1.4. Операции над векторами в координатах

Пусть заданы векторы и в прямоугольной системе координат.Линейные операции над ними выполняютсяпо следующим формулам:

.

Пример1. Даны два вектора и. Найти координаты и длину вектора.

Решение.;;;.

Пример2.Дан вектор , образующий с осьюугол, и вектор, образующий с той же осью угол. Найти проекцию суммы, где, на ось, если известно, что,.

Решение.Так как проекция суммы векторов равна сумме их про­екций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось .

;

;

.

Тогда 11.

Понятие радиус-вектора точки. Координаты и длина вектора, заданного граничными точками.

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координатпроизвольную точку М. Координаты векторабудем называтькоординатами точки М. Вектор называетсярадиус-вектором точки М и обозначается .

Найдем координаты вектора , если известны координаты начальнойи конечнойточек (рис. 4).

Нетрудно заметить, что .Тогда согласно введенным для векторов операциям имеем

.

Рассмотримрадиус-вектор точки в прямоугольной системе координат . Пустьобразует с осями координат соответственно углы(рис. 5).

Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов ,,, которыеравны:

где .

Пример 3.Найти координаты вектора и его длину, если,.

Решение. Найдем координаты вектора:

.

Тогда длина вектора будет равна

.

Пример 4. Найтинаправляющие косинусы вектора , если,.

Решение.Найдем координаты вектора :

Тогда его длина и направляющие косинусы будут соответственноравны:

,

Условия коллинеарности и равенства векторов, заданных в координатах.

Пусть задан ненулевой вектор Тогда любой коллинеарный с ним вектор будет отличаться от него на постоянный множитель, т.е. , где Следовательно, у коллинеарных векторов икоординаты пропорциональны:

,

причем, если: 1) >0, то исонаправлены;

2) <0, то иимеют противоположные направления;

3) 01, то корочевекторав раз;

4) >1, то длиннеевекторав раз.

Условием равенства двух векторов является

.

Это означает, что координаты равных векторов совпадают.

Пример 5.Определить, при каких значениях параметров ивекторыиколлинеарны. Как направлены эти векторы и как соотносятся их длины?

Решение.Из коллинеарностивекторов ибудет следовать пропорциональность их соответствующих координат.В нашем случае эти пропорции будут выглядеть следующим образом:

.

Вторая пропорция полностью определена, откуда . Следовательно,, откуда = 4. С другой стороны , тогда= –1.

Так как , то векторыиимеют противоположные направления и векторв два раза короче вектора.

Пример 6.Даны три вершины параллелограмма :;;. Найти его четвертую вершину.

Решение.Заметим, что вектор равен вектору , а значит координаты этих векторов равны. Найдем координаты этих векторов:,.Тогдаили; или; или.Таким образом, точкаDимеет координаты.

Л и т е р а т у р а: [1,гл. 5, §§5.3, 5.5, 5.6];[2, гл.18,§§ 9–11];[3, гл.2, пп.12.6–12.8];[4, гл. 2, § 5, пп. 5.4, 5.5].

1.5. Деление отрезка в заданном отношении

Пустьв прямоугольной системе координатзадан произвольный отрезок АВ, где граничные точки отрезка имеют координаты,, а также известно, что внутренняя точка С этого отрезка делит отрезок АВ в отношении(рис. 6). Тогда радиус-вектор точки С определяется по формуле

.

В координатной форме данную зависимость можно переписать так:

_{В частном случае, когда точка С является серединой отрезка АВ, формулы преобразуются к виду:}

Пример.Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении , если А(2; 4; –1),B(–3; –1; 6).

Решение.Воспользуемся расчетными формулами:

Таким образом, точка С имеет координаты С(0; 2; ).

Литература:[1, гл. 1, §1.3].