уч.пос.1 (1)

18)Отображение по правилу

19)Отображение по правилу

20)Отображение по правилу

21)Отображение по правилу

22)Отображение по правилу

23)Отображение по правилу

24)Отображение по правилу

71

Задача №16. Какую мощность имеет множество

а) счѐтную б) континуума

в) гиперконтинуума г) конечную д) а)-г) неверны

1).

2).

3)\[10;+

4)5;20

5)

6)

7)Множество всех подмножеств множества (

8)

9)

10)

11)

12)

13)Множество всех подмножеств множества

14)

15).

16) .

17)

18)

19)

20)Множество всех подмножеств множества .

21)Множество всех подмножеств множества .

22)

23)

24)

72

Задача №17. Сравнить мощности множеств и :

9)A= , В=

10)A=, В=

11)A= , B=

12)A= , B=

13)A=, B=.

14)A - множество всех последовательностей натуральных чисел, В=

15)A= B-множество всех последовательностей

из 0 и 1

16)A=, B=.

17)A=, B=.

18)A=, B=

19)A=

20)А=[0;1, B=[0;1]

21)А=[0;1], B=[0;1]

22)А={(x,y): +=1}, B={

23)А =( B =

24)A= B=

73

7. Типовые варианты контрольных работ.

Контрольная работа №1.

ВАРИАНТ 1

6)Сколько способов выложить в ряд 5 красных, 4 синих и 3 зелѐных шара?

7)Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых делятся на 3?

8)Сколько делителей у числа 2700?

9)Имеется 5 книг? Сколько способов выложить 3 из них в стопку?

10)Сколько способов зажечь 5 лампочек, если в комнате их 8 и каждая имеет отдельный выключатель?

11)Сколько способов составить слово из 4-х букв в русском языке? (Словом называется любая комбинация букв, в алфавите 33 буквы)

12)Сколько способов купить 8 коробок конфет, если всего имеется 4 вида конфет?

13)Сколько существует матриц 5×5, заполненных натуральными числами от 1 и 10?

14)На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, по стереометрии – 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии – 500, по планиметрии и стереометрии – 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

74

15) Между пунктами А и В у маршрутного такси 5 остановок. Маршрутное такси может проехать, не остановившись, если нет выходящих пассажиров. Сколько существует способов для маршрутного такси проехать от А до В?

ВАРИАНТ 2.

1) Докажите, используя определение операций:

6)Сколько способов выложить в ряд 9 красных, 8 синих и 3 зелѐных шара?

7)Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные?

8)Сколько делителей у числа 3600?

9)Сколько способов выбрать 3 карты из колоды 36 карт?

10)Имеется 6 разноцветных полосок? Сколько существует трехцветных флагов с горизонтальными полосами этих цветов?

11)Сколько способов купить 5 открыток (возможно одинаковых), если всего имеется 6 видов открыток?

12)От дома Юли до университета ходит 6 различных маршруток. Сколько способов ей съездить в университет и вернуться домой?

13)Сколько существует матриц 3×3, заполненных натуральными числами от 1 и 5?

14)На факультете 500 студентов. Работают три семинара: по математике, физике, астрономии. Три семинара посещают 10 студентов, по математике и астрономии – 25 студентов, по математике и физике – 80 студентов, по астрономии и физике – 12 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по

75

астрономии – 100 студентов. Существуют ли студенты, не посещающие ни одного семинара, и если да, то сколько их?

15) На лестнице 7 ступенек. Миша хочет спуститься по ней, при этом он может перепрыгивать через любое количество ступенек. Сколько способов сделать это?

Контрольная работа №2. ВАРИАНТ 1.

1)Построить на множестве M={a,b,c} бинарное отношение, являющееся транзитивным и симметричным, но не рефлексивным.

2)Является ли данное бинарное отношение рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением типа эквивалентности, отношением частичной упорядоченности:

? Показать.

3)Докажите, что данное бинарное отношение является отношением эквивалентности, найти все классы эквивалентности: на множестве целых

бражение инъекцией, сюръекцией, биекцией? Показать. 8) Определить мощность множеств:

а) {a,b,c,d},

76

б) Q \ N,

в) R3 .

9) Построить биекцию множества X на множество Y:

X N, Y N \ {3,7}.

10) Построить биекцию множества X на множество Y:

X (0,3), Y ( , 1).

11) Докажите, что множество попарно непересекающихся квадратов на плоскости (с внутренностью), не более, чем счѐтно.

12) Докажите, что множество всех кругов на плоскости имеет мощность континуума.

13) Эквивалентны ли множества R и R \ Q?

ВАРИАНТ 2.

1)Построить на множестве M={a,b,c} бинарное отношение, являющееся отношением частичной упорядоченности.

2)Является ли данное бинарное отношение рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным, отношением типа эквивалентности, отношением частичной упорядоченности:

? Показать.

3)Докажите, что данное бинарное отношение является отношением эквивалентности, найти все классы эквивалентности: на множестве целых

чисел x y, если x2 y 2 .

4) Даны множества M1 M 2 R с обычным отношением порядка.

77

отображение инъекцией, сюръекцией, биекцией? Показать. 8) Определить мощность множеств:

а) [0,1]\Q,

б) {1,3,7,9,44},

в) Q {2, 3}.

9) Построить биекцию множества X на множество Y:

X N, Y N \ {7,9,11}.

10) Построить биекцию множества X на множество Y:

X (0,3), Y ( , ).

11)Докажите, что множество попарно непересекающихся кругов на плоскости, не более, чем счѐтно.

12)Докажите, что множество всех квадратов на плоскости имеет мощность континуума.

13)Эквивалентны ли множества R \ N и R \ Q?

78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию.

М.: Наука, 1977.

2. Гудстейн Р.Л. Математическая логика. Пер. с англ. М.: Изд-во иностр.

лит., 1961.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука. Глав.

изд-во ф.-м. лит., 1980.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-

нального анализа. М.: Наука, 1981.

5.Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

6.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Пер. с англ. М.:

Наука, 1977.

7. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Пи-

тер, 2000.

8. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.:

Наука. Глав. изд-во ф.-м. лит., 1977.

9. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука. Глав.

изд-во ф.-м. лит., 1986.

79

80