В результате получим условные уравне- ния поправок в следующем линейном виде
a1v1 a2v2 ... anvn w1 |
0 |
|
|||||||||
b v b v |
2 |
... b v |
n |
w |
0 |
|
|
||||
1 1 |
2 |
|
n |
|
|
2 |
|
|
, |
||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
r v r v |
2 |
... r v |
n |
w |
0 |
|
|
||||
1 1 |
2 |
n |
|
r |
|
|
|
|
|||
где a, b , … r – частные производные; w – свободные члены (невязки).
Выражение можно упростить
[ av ] w1 |
0 |
|
|
[bv ] w 2 |
0 |
|
|
|
|
||
.......... .......... |
. |
(6) |
|
|
|||
[ rv ] w r |
0 |
|
|
|
|
||
Особенность уравнений поправок в том, что число их меньше числа неизвестных (r < n). Поэтому система неопределенная, допускающая множество решений.
Рассмотрим решение задачи по определению поправок для случая равноточных измерений в соответствии с
принципом [v2] = min, т.е. будем находить [v2] = min при условии (6).
Данная задача решается с помощью
множителей Лагранжа.
Составим функцию путем прибавления к [v2] левых частей уравнения (6), умножив каждое на неопределенный множитель – 2k1, –2k2,…, –2kr
F [v2] 2k ([av] w ) 2k ([bv] w ) ... |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
2kr ([rv] wr ). |
|
(7) |
|
Для нахождения минимума функции (7)
находят частные производные и приравнивают к нулю. В результате получим n уравнений:
|
F 2v |
|
2a k |
2b k |
2 |
... 2r k |
r |
|
0 |
|
|||||||
|
v1 |
1 |
1 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
2v |
|
2a k |
2b k |
|
... 2r k |
|
|
0 |
|
|||||
|
|
2 |
2 |
r |
|
||||||||||||
|
v2 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
.............................................................. |
|
||||||||||||||||
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
n |
2a |
k |
2b k |
2 |
... 2r k |
r |
0 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
vn |
|
|
|
n |
1 |
n |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получим уравнения поправок
v1 a1k1 b1k2 |
... r1kr |
|
|
||||
v |
2 |
a k |
b k |
2 |
... r k |
|
|
|
2 1 |
2 |
2 |
r |
|
||
... |
|
|
|
|
. |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
||
v |
n |
a k |
b k |
2 |
... r k |
|
|
|
n 1 |
n |
n |
r |
|
||
Неопределенные множители k1, k2, …, kr называются коррелатами. Чтобы по этим уравнениям найти поправки, нужно вначале определить эти коррелаты.
ные уравнения (5) для первого уравнения
получим
а1а1k1+a1b1k2+…+a1r1kr+ а2а2k1+a2b2k2+…+a2r2kr+ +………+
+аnаnk1+anbnk2+…+anrnkr+w1=0,
или
[aa]k1+[ab]k2+…+[ar]kr+ w1=0.
Делая аналогичную подстановку в
остальные уравнения системы (5), получим систему нормальных урав- нений коррелат в следующем виде
[aa]k1 [ab]k2 ... [ar]kr w1 0 |
|
|||||||
[ab]k [bb]k |
2 |
... [br]k |
r |
w |
0 |
|||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||
... |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ar]k [br]k |
2 |
... [rr]k |
r |
w |
0 |
9) |
||
1 |
|
r |
|
|
||||
Коэффициенты [aa], [bb], …., [rr], распо- ложенные на главной диагонали, всегда положительны и называются квадратич- ными. Неквадратичные коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали попарно равны между собой. Поэтому для краткости нормальные уравнения, обычно, записывают, начиная с квадратичных коэффициентов.
Решая систему (9) находят коррелаты, а затем, подставляя в уравнения поправок (8) находят поправки к измеренным величинам.
Для неравноточных измерений уравне- ния поправок имеют вид
v1 q1(a1k1 |
b1k2 |
|
... r1kr ) |
|
|
||||
v |
q |
(a k |
b k |
2 |
... r k |
) |
|
||
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 r |
. |
|||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
q |
(a k |
b k |
2 |
... r k |
) |
|
||
n |
n |
n |
1 |
n |
|
n r |
|
|
|