однозначное соответствие между лучом [0, + [ и интервалом ]a, b[.
7. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок [a, b] на всю числовую ось?