- •4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •Постановка задач, решаемых численными методами.
- •Дано дифференциальное уравнение (4.3) и начальное условие
- •Метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера.
- •Методы Рунге-Кутта.
- •Погрешность схем Рунге –Кутта. Правило Рунге.
- •Решение дифференциальных уравнений и систем в прикладной программе Mathcad.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
Методы Рунге-Кутта.
Методы Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений, как и метод Эйлера, принадлежат к классу одношаговых методов. Они являются своеобразным обобщением этого класса и обладают рядом достоинств:
обладают достаточно высокой точностью;
допускают использование переменного шага, что даёт возможность уменьшить его там, где значения функции быстро изменяются, и увеличить его в противном случае;
являются легко применимыми, так как для начала расчёта достаточно выбрать сетку хn и задать значение y0=f(x0).
Наиболее часто применяют метод Рунге-Кутта четвертого порядка
Рассмотрим разложение функции (решения ДУ) в окрестности произвольной точки xn ,
где hn=xn+1-xn.
Ограничимся в разложении функции 3 первыми слагаемыми ряда, т.е.
. (*)
Тогда остаточный член в виде формы Тейлора представится в виде
или погрешность, при условии, что 3 производная ограничена на (хn; xn+1), имеет порядок О(h3).
Вторую производную в формуле (*) можно найти непосредственно из ДУ
y=f(x,y),
как производную от функции, заданной неявно. Получим
.
Подставив данное выражение в(*), получим
Однако такой подход не всегда приемлем, т.к. связан с отысканием частных производных функции. Чтобы избежать этого вторую производную можно представить в виде
,
где ,, – некоторые параметры.
Тогда .
Преобразуем данное выражение
(**).
Заменим приращение функции 2 переменных её дифференциалом
на
В нашем случае
.
Тогда .
и общая формула примет вид
После преобразований получим
Обозначим .
Получим
Сравнивая коэффициенты при степенях h точного решения (по формуле Тейлора) и приближённого, получим систему уравнений для определения параметров , , J,
.
Для определения 4 неизвестных имеем систему 3 уравнений. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Выразим через все остальные параметры. Получим
.
Подставляя в (**) эти параметры, получим
Таким образом мы получили однопараметрическое семейство схем Рунге Кутта 4 порядка точности.
Не трудно заметить, что подставляя вместо , получается формула усовершенствованного метода Эйлера.
Однако в таком виде метод Рунге- Кутта в связи с неопределённостью коэффициента использовать не будем.
Приведем расчетные формулы метода для решения задач:
yi+1=yi+(K1+2K2+2K3+K4)/6 |
(4.12)
|
Для оценки значения производной в этом методе используется четыре вспомогательных шага на которых предварительно вычисляются величины
К1=hf(xi,yi); ; ; К4= hf(xi+h,yi+K3); i = 1, 2, 3,….. . |
(4.13) |
В данном методе ошибка на шаге вычислений имеет порядок h4.
Поскольку большинство систем ДУ и ДУ высших порядков могут быть сведены ДУ первого порядка рассмотренные методы можно применять для их решения.
Погрешность схем Рунге –Кутта. Правило Рунге.
Одним из наиболее простых, широко применяемых и достаточно эффективных методов оценки погрешности и уточнения полученных результатов в приближённых вычислениях с использованием сеток является правило Рунге.
Пусть имеется приближённая формула для вычисления величиныy(x) по значениям на равномерной сетке hn и остаточный член этой формулы имеет вид:
Выполним теперь расчёт по той же приближённой формуле для той же точки х, но используя равномерную сетку с другим шагом rh r<1. Тогда полученное значение связано с точным значением соотношением
Заметим, что =
Тогда имея два расчёта на разных сетках, нетрудно оценить величину погрешности
.
Первое из слагаемых есть главный член погрешности. Таким образом, расчёт по второй сетке позволяет оценить погрешность расчёта по первой с точностью до членов более высокого порядка. При этом достаточная точность будет достигнута, если величина R не превышает заданной погрешности во всех совпадающих узлах. Чаще всего в качестве шагов приближённого вычисления решения уравнения выбирают h и h/2. Грубо шаг вычислений можно оценить исходя из неравенства .