При n измерениях получим
∆u1= k1∆x1+ k2∆y1, ∆u2= k1∆x2+ k2∆y2,
... ... ... … … ∆un =k1∆xn+ k2∆yn,
u2 |
k12[ x2 ] k22[ y2 ] 2k k |
[ x y]. |
|||
|
|||||
n |
n |
n |
1 |
2 |
|
|
|
n |
|||
По свойству случайных ошибок
lim |
[ x y] |
0. |
|
n |
|||
n |
|
В результате получим
m2u=k21m2x +k22m2y . (4)
Аналогичными рассуждениями можно обосновать формулу для оценки точности функции многих переменных
u= k1x1+ k2x2+…+ knxn +с. |
(5) |
∆u= k1∆x1+ k2∆x2+…+ kn∆xn +с. (6)
m2u=k21m21 +k22m22+…+ k2nm2n . (7)
Для алгебраической суммы
u= ± x1 ± x2± … ± xn + c, (8)
формула (7) примет вид
m2u = m12 + m22+ ...+mn2.
(9)
В случае равноточных измерений, когда m1=m2= …= mn = m, получим
|
|
(10) |
|
mu m n, |
|||
|
|||
т.е. средняя квадратическая ошибка
алгебраической суммы n равноточных
слагаемых в раз больше средней квадратическойn ошибки одного слагаемого.
Функция общего вида
u=f(x1, x2, … xn). (11)
Найдем полный дифференциал функции
du |
f |
dx |
|
f |
dx |
... |
f |
dx . |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
||
|
x1 |
|
x2 |
|
xn |
|||
Из математики известно, что аргументы dx и x равнозначны и при малых значениях x
можно принять du ≈ u. Поэтому
u |
f |
x |
|
f |
x |
... |
f |
x . |
||||||
x |
x |
x |
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
, |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
и т.д. |
|
Здесь частные производные, 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
представляют собой постоянные коэффициенты, которые можно вычислить по измеренным значениям аргументов.
Заменяя их через k1, k2, … kn получим
равенство вида (6) и по аналогии c (7) найдем
|
2 |
|
f |
2 |
|
2 |
|
|
f |
|
2 |
2 |
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
2 |
. |
|
||||||
m |
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
m |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||
u |
|
x1 |
1 |
|
x2 |
2 |
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|||
Эта формула является основой, другие, из приведенных выше, можно рассматривать как частный случай.
2. Среднее арифметическое значение и его свойства. Средняя квадратическая ошибка арифметического среднего.
Если одна и та же величина измерена с одинаковой точностью несколько раз, то за окончательное значение измеренной величины берут среднее арифметическое, определяемое по формуле
|
L l1 l2 ... ln [l]. |
|
(13) |
n |
n |
|
|
|
Для упрощения вычислений обычно вводят приближенное значение l0, вычисляют остатки
εi=li–l0 и пользуются формулой
L l0 |
|
[ ]. |
(14) |
|
|
n |
|
Формула (14) легко получается из (13) путем замены li=l0+εi.