Часть 6 функции случайных величин Лекция 11

13. Закон распределения и числовые характеристики функций случайных величин

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.

Понятие о функции случайной величины

Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие ; устройство подвергает воздействиенекоторому функциональному преобразованиюи на выходе дает случайную величину(см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения случайной величины, и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины.

Можно выделить три основные возникающие задачи:

1. Зная закон распределения случайной величины (или случайного вектора), найти закон распределения выходной случайной величины(или).

2. Зная закон распределения случайной величины , найти только числовые характеристики выходной случайной величины.

3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины, а достаточно знать только его числовые характеристики.

Рассматриваем случайную величину , зависящую функционально от случайной величины, т. е.. Пусть случайная величинадискретна и известен ее ряд распределения:

Х:			…		…
			…		…		,

,

где .

При подаче на вход значения случайной величины на выходе получимс вероятностью. И так для всех возможных значений случайной величины. Таким образом, получаем табл. 6.1.

Таблица 6.1

		…		…
		…		…

Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины , так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторыемогут даже совпадать.

Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины необходимо упорядочить возможные значенияпо возрастанию, а вероятности совпадающих значенийнужно сложить.

Для нахождения числовых характеристик случайной величины преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величинына их вероятности, получаем

. (6.1)

Таким образом, зная только закон распределения аргумента , можно найти математическое ожидание функции случайной величины.

Аналогично находим дисперсию случайной величины :

.

Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины :

.

Для непрерывной случайной величины , имеющей плотность распределения, получаем

;

;

.

Видим, что для нахождения числовых характеристик функции вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента.

Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин

В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных величин можно определить как функции числовых характеристик системы случайных величин. В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения, а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:

1. , 3.,

2. , 4.,

где – неслучайная величина.

5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.

6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:

.

7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы этих случайных величин

.

Так как корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде

.

Если случайные величины не коррелированы, то справедлива теорема о сложении дисперсий:

.

8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле

.

9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация

.

Математическое ожидание произведения двух некоррелированныхслучайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

10. Дисперсия произведения независимыхслучайных величинвыражается формулой

Если случайные величины независимые и центрированные, получаем

.

Закон распределения функции случайного аргумента

Есть непрерывная случайная величина с плотностью распределения, связанная со случайной величинойфункциональной зависимостью. Требуется найти закон распределения случайной величиной.

Рассмотрим случай, когда строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервалевсех возможных значений случайной величиной.

Функция распределения случайной величинойпо определению есть. Если функциямонотонно возрастаетна участке всех возможных значений случайной величиной, то событиеэквивалентно событию, гдеесть функция,обратная функции . Когда случайная величинапринимает значения на участке, то случайная точкаперемещается по кривой(ордината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонностиследует монотонность, и поэтому функцию распределения случайной величинойможно записать следующим образом:

.

Дифференцируя это выражение по , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величинойв виде

. (6.2)

Если функция на участкевозможных значений случайной величиноймонотонно убывает, то, проведя аналогичные выкладки, получаем

. (6.3)

Диапазон возможных значений случайной величиной может быть в выражениях (6.2) и (6.3) отдо.

Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну

. (6.4)

Пример. Пусть функция случайной величиныявляется линейной, т. е., где. Непрерывная случайная величинаимеет плотность распределения, и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения, учитывая, что обратная функция есть, а модуль ее производной равен,

. (6.5)

Если случайная величина имеет нормальное распределение

,

то согласно (6.5) получаем

.

Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием , дисперсиейи средним квадратичным отклонением.

В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины получаем случайную величину, также распределенную по нормальному закону.

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения

Имеем систему двух непрерывных случайных величин и их сумму – случайную величину. Необходимо найти закон распределения случайной величины, если известна совместная плотность распределения системы.

Функция распределения – это площадь областина плоскости, где выполняется неравенство(см. рис. 6.3), т. е.

.

Продифференцировав это выражение по , получаем плотность распределения вероятности случайной величины

.

Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение

.

Если случайные величины инезависимы, т. е. выполняется равенство, то две последние формулы примут вид:

; (6.6)

. (6.7)

В том случае, когда складываются независимые случайные величины и, то говорят окомпозиции законов распределения. Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись:.

Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.