Возведем левые и правые части в квадрат, результаты сложим и разделим на n
[ 2 ] 2 |
2 |
[v] |
|
[v 2 ] . |
|||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
Заменим истинную ошибку среднего |
|||||||||||
арифметического средней |
|
|
|
||||||||
квадратической |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||
M |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и учитывая то, что [v]=0, получим |
|||||||||||
m2 |
m2 |
|
[v2 |
] |
|
. |
|||||
|
n |
n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда nm2=m2 +[v2],
m2(n–1)=[v2],
m |
[v2 |
] |
|
. (20) |
|
n |
1 |
||||
|
|
||||
По этой формуле вычисляется средняя квадратическая ошибка одного измерения.
Средняя квадратическая ошибка среднего |
||||
M |
v . |
|
||
арифметического найдется по2 |
формуле |
|
||
|
n(n 1) |
|
(21) |
|
Вычисление величины [v2] контролируется по формулам
|
[v2] = – [v l ] , |
(22) |
или |
[v2] = – [v ε ]. |
(23) |
Если среднее арифметическое получено с округлением, то для контроля пользуются равенством
[v2] = – [v ε ] + (L–l0)[v]. (24)
Средняя квадратическая ошибка округления чисел
определяется по формуле |
|
|
|
(25) |
|
mок |
|
, |
|||
|
|
|
|
||
3
где α – предельная ошибка округления, равная половине единицы оставляемой цифры.
4. Определение средней квадратичеокой ошибки одного измерения по разностям двойных равноточных измерений.
В целях контроля и повышения точности широко применяют двойные измерения. Например, превышения определяют дважды по черной и красной сторонам рейки, линии измеряют вперед и обратно. При наличии двойных измерений можно сделать оценку точности.
Пусть имеется ряд двойных равноточных измерений. Найдем их
разности
d1 l1 l1 d2 l2 l2
................
dn ln ln
Разность между двумя измерениями одной и той же величины теоретически должна равняться нулю (если бы измерения были точными). Поэтому величину d можно рассматривать как
истинную ошибку, а среднюю |
|
|||
квадратическую ошибку разности |
|
|||
двойных измерений вычислить по |
|
|||
формуле |
|
|
|
|
m [d 2 ]. |
|
|||
|
d |
n |
|
|
|
|
(26) |
||
|
|
|
|
|
Величина d есть функция двух равноточных измерений, поэтому можно записать
md m
2.
где m – средняя квадратическая ошибка одного измерения.
Отсюда |
m |
md |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
Подставляя значение в (26), получим
m |
[d 2 ] |
. |
(27) |
2n |
Формула (27) справедлива для случая, когда в разностях нет систематических ошибок.
При наличии систематических ошибок вычисляют систематическую ошибку Θ по формуле среднего арифметического
[d ] |
(28) |
|
n . |
||
|
||
Затем из каждой разности |
|
|
исключают систематическую |
||
ошибку по формуле |
|
|
i di . (29)
Величину поправку, в ф.(20) v
i |
можно рассматривать как |
|||||||
но с другим знаком. Заменяя |
||||||||
на |
|
, |
получим, |
|
|
|||
|
|
|
||||||
md |
|
[ 2 |
] |
|
. |
|
||
n |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, чтоm |
|
m |
d |
|
, окончательно |
|
|
|
|||
|
|||||
будем иметь |
2 |
|
|
||
m |
[ 2 |
] |
. |
(30) |
2(n 1) |
|
|||
|
|
|
||
Контроль:
[ ] = 0, (31)
|
[ |
|
] = [d ]. (32) |
|
|
2 |
|
Систематическую ошибку можно не исключать и делать оценку по формуле (27), если выполняется условие
|[d]|≤0,25 [|d|]. (33)