Часть 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция 2

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Аксиомы теории вероятностей и их следствия

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей.

Элементарные сведения из теории множеств

Множествомназывается любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называетсяэлементом множества.

Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r;множество точек на числовой оси, расстояние от которой до точкиbс абсциссойане превышаетd; множество натуральных чисел.

Множества обозначаются по-разному. Множество Mнатуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как

целое;

Множество точек на числовой оси, расстояние от которой до точки bс абсциссойа не превышаетd, можно записать в виде

или ,

где x– абсцисса точки.

Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат,

или

где x, y– декартовы координаты точки.

Еще одна запись этого множества

,

где – одна из полярных координат точки.

По числу элементов множества делятся на конечныеибесконечные.Множествоконечно и состоит из 100 элементов. Но множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов.

Множество всех натуральных чисел бесконечно, также как бесконечно множество четных чисел.

Бесконечное множество называется счетным,если все егоэлементы можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать(оба множества,и, являются счетными).

Множества SиCбесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).

Два множества AиBсовпадают, если они состоят из одних и тех же элементов:и. Совпадение множеств обозначается знаком равенства:А=В. Записьобозначает, что объектаявляется элементом множестваАили "апринадлежитА". Другая записьозначает , что "ане принадлежитА".

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыми обозначается символом.

Множество Вназывается подмножеством (частью) множестваА, если все элементыВсодержатся и вА,и обозначается какили. Например,.

Подмножество может быть равно самому множеству. Графически можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано на рис. 2.1, где каждая точка фигуры Впринадлежит и фигуреА, т. е..

Объединением (суммой)множествАиВназывается множество, состоящее из всех элементовАи всех элементовВ. Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств.

Например: .

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств АиВпоказана на рис. 2.2.

Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств

,

где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: .

Пересечением (произведением) множеств АиВ называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А, и в :

.

Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств

как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества.

Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

.

2. Сочетательное свойство:

.

3. Распределительное свойство:

.

Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество:

.

Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности

.

Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Правила сложения вероятностей

Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику.

При опыте со случайным исходом имеется множество всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множестваназываютэлементарным событием, само множество–пространством элементарных событий.Любое событиеАв теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества:. Если же в свою очередь множествоАраспадается на несколько непересекающихся подмножеств(при), то событияназывают "вариантами" событияА. На рис. 2.4 событиеАраспадается на три варианта:.

Например, при бросании игральной кости пространство элементарных событий . Если событие, то варианты события А: ,

т. е. .

Подмножеством множества можно рассматривать и само– оно будет в этом случаедостовернымсобытием. Ко всему пространствуэлементарных событий добавляется еще и пустое множество ; это множество рассматриваетсятоже как событие, ноневозможное.

Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств событий сводится к следующему:

1. Несколько событий образуютполную группу,если,т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

2. Два события АиВназываютсянесовместными, если соответствующие им множества не пересекаются, т. е..Несколько событийназываютсяпопарно несовместными, если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: при .

3. Суммой двух событийАиВназывается событиеС, состоящее в выполнении событияАилисобытияВ,или обоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

4. Произведением двух событийАиВназывается событиеD, состоящее в совместном выполнении событияАисобытияВ. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

5. Противоположнымпо отношению к событиюАназывается событие, состоящее в непоявленииАи соответственно дополняющее событиеАдо(см. рис. 2.5).

На основе изложенного толкования событий как множеств формулируются аксиомы теории вероятностей.

Каждому событию Аставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события. Поскольку любое событие есть множество, то вероятность события естьфункция множества.

Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1.Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

2. Если А и В – несовместные события, т. е. , то

.

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если при, то

,(2.1)

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют "теоремой" сложения(для схемы случаев она может быть доказана), илиправилом сложения вероятностей.

3. Если имеется счетное множество несовместных событий (при), то

.

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).

Пусть результаты опыта представляются в виде nнесовместных случаев. Случайблагоприятен событиюА, если он представляет подмножествоА(), или, иначе говоря, это вариант событияА. Так какобразуют полную группу, то

.

Но все случаи несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей

.

Кроме этого, так как все события равновозможны, то

.

Благоприятные событию случаи образуют его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна, то по правилу сложения получаем

.

Но это и есть классическая формула (1.1).

Следствия правила сложения вероятностей

1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если

при ,

то

.

Доказательство. Так как событиянесовместны, то к ним применимо правило сложения

.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

,

так как события Аиобразуют полную группу.

Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

3. Если события АиВсовместны, т. е., то

.(2.2)

Доказательство. Представимкак сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6)

.

По правилу сложения

. (2.3)

Но

,

,

откуда получаем

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.