4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
С помощью дифференциальных уравнений описываются сложные процессы и явления реального мира. Без использования аппарата дифференциальных уравнений невозможно изучение динамики движения тел, потоков жидкости и газа, различных переходных процессов и т.д. Практически любое явление, изменяющееся во времени, можно описать с помощью дифференциальных уравнений.
Напомним, что дифференциальными называются уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные F(x,y,y, y,…yn)=0.
Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Различают общее и частное решение.
Общим называется решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.
Частное решение – это решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных.
Для нахождения произвольных постоянных задаются дополнительные условия, их называют начальными условиями. В них указывается значение аргумента и соответствующее ему значение функции и ее производных:
|
I.
|
(4.1) |
|
II.
|
(4.2) |
,
Нахождение частного решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями называется решением задачи Коши.
На практике не существует общих методов решения дифференциальных уравнений. Только для небольшого класса уравнений разработаны точные методы, т.е. для таких уравнений можно аналитически решить уравнение, значит найти функцию.
В прикладных науках дифференциальные уравнения, решающиеся аналитически, встречаются очень редко. Поэтому особое значение приобретают численные, т.е. приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Если уравнение имеет точное решение, то оно представлено в виде функции. y=f(x) или Ф(x; y)=0.
В приближенных методах решения получают не функцию, а таблицу в которой указаны значение аргумента и соответствующее ему значение неизвестной функции, т.е. функцию заданную таблично.
-
x
y
x0
y0
x1
…
y1
…
xn
yn
Постановка задач, решаемых численными методами.
Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. К этому классу относятся уравнения, содержащие неизвестную функцию одной переменной и первую производную этой функции:
|
|
(4.3) |
;
Как уже отмечалось, решением уравнения является функция у(х), вообще говоря, не единственная в классе решений уравнения. Чтобы получить единственное решение, задают некоторые дополнительные условия (начальное условия). В зависимости от вида начальных условий различают задачу Коши и краевую задачу при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача Коши формулируется следующим образом.