- •Часть 1 введение Лекция 1
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Часть 2
- •Лекция 3
- •Условная вероятность и независимость событий.
- •Формула полной вероятности
- •И теорема Байеса
- •Часть 3
- •Последовательность независимых испытаний
- •Лекция 4
- •Независимые испытания. Формула бернулли. Асимптотические формулы муавра – ЛаплАса и пуассона
- •Часть 4 случайные величины Лекция 5
- •Случайные величины. Законы распределения случайных величин
- •Закон распределения. Ряд распределения
- •Дискретной случайной величины
- •Лекция 6
- •Числовые характеристики
- •Случайных величин
- •Лекция 7
- •Распределения дискретных случайных величин
- •Лекция 8
- •Распределения непрерывных случайных величин
- •Часть 5
- •Лекция 10
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин. -мерный случайный вектор
- •Часть 6 функции случайных величин Лекция 11
- •Закон распределения и числовые характеристики функций случайных величин
- •Лекция 12
- •Характеристическая функция
- •Часть 7 предельные теоремы теории вероятностей Лекция 13
- •Закон больших чисел и центральная предельНаЯ теорема
- •Часть 8 математическая статистика Лекция 14
- •Основные понятия и задачи математической статистики
- •Лекция 15
- •Статистическое оценивание параметров распределения
- •Лекция 16
- •Проверка статистических гипотез
Лекция 12
Характеристическая функция
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую функцию и доказать ее свойства.
Метод линеаризации функций случайных величин
В некоторых частных случаях числовые характеристики функций случайных величин можно найти, используя только числовые характеристики аргументов таких функций. Особенно простые соотношения существуют между числовыми характеристиками функций и числовыми характеристиками аргументов, если функции линейны. Во многих практических применениях нелинейные зависимости в определенном диапазоне заменяются линейными.
Линеаризациейфункции называется приближенная замена нелинейной функции линейной, что позволяет достаточно просто находить числовые характеристики функций случайных величин.
Рассмотрим задачу линеаризации функции одного случайного аргумента
,
где и– непрерывные случайные величины.
Считая, что некоторая функция дифференцируема, разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки:
.
Линеаризация есть приближенное представление функции случайной величины первыми двумя членами ряда Тейлора; при этом разложение проводится в окрестности точки математического ожидания . Это приближение тем точнее, чем меньше диапазон возможных значений случайного аргумента.
Таким образом, при приближенной замене нелинейной функции линейной получаем
.
Необходимо отметить, что при выводе формулы совершен переход от неслучайного аргумента к случайному, что, строго говоря, можно делать с оговорками, так как дифференцировать по случайной величине в общем случае нельзя.
Геометрическая интерпретация метода линеаризации сводится к замене участка кривой для диапазонаотрезком касательной – линеаризованной функцией, проходящей через точкус абсциссойи ординатой(см. рис. 6.4).
Если такая замена удовлетворяет по точности, то для линеаризованной зависимости между случайными величинами иможно найти числовые характеристики:
;
;
.
Получили, что математическое ожидание линеаризованной функции приблизительно равно функции от математического ожидания аргумента, а ее дисперсия – дисперсии аргумента, умноженной на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента.
Заметим, что плотность непрерывной случайной величины , как правило, больше в областях, близких к математическому ожиданию. Поэтому наилучшее приближение нелинейной функции клинейной будет в области математического ожидания случайной величины.
Комплексные случайные величины
Комплексной случайной величиной называется случайная величина вида
,
где и– действительные случайные величины;.
При этом – действительная часть комплексной случайной величины, а– мнимая часть.
Случайная величина называется комплексно сопряженной случайной величине.
Комплексная случайная величина может быть представлена либо случайной точкой , либо случайным векторомна комплексной плоскости(см. рис. 6.5).
Случайная величина – длина случайного вектораназывается модулем комплексной случайной величины:
.
Случайная величина является действительной.
Случайный угол (фазовый угол) называется аргументом комплексной величины. Действительная случайная величинаопределяется выражением
.
Математическим ожиданием комплексной случайной величиныявляется комплексное число
.
Центрированной комплексной случайной величиной называется случайная величина
,
где – действительные центрированные случайные величины.
Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной случайной величины:
,
где .
Вычислим произведение
и, воспользовавшись теоремой сложения математических ожиданий (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий), получим
.
Дисперсия комплексной случайной величины есть действительное неотрицательное число, равное сумме дисперсий действительной и мнимой частей.
Если есть две комплексные случайные величины и, то определим ковариацию как математическое ожидание произведения центрированной комплексной случайной величинына центрированную комплексно сопряженную случайную величину:
.
Используя теорему сложения математических ожиданий, получаем
,
где – ковариации действительных случайных величини.
При этом , так как
.
Ковариация комплексных случайных величин иравна комплексно сопряженной корреляции комплексных величини.
Характеристическая функция случайной величины и ее свойства
Введем комплексную случайную величину
,
где – действительная случайная величина с известным законом распределения;– параметр, имеющий размерность, обратную размерности случайной величины.
Характеристической функциейслучайной величиныназывается математическое ожидание комплексной случайной величины:
.(6.8)
Для дискретной случайной величины , принимающей значенияс вероятностями, характеристическая функция будет иметь вид
. (6.9)
Если случайная величина непрерывна и имеет плотность распределения, то получаем
. (6.10)
То есть характеристическая функция непрерывной случайной величины представляет собой преобразование Фурье плотности распределения и однозначно определяется этой плотностью. Отсюда следует, что и плотность распределениятакже однозначно выражается через характеристическую функциюпосредством обратного преобразования Фурье:
. (6.11)
Основные свойства характеристической функции:
1. Характеристическая функция неслучайной величины равна
.
2. Характеристическая функция случайной величины (и– неслучайные величины) связана с характеристической функций случайной величиныследующим выражением:
.
3. Если у случайной величины существует начальный момент-го порядка, то существует-я производная характеристической функции
,
которая при выражается формулой
,
откуда получаем выражение для вычисления начальных моментов -го порядка случайной величиныпосредством-й производной характеристической функции в нуле:
.(6.12)
4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство. Пустьи заданы характеристические функциислучайных величин(). Характеристическая функцияслучайной величиныбудет равна
.
По теореме умножения математических ожиданий независимых случайных величин окончательно получаем
.
5. Из свойств 2 и 4 следует, что если и случайные величинынезависимы, то
.