уч.пос.1 (1)

Количество неупорядоченных разбиений множества, состоящего из n

Свойства биномиальных коэффициентов:

;

;

Решение:

Для каждой клетки существует семь способов раскраски. Тогда число способов раскрасить клетки таблицы , семью цветами радуги равно

2401.

Ответ: 2401.

б) Сколько способов раскрасить клетки таблицы , семью цветами радуги так, чтобы все клетки имели различные цвета?

11

Решение:

Для первой клетки существует семь способов раскраски, для второй - 6, для третьей – 5, для четвертой - 4. Тогда число способов раскрасить

клетки таблицы , семью цветами радуги равно 840.

Ответ: 840.

в) Сколько способов выбрать 4 карандаша из набора, содержащего 7 разноцветных карандашей?

Решение:

Количество способов выбрать 4 карандаша из набора, содержащего 7 разноцветных карандашей, равно числу сочетаний из 7 по 4 без повторений:

.

Ответ: 35.

г) Сколько способов выбрать 4 карандаша из 4 одинаковых наборов, содержащих 7 разноцветных карандашей каждый?

Решение:

В данном случае мы выбираем неупорядоченные наборы с повторениями.

.

Ответ: 210.

д) В буфете продаются яблочный, апельсиновый и томатный соки, а также бутерброды с колбасой и бутерброды с сыром – все по 10 рублей. Сколько способов позавтракать в буфете соком и бутербродом, если у вас всего 20 рублей?

12

Решение: С каждым видом сока можно купить один из двух бутербродов. По правилу произведения получаем способов.

Ответ: 6.

е) В буфете продаются яблочный, апельсиновый и томатный соки, а также бутерброды с колбасой и бутерброды с сыром – все по 10 рублей. Сколько способов купить в буфете сок или бутерброд, если у вас всего 10 рублей?

Решение: По правилу суммы получаем способов.

Ответ: 5.

Задача №7. а) Сколько способов выложить в ряд 5 одинаковых вилок, 3 одинаковых ножа и 2 одинаковые ложки?

Решение:

Если бы все предметы были различными, то количество их перестановок было бы (5+3+2)!=10! При перестановках одинаковых предметов между

собой ничего не меняется. Получаем

Ответ: 2520.

б) Сколько способов переставить буквы в слове «математика»?

Решение:

Если бы все буквы были различными, то количество их перестановок было бы 10! При перестановках одинаковых букв между собой ничего не меняется. В нашем слове 2 буквы «м», 3 буквы «а», 2 буквы «т». По-

лучаем

Ответ: 151200.

в) Сколько способов связать бусы из 20 разноцветных бусинок?

Решение:

13

Количество способов выложить бусинки в ряд равно 20! При выкладывании бусинок по кругу любое их расположение, получающееся из како- го-то одного 19 поворотами, следует считать одним и тем же вариантом.

Получаем =19! При связывании бус их можно еще и переворачивать.

Перевороты сокращают количество бус в 2 раза: .

Ответ: .

г) Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых не делятся на 4?

Решение:

Цифры, которые не делятся на 4: 1,2,3,5,6,7,9. Всего их 7 штук. То есть каждую из четырех цифр числа можно выбрать семью способами. Получаем

Ответ: 2401.

д) Сколько делителей у числа 400?

Решение:

400=. В разложении делителя на простые множители 2 может иметь одну из степеней: 0,1,2,3,4, а 5 может иметь одну из степеней: 0,1,2. Получаем 5*3=15 делителей.

Ответ: 15.

Задача №8. Найти сумму корней уравнения:

Решение:

14

не являются корнями исходного уравнения.

корень.

Ответ: 5.

Задача №9. Определите наименьшее z из условия, что разность между

членами разложения , содержащими соответственно и z4, равна 300.

Решение:

По условию

,

Ответ: -2.

15

Задача №10. Компания, состоящая из 8 супружеских пар, разбивается на 4 группы по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способа можно разбить их так, чтобы в каждой лодке оказались 2 мужчины и 2 женщины?

Решение:

Количество упорядоченных разбиений восьми мужчин по четырем лодкам равно . Количество упорядоченных разбиений восьми

женщин по четырем лодкам также равно . Тогда число упорядоченных разбиений восьми мужчин и восьми женщин по четырем лодкам

равно . Число неупорядоченных разбиений восьми мужчин и восьми женщин по четырем лодкам равно .

Ответ: 264600.

Задача №11. В объединении множеств А, В и С 20 элементов. Множество А содержит 12 элементов , множество В – 13 элементов, множество С – 14 элементов. В пересечении множеств А, В и С – 4 элемента. Сколько элементов содержится ровно в двух множествах?

Решение:

Формула включений и исключений для трех множеств:

Количество элементов, содержащихся ровно в двух множествах:

11.

Ответ: 11.

16

3. Бинарные отношения на множествах.

Теоретические сведения:

Говорят, что на множестве A задано бинарное отношение , если в декартовом квадрате выделено некоторое подмножество ,

Бинарное отношение на множестве называется

а) рефлексивным, если

б) иррефлексивным, если ;

в) симметричным, если

г) антисимметричным, если

д) транзитивным, если

е) отношением типа эквивалентности, если оно рефлексивно, симмет-

рично и транзитивно;

ж) отношением частичной упорядоченности, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно.

Задача №12. На множестве А задано бинарное отношение . Выбрать все правильные утверждения.

Решение:

Рефлективность.

Иррефлексивность. Для отношение не является иррефлексивным.

Симметричность. Если то

) 3

Антисимметричность. Для

но отношение не является антисимметричным.

Транзитивность. Если и , то

Отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно является отношением типа эквивалентности.

Отношение не является антисимметричным не является отношением частичной упорядоченности.

Ответ: а,б,г,е.

4. Отображения.

Теоретические сведения:

Говорят, что задано отображение , действующее из множества в множество (), если каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент Элемент называется образом элемента .

Образ множества :

18

Прообраз множества

Отображение называется инъективным, если

Отображение называется сюръективным, если

Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюръективно.

Задача №13. а) Отображение : по правилу ()=

Найти образ отрезка .

а) [1,5]; б) {1}; в) [1,2]; г) [0,2];

д) (-).

Решение: Построим график функции

()=.

Минимальное значение функции на отрезке равно 1, максимальное зна-

чение равно 5. Функция непрерывна. Значит,

Ответ: а.

б) Отображение : по правилу . Найти образ

а) [4;10]; б) [6;7]; в) [5;8];

г)

д) .

19

Решение:

Минимальное значение функции на квадрате равно , максимальное значение равно . Функция непрерывна. Значит,

Ответ: в.

Задача №14. Отображение по правилу Найти прообраз ,-1;2].

а) [1;3]; б) [1;2]; в) [-1;3]; г) [-1;2]; д) [0;1];

Решение:

Построим график функции ()=.

Ответ: а.

20