Числовая последовательность

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Числовая последовательность» студентами

бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Числовая последовательность

1. Множества

Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, которые объединены по какому-либо признаку. Например, можно говорить о множестве студентов некоторого факультета, о множестве деревьев в сквере, о множестве автомобилей на улицах населённого пункта, о множестве корней некоторого уравнения, о множестве чисел, удовлетворяющих некоторому условию, и т.д.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B, C,…, а их элементы – малыми буквами a, b, c, … Если элемент а принадлежит множеству А, то это записывается как . Запись же означает, что элемент а не принадлежит множеству А. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Элементы множества записываются в фигурных скобках.

Пример 1. Запись А={3,5,7} означает, что множество А состоит из чисел 3,5 и 7.

Если же в скобках невозможно перечислить все элементы множества, то указывается общее свойство, которым обладают элементы этого множества.

Пример 2. Запись А={x: } означает, что множество А состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В, и обозначается (множество А включено в множество В).

Пример 3. Обозначим через В множество студентов факультета бухгалтерского учёта, а через С – множество студентов первого курса этого факультета. Тогда множество С будет включено в множество В.

Два множества называются равными или совпадающими, если они состоят из одних и тех же элементов.

Над множествами выполняются операции объединения (суммы) и пересечения (произведения).

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Обозначается объединение множеств .

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству В. Пересечение множеств обозначается

.

2. Числовые множества. Действительные числа

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются множества натуральных чисел множество целых чисел , множество рациональных чисел

, множество действительных чисел R.

Множество действительных чисел R содержит рациональные и иррациональные числа. Рациональными называются такие числа, которые выражаются конечной десятичной дробью и бесконечной периодической дробью. Например, рациональными числами являются . Иррациональными называются числа, которые выражаются бесконечной непериодической дробью. Например, числа и являются иррациональными.

Между числовыми множествами существует соотношение .

Пусть a и b – действительные числа и а<b. Тогда числовыми промежутками называются следующие множества действительных чисел:

1. отрезок

2. интервал ;

3. полуоткрытые отрезки и

;

4. бесконечные интервалы ,

(,

,

Пусть – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку .

Абсолютной величиной числа х называется само это число, если , и число –х, если . Обозначается абсолютная величина числа х символом . Таким образом, можно записать:

3. Числовая последовательность

В своей практической деятельности человек имеет дело с самыми различными величинами, которые можно подразделить на постоянные и переменные.

Величина, которая сохраняет своё числовое значение в рассматриваемом процессе или остаётся неизменной по условию задачи, называется постоянной величиной. Это, например, отношение длины окружности к её диаметру, равное π. Постоянной величиной является также отношение диагонали квадрата к её стороне, равное . Сумма внутренних углов треугольника, равная 180˚, также является постоянной величиной.

Величина, которая принимает различные числовые значения в рассматриваемом процессе или по условию данной задачи, называется переменной величиной. Например, температура воздуха в течение суток является переменной величиной, так как она изменяется, принимая различные числовые значения. Площадь круга также является переменной величиной, так как она изменяется, если изменяется радиус. Путь, пройденный автомобилем, является переменной величиной, так как он изменяется со временем.

Переменные величины обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита x,y,z,t,…, а постоянные – первыми буквами a,b,c,… .

Бесконечной числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел расположенных в определённом порядке и построенных по определённому правилу. Числа последовательности называются её элементами или членами, а – общим членом последовательности. Правило построения последовательности обычно задаётся в виде формулы для общего члена. Обозначается последовательность .

Пример 4. Пусть известен общий член последовательности . Тогда можно построить последовательность - порядковый номер члена последовательности.

Пример 5. Записать последовательность по её общему члену .

Подставляя вместо n числа 1,2,3 и т.д., получим последовательность

Пример 6. Написать общий член последовательности

В числителе и знаменателе каждого члена последовательности нечётные числа. Поэтому .

В дальнейшем вместо выражения «числовая последовательность» чаще будет использоваться выражение «переменная величина».

Переменная величина (или последовательность) имеет своим пределом число а, если абсолютная величина разности , начиная с некоторого номера n=N, станет и останется меньше любого наперёд заданного положительного числа , каким бы малым оно ни было.

Это означает, что абсолютная величина разности приближается к нулю, если n неограниченно возрастает, и записывается ( модуль разности стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности).

Таким образом, если переменная величина имеет своим пределом число а, то это означает, что и обозначается .

В этом случае говорят, что последовательность сходится к а.

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Что называется множеством?

2. Что называется подмножеством?

3. Какие операции выполняются над множествами?

4. Какие существуют числовые множества?

5. Что называется абсолютной величиной числа?

6. Что называется числовой последовательностью?

7. Что называется пределом числовой последовательности?

Задания для самостоятельной работы

1. Записать первые пять членов последовательности по её общему члену .

2. Записать первые пять членов последовательности по её общему члену .

3. Записать общий член последовательности

4. Записать общий член последовательности

8